數(shù)學(xué)筆記-排列組合

1、成青數(shù)學(xué)系列筆記 2010218排排列組合問題千變?nèi)f化，解法靈活，條件隱晦，思維抽象，難以找到解題的突破口。因而在求解排列組合應(yīng)用題時，除做到：排列組合分清，加乘原理辯明，避免重復(fù)遺漏外，還應(yīng)注意積累排列組合問題得以快速準(zhǔn)確求解。一. 直接法1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6這6個數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個（1 ）數(shù)字1不排在個位和千位（2）數(shù)字1不在個位，數(shù)字6不在千位。分析：（1 ）個位和千位有5個數(shù)字可供選擇 A，其余2位有四個可供選擇 A，由乘法原理：A5 A2 =2402特殊位置法（2 ）當(dāng)1在千位時余下三位有 A3 =60，1不在千位時，千

2、位有 A1種選法，個位有 A2種，余下的有 A，共有a： a2 A =192 所以總共有192+60=252432二. 間接法 當(dāng)直2）可用間接法 A6 -2As - A： =252例2 有五張卡片，它的正反面分別寫 0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成 三位數(shù)，共可組成多少個不同的三維書？分析：此例正面求解需考慮 0與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用1，類別較復(fù)雜，因而可使用間接計333222算：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C5 2A3個，其中0在百位的有C： 2A2個，這是不合題333222意的。故共可組成不同的三位數(shù) C52 A3 - C4

3、2 A =432 （個）三. 插空法 當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。例3在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目 且保持原節(jié)引順序，有多少中插入方法？分析：原有的8個節(jié)目中含有9個空檔，插入一個節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個，故有A9 x A0=100中插入方法。四. 捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。例44名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？分析：先將男生捆綁在一起看成一個大元素與女生全排列有A：種排法，而男生之間又有 A：種排法，又乘法原理滿足44條件的排法有： A X A =576練習(xí)1 四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每

4、個盒子不空，則不同的放法有種（C： A；）2 .某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有（C；9 A ）（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天1種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有C29其余的就是19所學(xué)校選28天進行排列）五. 閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例5某校準(zhǔn)備組建一個由12人組成籃球隊，這12個人由8個班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共 _種。 分析：此例的實質(zhì)是12個名額分配給8個班，每班至少一個名額，可在 12個名額種的11個空

5、當(dāng)中插入7塊閘板，一種插法對應(yīng)一種名額的分配方式，故有C：種練習(xí)1.（a+b+c+d）15有多少項？1 1 0當(dāng)項中只有一個字母時，有 C4種（即a.b.c.d而指數(shù)只有15故c4 C14。2 1 2 1當(dāng)項中有2個字母時，有C4而指數(shù)和為15，即將15分配給2個字母時，如何分，閘板法一分為2，C14即C4 C14當(dāng)項中有3個字母時c3指數(shù)15分給3個字母分三組即可c3c：43當(dāng)項種4個字母都在時C4 C14四者都相加即可.練習(xí)2 .有20個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子里，要求每個盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號數(shù)，問有多少種2不同的方法？ （ C16）493 .不定方程X1+X2+X3+

6、X 50=100中不同的整數(shù)解有（ C99 ）六. 平均分堆問題例66本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？3分析：分出三堆書（a1,a2） ,（a3,a4），（a5,a6）由順序不同可以有 A3 =6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有2 =15種A練習(xí)：1 . 6本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？2 某年級6個班的數(shù)學(xué)課，分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教，每人教兩個班，則分派方法的種數(shù)。七. 合并單元格解決染色問題例7 （全國卷（文、理）如圖1，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著

7、色方法共有 種（以數(shù)字作答）。分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、4、5 .下面分情況討論：（i） 當(dāng)2、4顏色相同且3、5顏色不同時，將2、4合并成一個單元格，此時不同的著色方法相當(dāng)于4個元素 的全排列數(shù)A4站4（ii） 當(dāng)2、4顏色不同且3、5顏色相同時，與情形（i ）類似同理可得 A 種著色法.（iii）當(dāng)2、4與3、5 分別同色時，將2、4; 3、5分別合并，這樣僅有三個單元格2,43,53 3從4種顏色中選3種來著色這三個單元格，計有C4 氏種方法.4 33由加法原理知：不同著色方法共有2 A4 C4 A3=48+24=72（種）練習(xí)1 （天津卷（文）將3種作物種植12345在如圖的5

8、塊試驗田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共 種（以數(shù)字作答）（72）2 .（江蘇、遼寧、天津卷（理）某城市中心廣場建造一個花圃，花圃6分為個部分（如圖3）,現(xiàn)要栽種4種顏色的花,每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同一樣顏色的話，不同的栽種方法有 種（以數(shù)字作答）.（120 ）516432成青數(shù)學(xué)系列筆記 2010218成青數(shù)學(xué)系列筆記 20102183 如圖4，用不同的5種顏色分別為 ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用也可以不用，則符合這種要求的不同著色種數(shù).（540 ）4 如圖5 :四個區(qū)域坐定4個單位的人，有四種不同顏色的

9、服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方法是種（84 ）成青數(shù)學(xué)系列筆記 20102185 將一四棱錐（圖6）的每個頂點染一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方 法共種（420）八. 遞推法例八一樓梯共10級，如果規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要走上這10級樓梯，共有多少種不同的走法？分析：設(shè)上n級樓梯的走法為an種，易知a1=1,a2=2,當(dāng)n >2時，上n級樓梯的走法可分兩類：第一類：是最后一步 跨一級，有an-1種走法，第二類是最后一步跨兩級，有an-2種

10、走法，由加法原理知：an=a n-1 + an-2,據(jù)此， a3=a 1 +a 2=3,a 4=a#+a 2=5,a 5=a 4+a 3=8,a 6=13,a 7=21,a 8=34 ,a9=55,a 10=89.故走上 10 級樓梯共有 89 種不同的方法。九. 幾何問題1四面體的一個頂點位A,從其它頂點與各棱中點取3個點，使它們和點 A在同一平面上，不同的取法有3(3 C5 +3=33 )2.四面體的棱中點和頂點共 10個點（1 ）從中任取3個點確定一個平面，共能確定多少個平面?3333（C10-4 C6+4-3 C4+3-6C 4+6+2 X6=29）以這10個點為頂點，共能確定多少格凸

11、棱錐？三棱錐 C104-4C64-6C 44-3C 44=141四棱錐6 X4X4=96 3 X6=18共有114十.先選后排法例9有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選派方法有（）A.1260 種B.2025 種C.2520 種D.5054 種分析：先從10人中選出2人十一用轉(zhuǎn)換法解排列組合問題例10 某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種.2解把問題轉(zhuǎn)化為四個相同的黑球與四個相同白球，其中只有三個黑球相鄰的排列問題.As =20種例11 個人參加秋游帶10瓶飲料，每人至少帶1瓶，一

12、共有多少鐘不同的帶法.5解 把問題轉(zhuǎn)化為5個相同的白球不相鄰地插入已經(jīng)排好的10個相同的黑球之間的 9個空隙種的排列問題.C9 =126種例12 從1，2，3，1000個自然數(shù)中任取10個不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的去法.10解 把穩(wěn)體轉(zhuǎn)化為10個相同的黑球與990個相同白球，其其中黑球不相鄰的排列問題。C991例13某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種.3t解無論怎樣走必須經(jīng)過三橫四縱，因此，把問題轉(zhuǎn)化為3個相同的白球與四個相同的黑球的排列問題.C7=35 （種）例14 一個樓梯共18個臺階12步登完，可一步登一個臺階也可一步

13、登兩個臺階，一共有多少種不同的走法.解根據(jù)題意要想12步登完只能6個一步登一個臺階，6個一步登兩個臺階，因此，把問題轉(zhuǎn)化為6個相同的黑球與66個相同的白球的排列問題.C12=924 （種）.例15 求（a+b+c ） 10的展開式的項數(shù).2解 展開使的項為a“b且a+ B+尸10，因此，把問題轉(zhuǎn)化為2個相同的黑球與10個相同的白球的排列問題. C12=66（種）例16亞、歐乒乓球?qū)官?，各隊均?名隊員，按事先排好的順序參加擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程那么所有可能岀現(xiàn)的比賽 過程有多少種？解 設(shè)亞洲隊隊員為

14、a1,a2，,a5,歐洲隊隊員為b1，b2，b5，下標(biāo)表示事先排列的出場順序，若以依次被淘汰的隊員為 順序比賽過程轉(zhuǎn)化為這 10個字母互相穿插的一個排列，最后師勝隊種步被淘汰的隊員和可能未參加參賽的隊員，所以比6賽過程可表示為5個相同的白球和5個相同黑球排列問題，比賽過程的總數(shù)為C10=252 （種）十二.轉(zhuǎn)化命題法例17圓周上共有15個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點最多有多少各？分析：因兩弦在圓內(nèi)若有一交點，則該交點對應(yīng)于一個以兩弦的四端點為頂點的圓內(nèi)接四邊形，則問題化為圓周上的154個不同的點能構(gòu)成多少個圓內(nèi)接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內(nèi)的交點最多有C15=1365 （個）十三.概率法例18 一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語、體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程 表有多少種排法？成青數(shù)學(xué)系列筆記 2010218丄，故本例所求的排法種數(shù)2A；At A：分析：在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學(xué)之前與數(shù)學(xué)課排在體育之前的概率相等，均為11就是所有排法的，即一 A=360種22十四除序法例19用1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中,(1) 若偶數(shù)2，4，6次序一定，有多少個？(2) 若偶數(shù)2，4，6次序一定，奇數(shù)1，3，5，7的次序也一定的有多少個?A解(1)3 ( 2)A十五錯位排列例20同室四人各寫一