動(dòng)態(tài)法測量楊氏模量

1、學(xué)生姓名：南昌大學(xué)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)報(bào)告學(xué)號:專業(yè)班級:實(shí)驗(yàn)時(shí)間：時(shí)分 第 周星期:座位號：動(dòng)態(tài)法測量楊氏模量實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、理解動(dòng)態(tài)法測量楊氏模量的基本原理。2、掌握動(dòng)態(tài)法測量楊氏模量的基本方法，熟悉信號源和示波器的使用二實(shí)驗(yàn)原理如圖1所示，長度L遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于直徑d（L>>d）的一細(xì)長棒，作微小橫振動(dòng)（彎 曲振動(dòng)）時(shí)滿足的動(dòng)力學(xué)方程（橫振動(dòng)方程）為棒的軸線沿x方向,42y S y門 V+ r=0 x4 EJ t2(1)宀圖1式中y為棒上距左端x處截面的y方向位移，E為楊氏模量，單位為Pa或N/m2; P為材料密度，S為截面面積，J為某一截面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J= y2ds。S橫振動(dòng)方程的邊界條件為：

2、棒的兩端（x=0，L ）是自由端，端點(diǎn)既不受正應(yīng) 力也不受切向力。用分離變量法求解方程（1），令y （x，t） =X （x） T （t），既 有1 d4X dx42馬1雪EJ T dt由于等式兩邊分別是兩個(gè)變量x和t的函數(shù),等于同一個(gè)常數(shù)時(shí)等式才成立,假設(shè)此常數(shù)為(2)所以只有當(dāng)?shù)仁絻蛇叾嫉扔趦蛇叾糑4,則可得到下列兩個(gè)方程(8)K1值代入頻(10)2所示，第 試樣在作基2 EL°SE= 1.997810-32J咚+d 0dt2S如果棒中每點(diǎn)都作簡諧振動(dòng)，則上述兩方程的通解分別為X(x)=a 1chKx+a2shKx a3cosKx a4sin Kx / 、 /'(5)T (

3、t) b cos( t )于是可以得出y (x， t) = ( ahKx+a 2shKx a3cosKx a4 sin Kx ) ? b cos( t )(6)式中K4EJ 2F式中（7）稱為頻率公式，適用于不同邊界條件任意形狀截面的試樣。如果試樣 的懸掛點(diǎn)（或支撐點(diǎn)）在試樣的節(jié)點(diǎn)，則根據(jù)邊界條件得到cosKL?chKL=1采用數(shù)值法可以得出本征值K和棒長L應(yīng)滿足如下關(guān)系：KnL=0,，（9）其中第一根KoL =0對應(yīng)試樣靜止?fàn)顟B(tài)；第二根記為 KiL =，所對應(yīng)的試樣振動(dòng)頻率稱為基振頻率（基頻）或者稱為固有頻率，此時(shí)的振動(dòng)狀態(tài)如圖 根©L=所對應(yīng)的振動(dòng)狀態(tài)如圖3所示，稱為一次諧波。由

4、此可知, 頻振動(dòng)時(shí)存在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，它們的位置分別距端面和。將基頻對應(yīng)的 率公式，可得到楊氏模量為37.8870 10 2 丿J.3 L mE 1.6067 r d4同樣，對于矩形棒試樣則有I 3E 矩=6.9464(12)L m f 2 bh式中，m為棒的質(zhì)量，f為基頻振動(dòng)的固有頻率，d為圓棒直徑，b和h分別為 矩形棒的寬度和高度。如果，圓棒試樣不能滿足dv<L時(shí)，式（11）應(yīng)乘以一個(gè)修正系數(shù)，T1,即I oE 1.6067 沖 f2T1（ 13）d式（13）中的修正系數(shù)T1可以根據(jù)徑長比d/L的泊松比有徑長比與修正系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系徑長比d/L'修正系 數(shù)T1由式（10）（ 12）可

5、知，對于圓棒或矩形棒試樣只要測出固有頻率就可以計(jì)算 試樣的動(dòng)態(tài)楊氏模量，所以整個(gè)實(shí)驗(yàn)的主要任務(wù)就是測量試樣的基頻振動(dòng)的固有 頻率。f固 =f 共本實(shí)驗(yàn)只能測出試樣的共振頻率，物體固有頻率 f固和共振頻率f共是相關(guān) 的兩個(gè)不同概念，二者之間的關(guān)系為(14)式（14）中Q為試樣的機(jī)械品質(zhì)因數(shù)。一般 Q值遠(yuǎn)大于50,共振頻率和固有頻 率相比只偏低，兩者相差很小，通常忽略二者的差別，用共振頻率代替固有頻 率。試樣在做基頻振動(dòng)時(shí)，存在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別在和處，顯然節(jié)點(diǎn)是不振動(dòng)的， 實(shí)驗(yàn)時(shí)支撐點(diǎn)不能放在節(jié)點(diǎn)處，而本實(shí)驗(yàn)又同時(shí)要求在試樣兩端自由的條件下， 檢測出共振頻率。顯然這兩條矛盾的。支撐點(diǎn)離節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)，可以

6、檢測到的共振信 號就越強(qiáng)，但試樣受外力越大，這樣產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差就越大。圖4為兩端自由桿 基頻彎曲振動(dòng)波形。為了消除誤差，可采用內(nèi)插法測量法測出換能器支撐點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)時(shí)， 式樣的共 振頻率，具體測量法是改變支撐點(diǎn)的位置，逐步測出試樣的共振頻率 f，設(shè)試樣 端面離支撐點(diǎn)的距離為X，以x/l為橫坐標(biāo)，共振頻率f為縱坐標(biāo)，用orgin耦合 一下數(shù)據(jù)，求出最低點(diǎn)。三、實(shí)驗(yàn)儀器和裝置電源，銅棒，螺旋測微計(jì)，游標(biāo)卡尺，天平，示波器，信號發(fā)生器，換能圖5四、實(shí)驗(yàn)步驟1, 用螺旋測微計(jì)測量試樣的直徑。2, 游標(biāo)卡尺測量試樣的長度。3, 用天平測量棒的質(zhì)量。4, 支撐法測量步驟：（1）安裝試樣棒。將棒放在支撐架上，保

7、持棒橫向水平，換能器到試樣棒端點(diǎn)的距離相同。（2）連接測量儀器。動(dòng)態(tài)彈性模量測定儀激振信號輸出端接激振器的輸入端，拾振信號的輸入端接拾振器的輸出端，拾振信號的輸出端接示波 / 器丫通道。將示波器X通道接激振信號的輸出端，用李薩如圖形測量。（3）開機(jī)調(diào)試。開啟儀器電源，調(diào)節(jié)示波器處于正常工作狀態(tài)，信號發(fā)生 器的頻率置于5kHz擋，連續(xù)調(diào)節(jié)輸出頻率，此時(shí)激發(fā)換能器應(yīng)發(fā)出 聲響。輕敲桌面，示波器丫軸信號大小立即變動(dòng)并與敲擊強(qiáng)度有關(guān)，說明該裝置已處于工作狀態(tài)。，說明該裝置已處于工作狀態(tài)。，說明該 裝置已處于工作狀態(tài)。（4）檢頻與測量。由低到高調(diào)節(jié)信號發(fā)生器的輸出頻率，正確找出試樣棒 的基頻共振狀態(tài)，從

8、頻率計(jì)上讀出共振頻率。（5）測量基頻共振頻率。在兩節(jié)點(diǎn)位置兩側(cè)各取幾個(gè)測試點(diǎn)，各點(diǎn)間隔 5mm左右，從外向內(nèi)依次同時(shí)移動(dòng)兩個(gè)支撐點(diǎn)的位置， 每次移動(dòng)5mm， 測出不同位置處基頻共振頻率。/五，數(shù)據(jù)處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下棒長L=178mm，棒直徑D=8mm，棒質(zhì)量 m=75g, T1 =距離x/mmx/l頻率f/Hz節(jié)點(diǎn)附近耦合的曲線如圖最低點(diǎn)x/l=f=.3利用公式 E 1.60672 Ti d4E 1.6067 (178 Em.710%( 751.778 Hz) 2 1.008 (8 10-3m)410=9.45 10 pa六、思考題1、如何盡快找到試樣基頻共振頻率？答：測試前根據(jù)試樣的材質(zhì)、尺寸、質(zhì)量，通過公式式估算出共振頻率的數(shù)值, 在上