含參量積分的分析性質(zhì)及其應(yīng)用

1、含參量積分的分析性質(zhì)及其應(yīng)用班級(jí)：11數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)一班成績(jī)：日期：2012年11月5日含參量積分的分析性質(zhì)及其應(yīng)用1.含參量正常積分的分析性質(zhì)及應(yīng)用1.1含參量正常積分的連續(xù)性定理1若二元函數(shù)f(x,y)在矩形區(qū)域R a,b c,d上連續(xù)，則函數(shù)dx = f (x, y)dy 在a,b上連續(xù).c設(shè)f (x, y) sgn(x y)(這個(gè)函數(shù)在x=y時(shí)不連續(xù))，試證由含量積分 F(y)解則 F(y)10 f (x, y)dx所確定的函數(shù)在(，)上連續(xù)因?yàn)?0x1,所以當(dāng) y<0 時(shí),x-y>0,則 sgn(x-y)=1,即 f(x,y)=1.Qxvy1 時(shí),f(x,y)= 0占,1

2、dx01.當(dāng) 0 y1,x>y則 F(y)y0(1)dx1dx 1y2y.1, y<0當(dāng) y>1 時(shí),f(x,y)=-1,則 F(y)又因limy 01 F(0),lym1F(y)-1110( 1)dxy>1F(1).F(y)在y=0與y=1處均連續(xù)，因而F(y)1,即 F(x)= %1-2y,0y<0)上連續(xù).求下列極限：(1)li叫 'x2 a2dx； (2)lim0x2 cos xdx0(1)因?yàn)槎瘮?shù)2在矩形域R=-1,1-1.1上連續(xù),則由1 連續(xù)性定理得 ,x2a2dx在-1,1上連續(xù).則11 ; 1 ° 1dx 1.lim 、x2

3、 a2dx lim . x2 a2 dx0 1 10(2)因?yàn)槎瘮?shù)x2 cosax在矩形域R 0,2 -上連續(xù)，由連續(xù)2x2dx 8032 2 2 -性定理得，函數(shù) x cosaxdx在,上連續(xù).則lim x cosaxdx(x)0x20L 220 0例3研究函數(shù)F(x)2dx的連續(xù)性，其中f (x)在閉區(qū)間0,1上是y正的連續(xù)函數(shù).R 0,1區(qū)間y。F( y)F(yo)F(y)對(duì)任意y 0 ,取y0,y00,使y。0 ,于是被積函數(shù)需叫在x y上連續(xù)，根據(jù)含參量正常積分的連續(xù)性定理，則F (y)在上連續(xù)，由yo的任意性知，F(xiàn) (y )在(0,)上連續(xù).又因2yf (x?dxyf (x)2

4、dx ,則 F (y )在(,0)上連續(xù).當(dāng) y=0 處0 x y0 x y0.由于f(x)為0,1上的正值連續(xù)函數(shù),則存在最小值m>0.yf (x)2dx2my 2dx marctan丄，從而 lim F(y) 0 ,但0 x y0 x yyy 04F(y)在y=0處不連續(xù),所以F (y)在()(0,)上連續(xù),在y=0處不連續(xù).定理2設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G=(x,y)| c(x) yd(x), a x b上連續(xù),其中 c(x),d(x)為a,b上的連續(xù)函數(shù),則函數(shù)F(x,y)=d(x)c(x) f(x,y)dy 在a,b上連續(xù).例4求lim0解記1()由定理2知1()在dx2

5、2 .1 x雲(yún).由于 ,11 x0處連續(xù),所以lim I(012 都是x1 dxI(0) 0嚴(yán) 401 x 4和x的連續(xù)函數(shù),例5證明函數(shù)F(y) 0 e (x y/dx在()上連續(xù).證明對(duì)y (,),令x-y=t,可推得()2t20t2t20*21F(y) e (x y) dx e 1 dt e 1 dt e 1 dt e 1 dt .00y0y2、.020丄 2對(duì)于含多量正常積分et dt,由連續(xù)性定理可得et dt在(，)上連續(xù),則yyF(y) 0 e (x y'dx 在(，)上連續(xù).1.2含參量正常積分的可微性定理3若函數(shù)f x, y與其偏導(dǎo)數(shù)f x, y都在矩形區(qū)域R=a,b

6、*c,dxdd dd上連續(xù)，貝Ux = f (x, y)dy 在a,b上可微，且 f(x,y)dyf(x,y)dy.cdx cc x定理4 設(shè)f x, y , fx x, y在R=a,b*p,q 上連續(xù),c x ,d x為定義在a,b上其值含于p,q內(nèi)的可微函數(shù)，則函數(shù)F x = ： f (x, y)dy在a,b上可微,'d(x)''且 F (x) c(x) fx(x,y)dy f (x,d(x)d (x) f (x,c(x)c (x).定理5若函數(shù)f x, y及fx x, y都在a,b;c,d 上連續(xù)，同時(shí)在c,d上a'(y)及 b'(y)皆存在，并且

7、 a<a(y) <b,a < b(y) < b (c <y<d),則'd b(y)b(y),F (y) dy a(y) f (x, y)dx a(y) fy(x, y)dx fb(y), yb (y)fa(y), ya (y).證明考慮函數(shù)F(y)在c,d上任何一點(diǎn)處得導(dǎo)數(shù)，由于b(y°)b(y)a(y)F(y)a(y0)f(x,y)dxb(yo)"XdX玄(y0)f (兀 丫皿F1 ( Y)F2 ( V)F3(Y).現(xiàn)在分別考慮Fi (y)(i1,2,3)在點(diǎn)y0處得導(dǎo)數(shù).由定理5可得'b(y。)Fi(y。)，、fy(x

8、,y°)dx.a(y°)由于F2(y。)0,所以、.F2(y)F2(y。) F2(y) b(y) f(x, y),F2 (y0)limlim - limdx.y yoy y°y y0 y y°y yo b(yo)y y°應(yīng)用積分中值定理F2(y0)lim匹一b(y°)f ( , y).這里 在b(y)和b(y0)之間.y y0 y y0再注意到f x, y的連續(xù)性及b(y)的可微性，于是得到F2W0)b'(y。) fb(y。), y。.同樣可以證明F3W0) a (y。)fa(y。), y。于是定理得證.2例6設(shè)F(y)ysd

9、x,求 F'(y).y x解應(yīng)用定理5有F (y)2ycosyxdxy2y.3sin y2 y. 2sin yysin yxy2s in y3y2sin yy3sin y32sin y2y例7設(shè)f(x)在x 0的某個(gè)鄰域U上連續(xù),驗(yàn)證當(dāng)(1)的n階導(dǎo)數(shù)存在,且(n)(x)f(x).由于(1)中被積函數(shù)F(x,t)(x t)n1f(t)及其偏導(dǎo)數(shù)Fx(x,t)在U上連續(xù),于是由定理4可得(x)1x2E(n 1)(x t)n f(t)dt1(n 1)!(xx)n1f(x)1(n 2)!x0(xt)n 2f (t)dt.同理(x)1 X(n(n 2)! 02)(x t)n 3dt1(n 1)

10、!(xx)n1f(x)1(n 3)!x0(xt)n 3 f(t)dt.如此繼續(xù)下去，求得k階導(dǎo)數(shù)為(k)(x)1(n k 1)!f(t)dt.特別當(dāng)k n 1時(shí)有于是(n)(x)f(x).1 ln(1 x) 巧解考慮含參量積分例8計(jì)算積分I顯然(0)0,于是因?yàn)樗砸虼肆硪环矫嫠?n 1)(x)2 dx.xx0 f(t)dt,1 ln(1 x)0 _xdx.ln(1I,且函數(shù)1-2x)在 R=0,1x0,1上滿足定理3的條件,1 x0(1x2)(1dx.x)(1 x2)(1 X)2【)d1.3含參量正常積分的可積性x2xx),1dx01 x2arcta n10T1ln(122 dx xx2)

11、4 1ln21 101?4ln(1).ln(18-l n24)d定理6若f x, y在矩形區(qū)域2)8"2(1).101ln(11 In 2 ln(121 In 2 arcta n2(1)(0)(1),-dx)xx)0)d0 (1)(1)嚴(yán)R=a,b X c, d上連續(xù)，則x和 x分別在a, b 和 c, d 上可積.其中 x = f x, y dy,x a,b , x = f x, y dy.ca這就是說(shuō)：在 f X, y連續(xù)性假設(shè)下，同時(shí)存在求積順序不同的積分:x, y dy dx 與x,y dx dyb d簡(jiǎn)便記為 dx f x, y dy與a cd bdy f x, y dx,

12、前者表示f x, y先對(duì)y求積然后對(duì)x求積,后者則表示先對(duì)x求 c a積再對(duì)y求積.它們統(tǒng)稱為累次積分或更確切地稱為二次積分.由可積性的定理進(jìn)一步指出，在f x, y連續(xù)性假設(shè)下，累次積分與求積順序無(wú)關(guān)，即若f x, y在矩形區(qū)域R=a,b X c,d上連續(xù)，則b dd badx c f x,y dy= c dy a f x, y dx.acca定理7若f x, y在矩形區(qū)域R=a,b X c,d上連續(xù),g x在a,b上可積，則作為y的函數(shù)b f x, y g x dx在c, d上連續(xù)，且 abdg x dxaccd bx, y dy= cdy acax, y g x dx .注意 推論中閉區(qū)

13、間c,d可以換成開區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間，因?yàn)榭煞e性定理是由連續(xù)性推得的，連續(xù)性是局部性質(zhì)i xb xa例 9 求 I=dx (b>a>0)0 In x由 bxydyab aX XIn xxydy dx =a0dxydy ,因?yàn)?f x, yxy在矩形區(qū)域0,1a,b上連續(xù)，由定理可得I=dy xydx =a 0b dy =l nLJ.a 1 y1 a例10試求累次積分1dx02yy；dy 0三 2x y2y -dx,并指出它們?yōu)槭裁磁c定理的結(jié)果不符.解：dx011 x y0 2x21 x0 2x2yy1dx =01 dy0V2 21 d x y , y2 dx0x y,22xy22xy2

14、2 2xy0001dx1dy10dy 01yddx = y1 10F7dx=arctan1arcta n0 = .4211 ydy -0 0y2x .丁 dxx1 1dx02x0x-,同理可得4. . 2 21 , 1 yxdy20 0 22 2y xdx=4,所以11 x2 y2=dy7dx=0 0 2 2 2x y耳2即1dx1上0 0 2x1°dy21 x0x2Ldx,這與定理不符.2 2y因?yàn)閘imx,y 0,02x2x yx,yim0,02 22x y 2y =2= lim22 2x,yx y2y22 2y不存在,22y2在點(diǎn)2 2 2x y續(xù),不滿足定理的條件.所以f x

15、, y0,0處極限不存在,即在矩形區(qū)域0,10,1上不連1例11應(yīng)用積分號(hào)下的積分法求積分,0sinb a,1 x x . lndxx ln xsin ln 1xb ax xln xdybxln x因?yàn)閘imx 00,lim gx 10, g 00,g10,所以g X在0,1上連續(xù).一 1所以sin0In1xbax x , dx =In x10gbsinaIn1xxydy dx.令 f x,ysin In 丄 xy,x則 f x,y0 , I在矩形區(qū)域0,10.a,b上連續(xù),由定理可知bsinaIn1 xydy dxxdy sin In 1 xydx0xb1 tady 0 e y sintdt

16、dy arcta n 1 yarcta n 1 a .2.含參量反常積分的分析性質(zhì)及應(yīng)用2.1含參量反常積分的連續(xù)性定理8設(shè)f (x,y)在I c,)上連續(xù),若含參量反常積分(x)= c f (x,y)dy在I上一致連續(xù)，則(x )在I上連續(xù).lim f (x, y)dy(a>0)上一致收斂； 在0,b上不一),有0 xe ' be y,而 0 be/因(x)=01,0x推論f(x,y)在I c,)上連續(xù),若(x) f (x, y)dy在|上內(nèi)閉一致 c收斂,則(x)在I上連續(xù)這個(gè)定理也表明，在一致收斂的條件下，極限運(yùn)算與積分運(yùn)算可以交換：xlim c f (x, y)dy c

17、f(x°，y)dy Xo例12證明o Xe xydy在a,b 致收斂.證明 x (a , b) ,y 0,(a>0)上一致收斂.收斂(a>0),由M判別法，知反常積分° xe xydy在a,b內(nèi)連續(xù)，由連續(xù)性定理知在x=0處不連續(xù)，而xe xy在0 x b,0 y +xy0 xe dy在0 x b上不一致連續(xù).例13回答對(duì)極限”口 2xye xydy能否施行極限與積分運(yùn)算順序的變換來(lái)x 0求解？2xylim 0 2xye dyx 02 2xim 0 e xydxyolim ex 02xy0lim 11 -x 02而0 lim 2xye xy dy 0 0dy 0

18、運(yùn)算順序不能交換，是因?yàn)? 2xye xydy在0,b x 0(b>0) 上不一致收斂，故不滿足含參量反常積分連續(xù)性條件.定理9如果函數(shù)f (x,u)在a,+) X ,上連續(xù)，而且積分f (x,u)dxa在,上一致收斂，那么由(x) = f (x,u)dx所確定的函數(shù) 在, a上連續(xù)證明 由于a f (x,u)dx在,上一致連續(xù)，故對(duì)任意 >0,存在Ao>a,使得不等式丨f(x,u)dx | v對(duì),中所有的u成立.因?yàn)楹瘮?shù)f (x,u)在,A3上連續(xù)，f(x,u)dx是,中的連續(xù)函數(shù)，因而對(duì)任意u。,任意& >0, A存在S >0 , 當(dāng)u ,且u u0時(shí)

19、，UoaA f (x, u)dxA0I A0 f (x, u)dx-au- Uo I <S 時(shí),A f (x, Uo)dxaf(x,u°)dx I <3 + 3+-f(x,u0)dx If (x,u)dxf(x,u0)dx If (x,u)dx I + Ao這就證明了在U0處是連續(xù)的.由于u0是,中的任意點(diǎn)，所以在,上連續(xù).這個(gè)定理也可以寫成:limu即在積分一致收斂的條件下（）f (x,u)dx a f (x, u0)dx14討論函數(shù)（lim f （x,u）dx u u。,極限號(hào)與積分號(hào)可以交換.arctanx dx的連續(xù)性區(qū)間.0 x（2 x3）先看函數(shù)（）的定義域是

20、什么，即上述積分在什么范圍內(nèi)收斂.在x=0arcta n x(2 x3)dx2丄.所以當(dāng)1x<2時(shí)，積分0arctanx dx 收斂.x (2 x3)時(shí),arctanx x(2 x)2xarcta nxdx當(dāng)x(2 x)>-2時(shí)收斂.由此得知（）的定義域是（-2,2）.我們只需證明在任意a,b(-2,2 )上連續(xù).根據(jù)定理9只要證明上面的積分在a,b上一致收斂.當(dāng)x （0,1）時(shí)，設(shè)a b<2,這時(shí)存在常數(shù)c使得arcta n x rdx x(2 x)_而 b-1<1,b 1x故由比較判別法，積分10arcta n x 在 dx在x )ax(2(+,b 一致收斂.當(dāng)x1

21、,+ )時(shí),設(shè)-2<aarctan x rdx x(2x)a+3>1,故有比較判別法，積分arctanx dx在a,+(2 x3)）上一致收斂，把積分合在一起，即知arctanx3 dx 在0 X(2 X)a,b（-2,2 ）上一致收斂，故 在（-2,2 ）上連續(xù).微，且'(x). fx(x, y)dy.15 求積分ex£S°dx.0x2記 J(y)=exS0x2dx ,有參量反常積分可微性定理推得J'(y)=ex-sinxydx=arctany ,而 J(0)0,所以 e x1 c(°sxydx = J(y)=0x0xy12I 0 a

22、rctantdt yarctany -1n(1 y ).2例16對(duì)F (x) o x3e x ydy能否運(yùn)用積分與求導(dǎo)運(yùn)算順序變換求解y0 J'(t)dt,邏輯推理 驗(yàn)證函數(shù)F(x)2o x3e x ydy是否滿足可微性定理?xiàng)l件,若不滿足條件，則不能變換順序.1,x 0,注意與級(jí)數(shù)的情形一樣，積分的一致收斂只是保證連續(xù)的一個(gè)充分不必要條件但在f非負(fù)的條件下，積分的一致收斂便是連續(xù)的必要條件2.2含參量反常積分的可微性定理10 設(shè)f(x,y)與fx(x,y)在區(qū)域I c, 上連續(xù).若(x)f (x, y)dy在I上收斂，fx(x, y)dy在I上一致收斂，則(x)在I上可2x4 y)e

23、x ydy = " 0, x 0 o(3x2解由于一(x3e x2y)dy0 x2因而(x3e x y)dy在0,1上不一致收斂，故不能運(yùn)用含參量反常積分可微性定0 x,則 f'(x)1,而2理實(shí)際上，因 F(x) 0 x3e x ydy=x, x2 20 (x3e x y)dy o (3x2 2x4y)e xydy在x=0處為零.故積分與求導(dǎo)運(yùn)算不能交換順序定理11 (積分號(hào)下求導(dǎo)定理)設(shè)f(x,y)與fx(x,y)在I c, 上連續(xù).若(x) f (x, y)dy在I上收斂，而fx(x, y)dy在I上內(nèi)閉一致收斂，則(x)cc在 I 上可微，且'(x)fx(x,

24、 y)dy.c證明設(shè) Cn Co c為一遞增且趨于的數(shù)列,記cnUn(x)c f (x,y)dy,n=1,2 ，cn 1且有I(x) = un(x).由正常積分的連續(xù)性定理得un (x)n 1s f (x, y)dy, n=1,2，由已知條件Cn 1(n=1,2 ,)在 a,b 上可微,且uj(x)fx(x, y)dy 在 a, b 上致收斂,又因若含參變量反常積分f (x, y)dy 關(guān)于 xca,b 一致收斂,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un'(x)關(guān)于x a,b 一致收斂.從而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)n 1un'(x)n 1"fx(x,y)dy. fx(x,y)dyn 1 Gn 1也在a,

25、b上一致收斂,根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)定理,即得I(x)在a, b上可微,I'(x) un'(x)n 1fx(x,y)dy.上述定理的結(jié)果也可記成_d_dxf(x, y)dyf(x,y)dy.x定理12如果函數(shù)f和丄都在a,u上連續(xù),積分 f(x,u)dx在u上一致收斂，那么(u)f (x,u)dx在，上可微,而且'(u)證明對(duì)于任意正整數(shù)nna,令n(x) f (x, u)dx.又因?yàn)槿艉瘮?shù)f及其偏導(dǎo)數(shù)丄都在閉矩形u上可微,而且d (x)du由于Sldx.在ua, bb上連續(xù)，那么函數(shù)(x) f (x,u)dx在，(f(x,u)dx.所以n在，上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)n f(

26、x,u)'n(u) a-X.上一致收斂，所以函數(shù)列 '(u)在上一致收斂,且因n在，上收斂于，故在，上連續(xù)可微，且'(u)空u- u成立.例17利用對(duì)參數(shù)的微分法，計(jì)算微分ax2bx2e2-dx, a > 0,b > 0.x20 Ldx.為了說(shuō)明微中,這里是任知道,積分02e ax dx.對(duì) a中一致收斂，故由上述定理可知上面的運(yùn)算成> 0是任意的，故I'(a)0 e a" dx.在0, 中成立.計(jì)算得所以I(a) . a c.由于I (b)2.3含參量反常積分的可積性I'(a)2ja0,c . b,故最后得 I (a).(. b , a).定理 13 設(shè) f (x, y)在a,bc,