三角函數(shù)推導(dǎo),公式應(yīng)用大全

1、三角函數(shù)公式及證明基本定義1.任意角的三角函數(shù)值：在此單位圓中，弧AB的長度等于；B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo) ；（由 三角形OBC面積<弧形OAB的面積<三角形OMA的面積 可得： （）2.正切：基本定理1.勾股定理： 1.正弦定理：= 2R （R為三角形外接圓半徑）2.余弦定理：a=b+c-2bc 3.誘導(dǎo)公試:奇變偶不變，符號看相線4.正余弦和差公式: 推導(dǎo)結(jié)論1. 基本結(jié)論2. 正切和差公式： 3.二倍角公式（包含萬能公式）： 4.半角公式：（符號的選擇由所在的象限確定） 5.積化和差公式： 6.和差化積公式： 7.三角形面積公式S=a=ab=bc=ac=2R=pr= (海倫公式，

2、證明見下文)(其中, r為三角形內(nèi)切圓半徑) 定理結(jié)論的證明1. 勾股定理的證明：本證明選自幾何原本(歐幾里得)第I卷 命題47.2. 正弦定理的證明：做三角形外接圓進(jìn)行證明；需利用結(jié)論同弧所對的圓周角相等，及直徑所對圓周角為直角；同弧所對圓周角相等的證明：本證明選自幾何原本(歐幾里得)第III卷 命題20.直徑所對圓周角為直角的證明：本證明選自幾何原本(歐幾里得)第III卷 命題31.3. 余弦定理的證明：本證明選自幾何原本(歐幾里得)第II卷 命題12,13.4. 誘導(dǎo)公式的證明：同理可證本證明選自人教版高中數(shù)學(xué)教材.5.正余弦和差公式的證明:可得的結(jié)論本證明選自人教版高中數(shù)學(xué)教材.5.

3、海倫公式的證明:三角函數(shù)基礎(chǔ)一、 誘導(dǎo)公式（）。 記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限。（一） （二） （三） （四） （五） （六） （七） （八） （九） 只需抓住以下三個特點(diǎn)，即可由左邊寫出右邊：（1） 誘導(dǎo)公式右邊都是角的三角函數(shù)；（2） 判斷函數(shù)名是否改變。判斷依據(jù)：括號內(nèi)與相加減的角，若為的偶數(shù)倍，則函數(shù)名不變；若為的奇數(shù)倍，則正變余，余變正（只能弦、切、割內(nèi)部變換。如，只能正弦變余弦，余弦變正弦，不能由弦變切或割）；（3） 判斷正、負(fù)號。判斷依據(jù)：將看作銳角時，左邊的函數(shù)值該取什么符號（正號或負(fù)號），就在右邊的函數(shù)名前加上同樣的符號。二、 正弦定理和余弦定理都是描述邊角關(guān)系的非常重要

4、的定理。如圖所示：任意中，,所對的邊分別為，則正弦定理：（為外接圓半徑） 余弦定理： 推論：正弦定理與余弦定理是等價的，具體參見文獻(xiàn)：對正弦定理、余弦定理一節(jié)的兩點(diǎn)建議三、 求任意面積的兩種方法：1 由右圖容易看出此結(jié)論。2利用海倫公式。 海倫公式：設(shè)任意三邊長分別為，半周長，則有四、 輔助角公式，其中，的象限由的符號確定。五、 弧度制把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。1弧度記作：.1 當(dāng)圓心角為圓周時，所對的弧長，故 即 一個圓周的角度角度制； 一個圓周的角度弧度制。 使用弧度制的好處是，用弧度制表示的角度與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)。 角的弧度數(shù)的絕對值：2. 弧長：扇形面積：3. 六、

5、任意角的三角函數(shù)及其符號規(guī)律1 任意角的三角函數(shù)：設(shè)是一個任意大小的角，角的終邊上非原點(diǎn)的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，與原點(diǎn)的距離是，則可定義角的三角函數(shù)：正弦： 余弦： 正切： 余切：正割： 余割：2. 三角函數(shù)符號規(guī)律。口訣：“函弦切余” 說明：（1）符號規(guī)律見右圖，第一象限角的各三角函數(shù)值均取正，第二象限只有正弦函數(shù)（及其倒數(shù)余割）取正，第三象限只有正、余切函數(shù)取正，第四象限只有余弦函數(shù)（及其倒數(shù)正割）取正。歸納起來，由第一象限至第四象限，取正的函數(shù)分別為“函弦切余”。（2）由三角函數(shù)的定義及個象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號即可確定各三角函數(shù)在各象限的符號。七、 三角函數(shù)重要公式和差的三角函數(shù)積化和差公式

6、證明： +，得-得：另兩式證明方法相同。倍角、半角的三角函數(shù)將上面兩式左右兩邊分別相除，得：（證明：）和差化積公式證明： +，得 令，則，代人式，得另三式證明方法相同。萬能公式三倍角公式八、 附件誘導(dǎo)公式 目錄·誘導(dǎo)公式·誘導(dǎo)公式記憶口訣·同角三角函數(shù)基本關(guān)系·同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法·兩角和差公式·倍角公式·半角公式·萬能公式·萬能公式推導(dǎo)·三倍角公式·三倍角公式推導(dǎo)·三倍角公式聯(lián)想記憶·和差化積公式·積化和差公式·和差化積公式推導(dǎo)誘導(dǎo)公式

7、誘導(dǎo)公式常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：公式一：設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2k）sincos（2k）costan（2k）tancot（2k）cot公式二：設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式三：任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（）sincos（）costan（）tancot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（

8、2）sincos（2）costan（2）tancot（2）cot公式六：/2±及3/2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（/2）coscos（/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tan(以上kz) 誘導(dǎo)公式記憶口訣規(guī)律總結(jié)上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：對于k·/2±(kz)的個三角函數(shù)值，當(dāng)k是

9、偶數(shù)時，得到的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變；當(dāng)k是奇數(shù)時，得到相應(yīng)的余函數(shù)值，即sincos;cossin;tancot,cottan. （奇變偶不變）然后在前面加上把看成銳角時原函數(shù)值的符號。（符號看象限）例如：sin(2)sin(4·/2)，k4為偶數(shù)，所以取sin。當(dāng)是銳角時，2(270°，360°)，sin(2)0，符號為“”。所以sin(2)sin上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號看象限。公式右邊的符號為把視為銳角時，角k·360°+（kz），-、180°±，360°-所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶水平

10、誘導(dǎo)名不變；符號看象限。各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四余弦” 這十二字口訣的意思就是說： 第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“”； 第二象限內(nèi)只有正弦是“”，其余全部是“”； 第三象限內(nèi)切函數(shù)是“”，弦函數(shù)是“”； 第四象限內(nèi)只有余弦是“”，其余全部是“” 其他三角函數(shù)知識：同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系:tan ·cot1sin ·csc1cos ·sec1商的關(guān)系：sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec平方關(guān)系：sin2()cos2()11tan2()s

11、ec2()1cot2()csc2()同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）構(gòu)造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。（1）倒數(shù)關(guān)系：對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù)；（2）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。（3）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。兩角和差公式兩角和與差的三角函數(shù)公式sin（）sincoscossinsin（）sincoscossincos（）co

12、scossinsincos（）coscossinsin               tantantan（）               1tan ·tan               tantantan（）         

13、60;     1tan ·tan 倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）sin22sincoscos2cos2()sin2()2cos2()112sin2()          2tantan2        1tan2()半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴(kuò)角公式）              1cossin2(/2)

14、0;               2              1coscos2(/2)                 2              1costan2(/2)   

15、0;         1cos萬能公式萬能公式        2tan(/2)sin       1tan2(/2)       1tan2(/2)cos       1tan2(/2)       2tan(/2)tan      

16、60;1tan2(/2)萬能公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*，（因為cos2()+sin2()=1）再把*分式上下同除cos2()，可得sin2tan2/(1tan2()然后用/2代替即可。同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin33sin4sin3()cos34cos3()3cos        3tantan3()tan3        13tan2()三倍角

17、公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：tan3sin3/cos3(sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos)上下同除以cos3()，得：tan3(3tantan3()/(1-3tan2()sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()(12sin2()sin2sin2sin3()sin2sin2()3sin4sin3()cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3()cos(2cos2cos3()4cos

18、3()3cos即sin33sin4sin3()cos34cos3()3cos三倍角公式聯(lián)想記憶記憶方法：諧音、聯(lián)想正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”)）余弦三倍角：4元3角 減 3元（減完之后還有“余”）注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。和差化積公式三角函數(shù)的和差化積公式                          sinsin2s

19、in-·cos-                  2             2                         sinsin2cos-·sin-      &#

20、160;            2            2                        coscos2cos-·cos-               

21、            2             2                           coscos2sin-·sin-                      2            2積化和差公式三角函數(shù)的積化和差公式sin ·cos0.5sin（）sin（）cos ·sin0.5sin（）sin（）cos ·cos0.5cos（）cos（）sin ·sin 0.5cos（）cos（）和差化積公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*s