向量知識(shí)點(diǎn)歸納與常見(jiàn)題型總結(jié)

1、向量知 識(shí)點(diǎn)歸納與常見(jiàn)題型總結(jié)高三理科數(shù)學(xué)組全體成員一、向量知識(shí)點(diǎn)歸納1與向量概念有關(guān)的問(wèn)題向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量（稱標(biāo)量），而向量既有大小又有方向；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小. 記號(hào)“ a b ”錯(cuò)了，而 | a | | b | 才有意義 .有些向量與起點(diǎn)有關(guān)，有些向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān). 由于一切向量有其共性（大小和方向） ，故我們只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量（既自由向量）. 當(dāng)遇到與起點(diǎn)有關(guān)向量時(shí)，可平移向量.平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要條件 .單位向量是模為1 的向量，其坐標(biāo)表示為（x, y ）

2、, 其中 x 、 y 滿足 x2y2 1（可用（ cos,sin）（ 0 2）表示） . 特別： AB 表示與 AB 同向的單位向量。uuuruuur|AB|例如：向量 (ABAC)(0) 所在直線過(guò)ABC 的內(nèi)心 ( 是BAC 的角平分線所在uuuruuur|AB|AC|直線)；uuuruuuruuuruuur(ABAC0,).例 1、O是平面上一個(gè)定點(diǎn)， A、B、C不共線，P 滿足 OPOAuuuruuuur )|AB| AC則點(diǎn) P 的軌跡一定通過(guò)三角形的內(nèi)心。1AB+ACABAC=, 則 ABC為 ( )(變式 )已知非零向量 AB 與 AC 滿足 ()·BC =0 且

3、83;2|AB |AC |AB |AC |A. 三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形(06 陜西 ) 0 的長(zhǎng)度為0，是有方向的，并且方向是任意的，實(shí)數(shù)0 僅僅是一個(gè)無(wú)方向的實(shí)數(shù) .有向線段是向量的一種表示方法，并不是說(shuō)向量就是有向線段.（ 7）相反向量 ( 長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。 )2與向量運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題向量與向量相加，其和仍是一個(gè)向量. （三角形法則和平行四邊形法則）當(dāng)兩個(gè)向量 a 和 b 不共線時(shí)， ab 的方向與 a 、b 都不相同， 且 | ab | |a | |b | ；當(dāng)兩個(gè)向量 a 和 b 共線且同向時(shí)， a

4、b 、a 、b 的方向都相同， 且 | ab | a | b | ；當(dāng)向量 a 和 b 反向時(shí)，若 | a | |b |， ab 與 a 方向相同，且 |ab |=|a |-|b | ；若 | a | |b | 時(shí) , a b 與 b方向相同，且 |a b |=|b |-|a |.向量與向量相減，其差仍是一個(gè)向量. 向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算.三角形法則適用于首尾相接的向量求和；平行四邊形法則適用于共起點(diǎn)的向量求和。AB BCAC;ABACCB1例 2： P 是三角形 ABC內(nèi)任一點(diǎn)，若 CBPAPB,R ，則 P 一定在（）A 、ABC 內(nèi)部2B、 AC 邊所在的直線上C 、AB 邊上D、

5、 BC 邊上例 3、若0，則 ABC是： A.RtAB BCAB B. 銳角 C. 鈍角 D. 等腰 Rt·特別的： a babab ,例 4、已知向量 a(cos, sin), b (3,1)，求 | 2ab | 的最大值。分析：通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)（這里是三角）的最值問(wèn)題，是通法。解：原式 = | (2 cos3,2sin1) |(2 cos3) 2(2 sin1) 2= 8 8sin() 。當(dāng)且僅當(dāng)2k5(kZ ) 時(shí)， | 2ab | 有最大值 4.63評(píng)析： 其實(shí)此類問(wèn)題運(yùn)用一個(gè)重要的向量不等式“ | a | b | | ab | a | b |”就顯得簡(jiǎn)潔明快。

6、原式| 2a | b |= 2 | a | b |2124 ，但要注意等號(hào)成立的條件（向量同向）。圍成一周（首尾相接）的向量（有向線段表示）的和為零向量.如， ABBC CA0, （在 ABC中）ABBC CDDA0.( ABCD中 )判定兩向量共線的注意事項(xiàng)：共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、 b(b 0 ) ， ab 存在實(shí)數(shù)使 a= b如果兩個(gè)非零向量 a ， b ，使 a = b （ R），那么 a b ；反之，如 a b ，且 b 0，那么 a = b .這里在 “反之” 中，沒(méi)有指出 a 是非零向量， 其原因?yàn)?a =0 時(shí)，與 b 的方向規(guī)定為平行 . 數(shù)量積的 8 個(gè)重要性質(zhì)兩

7、向量的夾角為0 . 由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個(gè)向量的長(zhǎng)度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可負(fù)、可以為零，故向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù).設(shè) a 、 b 都是非零向量，e是單位向量，是 a 與 b 的夾角，則ea ae| a |cos.( | e |1) abab 0 （=90°， cos0)在實(shí)數(shù)運(yùn)算中ab =0a =0 或 b=0. 而在向量運(yùn)算中a b = 0a = 0 或 b = 0 是錯(cuò)誤的，故 a0 或 b0 是 ab =0 的充分而不必要條件 .當(dāng) a 與 b 同向時(shí) a b = | a | | b |(=0,cos=1);當(dāng) a 與 b 反向時(shí)，a b=- |

8、a |,cos=-1)，即 a b 的另一個(gè)充要條件是| b |( =rr| a b | a | b |. 當(dāng)r r為銳角時(shí)， a ? b 0，且 a、b 不同向， a b0 是為銳角的必要r rr r0 是非充分條件 ；當(dāng) 為鈍角時(shí)， a ? b 0，且 a、b 不反向， a b為鈍角的必要非充分條件 ；例 5. 如已知 a( ,2) ， b (3,2) ，如果 a 與 b 的夾角為銳角，則的取值范圍是2_（答：40且1或）；33例 6、已知 i , j 為相互垂直的單位向量，ai2 j ，bij 。且 a 與 b 的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：由數(shù)量積的定義易得“a, bab0 ”

9、，但要注意問(wèn)題的等價(jià)性。解：由 a 與 b 的夾角為銳角，得a b120. 有1 .t12而當(dāng) at b(t0), 即兩向量同向共線時(shí)，有2.此時(shí)其夾角不為銳角。t得2故,22, 1.2評(píng)析：特別提醒的是：a,b是銳角與 a b0 不等價(jià)； 同樣a, b是鈍角與 a b 0不等價(jià)。極易疏忽特例“共線”。特殊情況有 a a22aa2x2y 2 .a = | a | 。或 | a | = a =如 果 表 示 向 量 a的 有 向 線 段 的 起 點(diǎn) 和 終 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 分 別 為 ( x1 ,y1 ),( x2 , y2 ), 則| a | =( x1x2 ) 2( y1y2 ) 2 | a

10、b | | a | | b |。（因cos1）數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律.如 (a b) c a (b c). （因?yàn)?(a b) c 與 c 共線，而 a (b c) 與 a 共線）數(shù)量積的消去律不成立.若 a 、 b 、 c 是非零向量且 a cbc 并不能得到 ab 這是因?yàn)橄蛄坎荒茏鞒龜?shù)，即 1是無(wú)意義的 .c(6) 向量 b 在 a 方向上的投影 b cos aba(7)e1 和 e2 是平面一組基底 , 則該平面任一向量a1 e12 e2 ( 1, 2 唯一 )uuuruuur1是三點(diǎn) P、 A、 B 共線的充要條件 .特別： . OP 1OA2OB則 12注意：起點(diǎn)相同，系數(shù)和是1。

11、基底一定不共線例 7、已知等差數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為Sn ，若1 uuuruuuruuurBOa1 OAaOC ，且 A、B、 Cn2200三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)點(diǎn)O），則 S200（）A 50B. 51C.100D.101例 8、平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1) , B(1,3) , 若點(diǎn) C 滿足OC1OA2OB,其中1 , 2R 且 121, 則點(diǎn) C 的軌跡是 _（直線 AB）3例 9、已知點(diǎn) A,B,C 的坐標(biāo)分別是 (3,1), (5,2), (2t ,2 t ) .若存在實(shí)數(shù),使OCOA(1)OB ,則 t 的值是 :A. 0B. 1C.0或1D.不確定例

12、 10 下列條件中，能確定三點(diǎn)A, B, P 不共線 的是：AMPsin 220MAcos2 20 MBB MPsec2 20MAtan2 20 MBC MPsin 220MAcos2 70 MBD MPcsc2 31MAcot 2 31 MB分析：本題應(yīng)知：“ A,B,P 共線，等價(jià)于存在 ,R,使 MPMAMB且1 ”。uuur1uuuruuuruuur(8) 在ABC中， PG3(PAPBPC )G 為ABC的重心，特別地uuuruuuruuurrP 為ABC 的重心； AB1 BCAD 則 AD 過(guò)三角形的重心 ；PAPBPC02例 11、設(shè)平面向量 a1 、a2 、a3 的和 a1a

13、2a30 。如果向量 b1 、b2 、b3 ，滿足 bi2 ai ，且 ai 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30o后與 bi 同向，其中 i1,2,3，則（ D）（ 06 河南高考）A b1 b2b30Bb1b2 b30C b1b2b30uuurD b1b2b30uuuruuuruuuruuuruuurP 為ABC 的垂心；PA PBPB PCPC PAuuuruuur向量(ABAC)(0)所在直線過(guò)ABC 的內(nèi)心 (BAC 的角分線所在直線 ) ；uuuruuur|AB|AC|ruuur uuuruuuruuuruuur uuurPABC 的內(nèi)心； ( 選 )|AB|PC|BC |PA|CA|PB0 S xA

14、y BxB y A; AOB12uuuruuuruuuruuuruuur例 12、若 O 是 VABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)， 且滿足 OBOCOBOC2OA ，則 VABC的形狀為 _（答：直角三角形） ；例 13、若 D為ABC的邊 BC的中點(diǎn)，ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn) P，滿足uuuruuuruuurruuur|AP|，則的值為 _（答： 2）；PABPCP0 ，設(shè)uuur|PD|uuuruuuruuurr例 14、若點(diǎn) O 是 ABC 的外心，且 OAOBCO0 ，則內(nèi)角 C 為 _ （答： 120o ）；(9) 、 P 分 P1P2 的比為,則P1P =PP2 , 0內(nèi)分 ;0且 -1外分

15、.OP OP1OP2 ; 若 1則OP 1 ( OP1+OP2);設(shè) P(x,y),P1(x 1,y 1),12xx1x2,x1x2,xx 1x 2x 3,1x23P2 (x 2,y 2) 則y2; 中點(diǎn)重心y1y3yy1.y1y2.yy 2.1y23說(shuō)明：特別注意各點(diǎn)的順序，分子是起點(diǎn)至分點(diǎn)， 分母是分點(diǎn)至終點(diǎn)，不能改變順序和 分子分母的位置。例 15、已知 A（ 4， -3 ），B（ -2 ， 6），點(diǎn) P 在直線 AB上，且 | AB |3| AP |，則 P點(diǎn)的坐4標(biāo)是（）（ 2， 0），（ 6， -6 ）(10) 、點(diǎn) P( x, y) 按 auuur或 xxh函數(shù) yf (x) 按

16、(h, k) 平移得 P (x , y ) , 則 PP ayyka(h,k) 平移得函數(shù)方程為：ykf (x h)說(shuō)明：（ 1）向量按向量平移，前后不變；（ 2）曲線按向量平移，分兩步：確定平移方向-與坐標(biāo)軸的方向一致；yr按左加右減，上加下減（上減下加）例16、把函數(shù)2x2 的圖象 按向量 a(2,2)平移后得到的解析式是_ 。y2x28x6例 17、函數(shù) ysin 2x 的圖象按向量a 平移后，所得函數(shù)的解析式是ycos 2x1，則 a _（答： (,1) ）4結(jié)論：已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), l : AxByC0 , 過(guò) A, B 的直線與 l 交于點(diǎn)

17、 P , 則 P 分AB 所成的比是Ax1By1C, 若用此結(jié)論 ,以下兩題將變得很簡(jiǎn)單 .Ax2By 2C例 18、已知有向線段 PQ 的起點(diǎn) P 和終點(diǎn) Q 的坐標(biāo)分別是 (1,1), (2,2) ，若直線 l 的方程是 xmym0 ，直線 l 與 PQ 的延長(zhǎng)線相交 , 則 m 的取值范圍是 _.解: 由Ax1By1C得12m, 因?yàn)橹本€ l 與 PQ 的延長(zhǎng)線相交 , 故1 ,Ax 2By 2C23m解得3m23若直線 l : kxy10 與線段 AB 相交 , 求 k 的范圍 .變式 : 已知點(diǎn) A(2,-1),B(5,3).提示 :由Ax1By1C得 :2k20 及直線過(guò)端點(diǎn)得1

18、k2Ax2By2C5k25uuuruuuruuuruuur（ 11）對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、 C，滿足 OPxOAyOBzOC ，則四點(diǎn) P、A、 B、 C是共面xyz1注意：（ 1）起點(diǎn)相同（ 2）系數(shù)和是 1。（ 12）空間兩個(gè)向量的夾角公式cos a，b=a1b1 a2b2a3b3（ a ( a1 ,a2 , a3 ) ，a12a22a32 b12b22b32b (b1,b2 , b3 ) ） .（ 13）空間兩點(diǎn)間的距離公式若 A( x1 , y1 , z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，則uuuruuuruuur(x2x1 ) 2( y2y1 )2( z2

19、 z1 )2 .dA , B =| AB |AB AB（ 14）點(diǎn) Q 到直線 l 距離 h1(| a | b |)2(ab)2( 點(diǎn) P 在直線 l 上，直線 l 的方向向量uuuruuur| a |a= PA ，向量 b= PQ ).（ 15）正弦定理abc2R （ R 是三角形的外接圓半徑）sin Asin Bsin C5說(shuō)明：正弦定理可直接進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換；例 15：在ABC 中， a, b, c 分別是角 A, B,C 的對(duì)邊，且 cosBb，求 B 的大小。cosC2ac提示： cos Bbcsin BB2cosC2a2sin Asin C3例 16：在ABC 中，若 sin C2co

20、s Asin B ，則此三角形必是_三角形（等腰）提示： c2cos Abc2 b2c2a2ba2b22bc（ 16）余弦定理a2b2c22bc cos A ; b2c2a22ca cos B ;c2a2b2（ 17）面積定理 S1 aha1 bhb1 chc （ ha、 hb、 hc 分別表示222 S111ca sin B .ab sin Cbc sin A2221 uuur uuur1uuuruuur2uuur uuur2=S OAB(| OA | |OB |)(OA OB )gOA OB tan22（ 18）三角形內(nèi)角和定理在 ABC中，有2ab cosC .a、 b、 c 邊上的高）

21、 .uuur uuur(為 OA,OB 的夾角 )A B CC(A B)CAB222C 2 2(A B).2說(shuō)明：（ 1）三角形具有豐富的內(nèi)涵（隱含條件）：兩邊之和大于第三邊；：斜邊大于直角邊；：正（余）弦定理；：面積公式；：內(nèi)角和是1800 ；：大角對(duì)大邊： tan A tan BtanCtan Atan B tan C： 正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性；銳角三角形中有：AB2A2Bsin A sin(B)cos B2鈍角三角形中有（C 是鈍角）： AB2ABsin Asin(B)cos B22例 17：定義在 R 上的偶函數(shù) f ( x1)f ( x) ，且在 3,2 上是減函數(shù)，,是銳角三角形的

22、兩個(gè)角，則（） A、 f (sin)f (cos)B、 f (sin )f (cos)C、 f (sin )f (sin)D、 f (cos)f (cos)（ 19）平面兩點(diǎn)間的距離公式uuuruuur uuur(x2x1 )2( y2y1 )2 (A ( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ).d A, B = | AB |AB AB（ 20）向量的平行與垂直設(shè) a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ，且 b0，則a bb= ax1 y2x2 y10 .a b(a0)a· b=0x1 x2y1 y20 .（ 21）線段的定比分公式設(shè) P1( x

23、1 , y1) ， P2 (x2 , y2 ) ， P(x, y) 是線段 P1 P2 的分點(diǎn) ,是實(shí)uuuruuur數(shù)，且 PP1PP2 ，則6x1x2uuuruuurxuuurOP1OP2uuuruuuruuur11） .y1y2OP1OPtOP1(1 t)OP2 （ t1y1（ 22）平面向量的綜合問(wèn)題向量的“雙重身份”注定了它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，擔(dān)當(dāng)多項(xiàng)內(nèi)容的媒介也就成了理所當(dāng)然的事情， 數(shù)的特性使得它與 “函數(shù)， 三角， 數(shù)列，不等式， 導(dǎo)數(shù)”有眾多的聯(lián)系， 成為高考中一個(gè)新的亮點(diǎn)。 形的特性又使它必然與 “平面幾何， 解析幾何，立體幾何”緊密相關(guān)，以體現(xiàn)它的工具作用。

24、我們應(yīng)該首先做到的是具有向量語(yǔ)言的“翻譯”能力。即把抽象的向量語(yǔ)言，轉(zhuǎn)換成直觀的“圖形語(yǔ)言”或者可操作的“運(yùn)算形式”。一般來(lái)說(shuō)，夾角問(wèn)題總是從數(shù)量積入手，長(zhǎng)度問(wèn)題則從模的運(yùn)算性質(zhì)開始（一般需先平方），而共線，共點(diǎn)問(wèn)題多由數(shù)乘向量處理。例 19設(shè)平面向量a(3, 1 ), b ( 1 , 3 ) ，若存在不同時(shí)為0 的兩個(gè)實(shí)數(shù) s,t 及實(shí)2222數(shù) k 0 ，使 x a (t 2k) b, ysat b 且 xy 。（ 1）求函數(shù)關(guān)系式sf (t) ；（ 2）若函數(shù) sf (t ) 在 1,) 是單調(diào)函數(shù)，求 k 的取值范圍。分析：由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，不難得出sf (t) 的解析式，含參數(shù)必引

25、起討論，運(yùn)用“整體思想” 可簡(jiǎn)化計(jì)算； f (t) 在 1,) 是單調(diào)函數(shù)， 等價(jià)于“ f ' (t )0 或 f '(t )0在1, )上恒成立” 。解：（ 1）a(3 ,1 ), b(1, 3)，| a | | b |1, 且 ab0，又xy2222x y0 即 a(t 2k ) b( satb)0 由此得： st 3kt（ 2） f 't)t 2k，又f (t) 是單調(diào)函數(shù)，(3若 f (t ) 是增函數(shù)，則f ' (t )0，恒有 3t 2k,而 t1,) ，0k3若 f (t ) 是減函數(shù)，則f ' (t )0，恒有 3t 2k,而 t1,) ，這樣的 k 不存在綜上 0k3 .評(píng)析：本題覆蓋了許多重要的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法，與“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題”的高考命題思想相吻合。例 20、在ABC 中， AB AC1 ，BA BC3 ，又 E 點(diǎn)在 BC 邊上，且滿足|AB|2|BA|23 BE 2EC ，以 A 、 B 為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)C 、 E 兩點(diǎn) .求此雙曲線的方程 .分析： 遇到的首要問(wèn)題即 “建系” 和“向量語(yǔ)言” 的解讀。 深刻理解向量運(yùn)算的幾何意義