材料力學(xué)第四章_2_+彎曲應(yīng)力

1、材 料力學(xué)第四章(2) 彎曲應(yīng)力第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力4- -1 對稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡圖對稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡圖4- -2 梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖4- -3 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖4- -4 梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上的正應(yīng)力 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件4- -5 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件4- -6 梁的合理設(shè)計(jì)梁的合理設(shè)計(jì)44 梁的正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件 圖示梁圖示梁CD段橫截面上只段橫截面上只有彎矩而無剪力，該段梁的有彎矩而無剪

2、力，該段梁的彎曲稱為彎曲稱為純彎曲純彎曲。 AC與與BD段橫截面上既有段橫截面上既有彎矩又有剪力，該兩段梁的彎彎矩又有剪力，該兩段梁的彎曲稱為曲稱為橫力彎曲橫力彎曲。FFaaCDABF+FFSFaM 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象abcdMMbdac 縱向直線代表一層縱向直線代表一層纖維，變形后為平行曲纖維，變形后為平行曲線。每層變成曲面，同線。每層變成曲面，同層纖維變形相同。層纖維變形相同。 下層纖維受拉伸長，下層纖維受拉伸長，上層纖維受壓縮短；層上層纖維受壓縮短；層間變形連續(xù)，中間必有間變形連續(xù)，中間必有一層既不伸長也不縮短，一層既不伸長也不縮短，稱為稱為。 橫線代表一橫截面，變形后仍為直線，但轉(zhuǎn)過一個(gè)

3、角度，橫線代表一橫截面，變形后仍為直線，但轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，且仍與縱線正交。橫截面與中性層的交線稱為且仍與縱線正交。橫截面與中性層的交線稱為。 基本假設(shè)基本假設(shè) 平面假設(shè)平面假設(shè)：梁的橫截面變形后仍為平面，且與梁變：梁的橫截面變形后仍為平面，且與梁變形后的軸線正交；形后的軸線正交； 層間纖維無擠壓。層間纖維無擠壓。u 縱向線bb變形后的長度為:d)(ybbu bb 變形前的長度等于中性層bb12OO12OO du 縱向線bb的應(yīng)變?yōu)閐dd)(yy 即：純彎曲時(shí)橫截面上各點(diǎn)的縱向線應(yīng)變沿截面高度呈線性分布。 中性層長度不變, 所以 變形幾何關(guān)系 因?yàn)榭v向纖維只受拉或壓，當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，由胡克定

4、律有:yEE 即：純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與它到中性軸的距離y成正比。也即，正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布。 dNAFAAzMAydAyMAzd對橫截面上的內(nèi)力系，有: 根據(jù)靜力平衡條件，純彎曲梁的左側(cè)只有對z軸的力偶矩M， 即： 0dNAAFAyAzM0dMAyMAzdyyxzdAzCM由: z 軸通過形心即：中性軸通過形心。0ddAAAyEA0dNAAF0dzASAyAAAyzEAz0dd由:AyAzM0dd0yzAyz AI0yzI因?yàn)閥軸是對稱軸，上式自然滿足。EIz 梁的抗彎剛度MMzAyAdAyyEMAdAyEAd2zIEzEIM1將上式代入yEzIMy由: 將彎矩M和坐標(biāo)y按規(guī)

5、定的正負(fù)號代入，所得到的正應(yīng)力M和y可以直接代入絕對值。在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，正應(yīng)力最大。 zIMymaxmaxmaxyIWzz令:zWMmax式中Wz稱為彎曲截面系數(shù)，其單位為m3。CzdCzbh/2h/2zdCD62bhWz323dWz)1 (32443DdDWz二、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力二、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力WxMz)( 5 hl 例題例題4- -17 圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150 kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力max和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)(圖b)的正應(yīng)力a。 解：解：在不考慮梁的自重( )的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示

6、，截面C為危險(xiǎn)截面，相應(yīng)的最大彎矩值為mkN041. 1 mkN3754m10kN1504maxFlM由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面3cm2342zW4cm65586zIMPa160m102342mN10375363maxmaxzWMMPa148m1065586m021. 02m56. 0mN10375483maxzaaIyM于是有危險(xiǎn)截面上點(diǎn)a 處的正應(yīng)力為MPa148 MPa1602m56. 0m021. 02m56. 0maxmaxyyaa 該點(diǎn)處的正應(yīng)力a亦可根據(jù)直梁橫截面上的正應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按直線變化的規(guī)律，利用已求得的該橫截面上的max=160 MPa來計(jì)算：顯然，

7、梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為而危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)镸Pa7 .165Pa107 .165m102342mN103886363maxMPa7 . 5MPa1607 .165遠(yuǎn)小于外加荷載F 所引起的最大正應(yīng)力。mkN388mkN13mkN375842maxqlFlM 如果考慮梁的自重(q=1.041 kN/m)則危險(xiǎn)截面未變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)閙axmax WMmax MW max WMmax WM ct maxmaxct max tt maxcc ACBFa2a203014433cm07. 112)cm2)(cm4 . 1 (12)cm2)(cm3(zI34maxcm07. 11cm

8、cm07. 1yIWzzmax zWM kN3 aWFWFazz 例題例題4- -19 圖a所示為橫截面如圖b所示的槽形截面鑄鐵梁，該截面對于中性軸z 的慣性矩Iz=5493104 mm4。已知圖a中，b=2 m。鑄鐵的許用拉應(yīng)力t=30 MPa，許用壓應(yīng)力c=90 MPa 。試求梁的許可荷載F。(a)(b) 解：最大負(fù)彎矩所在B截面處，若截面的上邊緣處最大拉應(yīng)力t,max達(dá)到t，則下邊緣處最大壓應(yīng)力c,max為 根據(jù) 可知此c,max并未達(dá)到許用壓應(yīng)力c，也就是說，就B截面而言，梁的強(qiáng)度由最大拉應(yīng)力控制。tt56. 18613431ct 最大正彎矩在C截面處，若截面的下邊緣處最大拉應(yīng)力t,m

9、ax達(dá)到t，則上邊緣處的最大壓應(yīng)力c,max為 ，它遠(yuǎn)小于c故就C截面而言，梁的強(qiáng)度也由最大拉應(yīng)力控制。tt64. 013486 由以上分析可知，該梁的強(qiáng)度條件系受最大拉應(yīng)力控制。至于究竟是B截面上還是C 截面上的最大拉應(yīng)力控制了梁的強(qiáng)度，可進(jìn)一步分析如下：顯然，B截面上的最大拉應(yīng)力控制了梁的強(qiáng)度。B截面：zzBIFIMm1086m22m108633maxt,C截面：zzCIFIMm10134m24m1013433maxt,Pa1030m105493m1086m226483F 當(dāng)然，這個(gè)許可荷載是在未考慮梁的自重的情況下得出的，但即使考慮自重，許可荷載也不會減少很多。 于是由B截面上最大拉應(yīng)力

10、不得超過鑄鐵的許用拉應(yīng)力t的條件來求該梁的許可荷載F：由此得F19200 N，亦即該梁的許可荷載為F=19.2 kN。例例4-20 Dd直徑為直徑為 d 的鋼絲繩纏繞在直徑為的鋼絲繩纏繞在直徑為 D 的的圓柱上，已知鋼材料的屈服極限圓柱上，已知鋼材料的屈服極限為為 ，若使鋼絲繩纏繞后不產(chǎn)生塑，若使鋼絲繩纏繞后不產(chǎn)生塑性變形，性變形， D 的最小值應(yīng)為多少？的最小值應(yīng)為多少？S解解：設(shè)彎曲后鋼絲繩的曲率半徑為設(shè)彎曲后鋼絲繩的曲率半徑為 ，則繩橫截面內(nèi)的彎矩為：，則繩橫截面內(nèi)的彎矩為：1zMEI zEIM DdzEIM 鋼絲繩橫截面的彎曲正應(yīng)力鋼絲繩橫截面的彎曲正應(yīng)力zMyEyI maxmaxSE

11、y 又：又：max,222Dddy 22SdEDd SEdDd 例例4-21 簡支梁由兩塊木板組成簡支梁由兩塊木板組成（未粘接），兩板光滑接觸，（未粘接），兩板光滑接觸，MPa10mmbml200,3求求Pmmh100b2h2hACBP2l2lM2M2MP解解: :各板平面假設(shè)成立各板平面假設(shè)成立max14MPl 單板單板2211()6224hWbbh32/2maxmaxbhPlWM22 10 200 100 2.2 kN33 3000bhPl 回回 顧顧l 純彎曲：梁的橫截面上只有彎矩沒有剪力；純彎曲：梁的橫截面上只有彎矩沒有剪力；l 橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。橫力彎曲：梁的橫

12、截面上既有彎矩又有剪力。 觀察變形觀察變形 中性層、中性軸中性層、中性軸v 基本假設(shè)：基本假設(shè)： 平面假設(shè)：橫截面變形后仍保持為平面，且垂平面假設(shè)：橫截面變形后仍保持為平面，且垂直于變形后的軸線；直于變形后的軸線； 層間無擠壓。層間無擠壓。u 變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系u 物理關(guān)系物理關(guān)系u 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系yEz1EIMyIMzmaxzzzmax ,yIWWM橫力彎曲適用此公式的條件：長細(xì)比不小于橫力彎曲適用此公式的條件：長細(xì)比不小于5 5即即. 5hlzmaxmaxWMmaxzMW zmaxWM,tmaxt.cmaxc梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件：梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件：對于鑄鐵等脆性材料，需同時(shí)校核

13、拉壓強(qiáng)度：對于鑄鐵等脆性材料，需同時(shí)校核拉壓強(qiáng)度：第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力4- -1 對稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡圖對稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡圖4- -2 梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖4- -3 平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖4- -4 梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上的正應(yīng)力 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件4- -5 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件4- -6 梁的合理設(shè)計(jì)梁的合理設(shè)計(jì) 橫力彎曲時(shí)，梁橫截面既有彎矩，也有剪力，相應(yīng)也必橫力彎曲時(shí)，梁橫截面既有彎矩，也有剪力，相應(yīng)也必有切應(yīng)力。有切應(yīng)力。

14、一、矩形截面切應(yīng)力一、矩形截面切應(yīng)力基本假設(shè)：基本假設(shè)： 截面上各點(diǎn)切應(yīng)力與剪力同向；截面上各點(diǎn)切應(yīng)力與剪力同向； 切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。q(x)F1F2 在梁上截一微段在梁上截一微段dx ，再在再在微段上用水平截面微段上用水平截面mn 截一微元。截一微元。FsFsMM+dM1122dxm nq(x)F1F2mmnnxdx1dx2mnzyh/21dx2mnzyh/212yy1bdAFN1FN212dxmnyxz平衡條件：平衡條件：; 0X021FFFNN12NNFFbdxF*111*zzAzAzANSIMdAyIMdAyIMdAFyy1bdAN1N212dxmny

15、xz*2zzNSIdMMF同理得同理得dMISSIMSIdMMbdxzzzzzz*dxdMbISzz*因因;sFdxdM于是得于是得bISFzzs*bISFzzs* 式中式中 為截面求應(yīng)力那點(diǎn)到截為截面求應(yīng)力那點(diǎn)到截面邊緣所圍面積對中性軸的靜矩。面邊緣所圍面積對中性軸的靜矩。*zSC*byy*h/2 h/2zmax)4(2)2(21)2(22*yhbyhyyhbyASz)4(6223yhbhFs 由此式可知，橫截面各點(diǎn)切應(yīng)力是各點(diǎn)坐標(biāo)由此式可知，橫截面各點(diǎn)切應(yīng)力是各點(diǎn)坐標(biāo)y 的的2次函數(shù)，次函數(shù)，切應(yīng)力的大小沿截面高度呈拋物線分布。中性軸上切應(yīng)力最切應(yīng)力的大小沿截面高度呈拋物線分布。中性軸上切

16、應(yīng)力最大，上下邊緣切應(yīng)力為零。大，上下邊緣切應(yīng)力為零。bhFhbhFss234623maxAFs23maxHoyBxbzhbISFzzS* 翼緣翼緣腹板腹板二、工字形截面的切應(yīng)力二、工字形截面的切應(yīng)力OzydxyA*bISFzzS*Sz*zS)22(hHB)22(212hHh)2(yhb)2(21yhy)4(2)(82222yhbhHB2222()()824szFBb hHhyI bBzb22max()88szFBHhBbI b22min()88szFBHBhI bAFbISFzzS*Smax34 42dA ydzokokAFSmax2 zyr0maxmax S*max bISFzz實(shí)心矩形截

17、面梁正應(yīng)力與切應(yīng)力的比較實(shí)心矩形截面梁正應(yīng)力與切應(yīng)力的比較max22/66zPlPlWbhPlbh max32Pbh maxmax4lh 所以，對所以，對實(shí)心截面梁實(shí)心截面梁通常不需要校核剪切強(qiáng)度通常不需要校核剪切強(qiáng)度。F5mAB2.5mFCmkN5 .37max M3cm237 WzMPa158maxmax WMz+FSmax5mABFCkN30maxS FRFAcm2 .17*max SIzzMPa9 .24 )(*max,maxS*max,maxSmax dSIFdISFzzzzqBACDElFFaaRARB363maxcm281101601045 MWz8kN210kN208kN,cm

18、9 .18*max zzSIMPa100MPa1481075. 0109 .1810210223maxmaxSmax bISFzz,cm3 .21*maxzzSI3max22210 1098.6MPa 100MPa21.3 101 10 例例4-24 4-24 圖示梁由三塊板膠合而成，橫截面尺寸如圖所示，圖示梁由三塊板膠合而成，橫截面尺寸如圖所示，求梁的最大切應(yīng)力和膠縫的切應(yīng)力。求梁的最大切應(yīng)力和膠縫的切應(yīng)力。AB2m2m3 kN/mq 6040 40 40解：解：FA=6 kNFB=6 kN16 kNsF31max33 6 101.25 MPa22 60 120sFA *3136 1060

19、40 40 121.11 MPa60 12060szzF SI b 例例4-25 圖示圓截面梁，直徑圖示圓截面梁，直徑d=200 mm，材料的許用正應(yīng)力材料的許用正應(yīng)力 =10MPa，許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力 =2MPa 。試校核該梁的強(qiáng)度。試校核該梁的強(qiáng)度。AB3m1m4 kN/mq FA=5kN3 kNP dFB=10kN解：解：求支座反力；求支座反力；畫剪力圖和彎矩圖；畫剪力圖和彎矩圖； 最大正應(yīng)力發(fā)生在距最大正應(yīng)力發(fā)生在距A端端1.25 m 截面的上下邊緣；截面的上下邊緣； 最大切應(yīng)力發(fā)生在最大切應(yīng)力發(fā)生在B 的左的左截面的中性軸上。截面的中性軸上。Fs圖圖M圖圖5kN3kN7kN1.25

20、m3kN.m3.125kN.mAB3m1m4 kN/mq FA=5kN3 kNP dFB=10kNMPadMWMz98. 3203125323233maxmaxmaxMPadFAFss3 . 020037000443443422maxmaxmax maxmax ; ;此梁安全。此梁安全。Fs圖圖M圖圖5kN3kN7kN1.25m3kN.m3.125kN.m 例例4-26 某空心矩形截面梁，分別按圖a及圖b兩種方式由四塊木板膠合而成。試求在橫力彎曲時(shí)每一膠合方式下膠合縫上的切應(yīng)力。梁的橫截面上剪力FS已知。第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力解：解：圖a所示膠合方式下，由圖可知：zzIhbFIhbF4

21、222SS第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力bdx*1NF*2NF(c) 圖b所示膠合方式下，由圖可知：zzIhbFIhbF422222SS第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力b- -2dx*1NF*2NF(d)55 提高梁強(qiáng)度的主要措施提高梁強(qiáng)度的主要措施 梁的設(shè)計(jì)主要依據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件，即梁的設(shè)計(jì)主要依據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件，即 zWMmaxmax 由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可知，要提高梁的強(qiáng)度可從降低最大由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可知，要提高梁的強(qiáng)度可從降低最大彎矩彎矩Mmax和增大彎曲截面系數(shù)和增大彎曲截面系數(shù)Wz來考慮。來考慮。1、合理地設(shè)置支座位置、合理地設(shè)置支座位置 aalqlq一、減小最大彎矩一、減小最大彎矩2

22、2、合理地布置梁的荷載、合理地布置梁的荷載FlF二、增大二、增大W Wz z1 1、合理選擇截面形狀、合理選擇截面形狀在面積相等的情況下，選擇彎曲截面系數(shù)大的截面在面積相等的情況下，選擇彎曲截面系數(shù)大的截面3231DWz )2/(,41221DaaD 13221.18 6)(6zzWRbhW zDzaaa12a1z1121212,24 DaaD 1312367. 1 646zzWabhW 工字形截面與框形截面類似工字形截面與框形截面類似. .1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD 1457. 4zzWW 0.8a2a21.6a22a2z2 2、合理的放置、合理的放置FbhWW 21bh126bhWbh226hbW例例4-27 由直徑為由直徑為d 的圓木截取一矩形截面梁，試按強(qiáng)度要求的圓木截取一矩形截面梁，試按強(qiáng)度要求選擇最合理的高寬尺寸選擇最合理的高寬尺寸h 、 b 。bzyhdC解：解：使所截矩形的使所截矩形的Wz 越大越好。越大越好。6)(6222bdbbhWz222bdh; 0dbdWz032