求線面角的三種常見思路方法(共9頁)

1、求線面角的三種常見思路方法 舒云水 本文以2009年湖南卷理18題為例，介紹求線面角的三種常見思路方法，并對(duì)這三種方法作比較分析如圖1，在正三棱柱中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且（I）證明：平面平面；（II）求直線AD和平面所成角的正弦值 （）證明略下面主要談（）小題的解法思路1：直接作出線面角求解分析：因?yàn)楸绢}幾何圖形是特殊的幾何體正三棱柱，點(diǎn) 在特殊位置上線段的中點(diǎn)，所以本題比較容易作出線面角如圖2，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則面面，過作于，則面，連結(jié)，則是和平面所成的角解法1 如圖2，設(shè)是的中點(diǎn)，連結(jié)，由正三棱柱的性質(zhì)及是的中點(diǎn)知，又，所以平面而，所以平面又平面，故平面平面過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，則平面連結(jié)

2、，則是直線和平面所成的角由已知，不妨設(shè)，則，所以即直線AD和平面所成角的正弦值為思路2：用等體積法求出點(diǎn)到面的距離，為所求線面角的正弦值分析 如圖3，連結(jié)，即得四棱錐用等體積法，即，容易求出點(diǎn)到平面的距離，為所求線面角的正弦值解法2：如圖3，連結(jié)，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以平面不妨設(shè)，則，=.易求，設(shè)在平面內(nèi)的射影為，連結(jié)，則是直線和平面所成的角因?yàn)?，所以?， ， 所以即直線AD和平面所成角的正弦值為思路3：坐標(biāo)向量法解法3 如圖4，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，易知=（，1，0），=（0，2，），=設(shè)平面的一個(gè)法向量為（x，y，z），則有解得

3、，故可取所以由此即知，直線AD和平面所成角的正弦值為評(píng)析：上題圖形比較特殊，容易作出線面角，三種方法中解法1解法最簡(jiǎn)潔，解法1是首選上題容易建立空間直角坐標(biāo)系，容易求點(diǎn)的坐標(biāo)，解法3也是不錯(cuò)的選擇方法2相對(duì)來說計(jì)算稍復(fù)雜一些，是最后的選擇下面對(duì)上題的“小題”作兩種變式，并對(duì)三種解法作比較評(píng)析變式1：如圖5，將題設(shè)條件“點(diǎn)D是的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)D是棱上一點(diǎn)，”，其他不變解法1：如圖6，分別取，的中點(diǎn)，設(shè)與交與點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連結(jié)，易證，又，所以平面，又平面，所以平面平面，過作于，則平面，連結(jié)，則是直線和平面所成的角不妨設(shè)，則，即直線AD和平面所成角的正弦值為 解法2：如圖7，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)

4、，則，平面不妨設(shè)，則，易求，設(shè)在平面內(nèi)的射影為，連結(jié)，則是直線和平面所成的角因?yàn)?，所以?， ， 所以即直線AD和平面所成角的正弦值為解法3：如圖8，同原題解法3建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，點(diǎn)，及平面的法向量的坐標(biāo)同前面解法3不同的是： ，= 所以由此即知，直線AD和平面所成角的正弦值為評(píng)析：與原題解法1比較，變式1的解法1的作圖與運(yùn)算明顯要復(fù)雜一些比較變式1的三種解法，解法2和解法3比解法1要簡(jiǎn)單一些，解法1是最后的選擇 變式2：原題題設(shè)不變，將結(jié)論改為“求直線和平面所成角的正弦值” 解法1：點(diǎn)不是特殊點(diǎn)，它在平面內(nèi)的射影不好定位可利用垂面法，作出點(diǎn)在平面內(nèi)的射影如圖9，過作于，在平面內(nèi)過作交于

5、，連結(jié)，則平面，又平面，所以平面平面再過作于，則平面，連結(jié)，則是直線和平面所成的角這樣雖然作出了線面角，但要求出運(yùn)算很復(fù)雜，決定放棄此法解法2：如圖10，不妨設(shè)，則， ， ， 取的中點(diǎn)，連結(jié)，易知平面，易求，設(shè)在平面內(nèi)的射影為，連結(jié)，則是直線和平面所成的角因?yàn)?，所以?， ， 所以即直線和平面所成角的正弦值為解法3：如圖4，同原題解法3建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，點(diǎn)，及平面的法向量的坐標(biāo)同原題解法3不同的是： ，= 所以由此即知，直線和平面所成角的正弦值為評(píng)析：解法1的作圖與運(yùn)算很復(fù)雜，不可取選擇解法2和解法3比較合適綜觀原題與它們的兩種變式的三種解法，各有千秋，都應(yīng)掌握好.對(duì)于一道具體的題目來說究竟選擇哪一種方法更好？具體問題具體分析，需要根據(jù)題目所給的圖形特征來確定：若幾何體容易作出線面角，解法1是最佳選擇；若幾何體不容易作出