高中數(shù)學第二章平面向量2.3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量2.3.1數(shù)乘向量3ppt課件

1、2.32.3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量2.3.12.3.1數(shù)乘向量數(shù)乘向量【知識提煉】【知識提煉】1.1.數(shù)乘向量的概念與運算律數(shù)乘向量的概念與運算律(1)(1)數(shù)乘向量：數(shù)乘向量：定義：定義： a a是一個是一個_._.長度：長度：_._.向量向量|a|a|方向：方向：一樣一樣相反相反恣意恣意(2)(2)數(shù)乘向量的運算律：數(shù)乘向量的運算律：(a)=_(a)=_(，R).R).(+)a=_(+)a=_(，R).R).(a+b)=_(R).(a+b)=_(R).()a()a a+ a a+ a a+ b a+ b2.2.向量共線的斷定定理與性質定理向量共線的斷定定理與性質定理(

2、1)(1)斷定定理：斷定定理：a a是一個非零向量，假設存在一個實數(shù)是一個非零向量，假設存在一個實數(shù)，使得，使得b=_b=_，那么向量，那么向量b b與非零向量與非零向量a a共線共線. .(2)(2)性質定理：假設向量性質定理：假設向量b b與非零向量與非零向量a a共線，那么存在一個實共線，那么存在一個實數(shù)數(shù)，使得，使得b=_.b=_.aaaa【即時小測】【即時小測】1.1.思索以下問題思索以下問題: :(1)(1)實數(shù)與向量相乘得到數(shù)乘向量實數(shù)與向量相乘得到數(shù)乘向量, ,那么實數(shù)與向量能相加那么實數(shù)與向量能相加( (減減) )嗎嗎? ?提示提示: :不能不能. .實數(shù)與向量可以相乘實數(shù)與

3、向量可以相乘, ,但不能相加減但不能相加減. .(2)(2)假設向量假設向量a,ba,b共線共線, ,一定有一定有b=a(R)b=a(R)嗎嗎? ?提示提示: :不一定不一定. .當當a=0,b0a=0,b0時時,不存在不存在. .2.2.知知,R,R,下面式子正確的選項是下面式子正確的選項是( () )A.aA.a與與a a同向同向 B.0a=0 B.0a=0C.C.假設假設a0,ma=na,a0,ma=na,那么那么m=n D.m=n D.假設假設b=a,b=a,那么那么|b|=|a|b|=|a|【解析】選【解析】選C.C.當當01|1時時, ,有有|a|a|,|a|a|,這意味著表示向量

4、這意味著表示向量a a的有向線段在原方向的有向線段在原方向(1)(1)或反方向或反方向(-1)(-1)上伸長到上伸長到|倍倍; ;當當0|10|1時時, ,有有|a|a|,|a|a|,這意味著表這意味著表示向量示向量a a的有向線段在原方向的有向線段在原方向(01)(01)或反方向或反方向(-10)(-10,2x-10,即即x .x .答案答案:x:x2.(1)2.(1)正確正確. .由于由于20,20,所以所以2a2a與與a a方向一樣且方向一樣且|2a|=2|a|.|2a|=2|a|.(2)(2)正確正確. .由于由于50,50,所以所以5a5a與與a a方向一樣方向一樣, ,且且|5a|

5、=5|a|,|5a|=5|a|,而而-20,-20,所以所以-2a-2a與與a a的方向相反的方向相反, ,且且-2a-2a的模是的模是5a5a模的模的 . .(3)(3)正確正確. .按照相反向量的定義可以判別按照相反向量的定義可以判別. .121225(4)(4)錯誤錯誤. .由于由于-(b-a)-(b-a)與與b-ab-a是一對相反向量是一對相反向量, ,而而a-ba-b與與b-ab-a是一對相反向是一對相反向量量, ,故故a-ba-b與與-(b-a)-(b-a)為相等向量為相等向量. .答案答案:3:3【方法技巧】對數(shù)乘向量的三點闡明【方法技巧】對數(shù)乘向量的三點闡明(1)a(1)a的實

6、數(shù)的實數(shù)叫作向量叫作向量a a的系數(shù)的系數(shù). .(2)(2)向量數(shù)乘運算的幾何意義是把向量數(shù)乘運算的幾何意義是把a a沿著沿著a a的方向或的方向或a a的反方向擴展或減的反方向擴展或減少少. .(3)(3)當當=0=0或或a=0a=0時時,a=0.,a=0.留意是留意是0,0,而不是而不是0.0.【拓展延伸】【拓展延伸】a a的單位向量的單位向量(1)a(1)a的單位向量為的單位向量為e=e= . .(2)a(2)a的方向上的單位向量為的方向上的單位向量為e= .e= . aa aa【變式訓練】知【變式訓練】知O O是平面內一定點是平面內一定點,A,B,C,A,B,C是平面上不共線的三個點是

7、平面上不共線的三個點, ,動點動點P P滿足滿足 (0,+), (0,+),那么點那么點P P的軌跡一定的軌跡一定經過經過ABCABC的的( () )A.A.外心外心 B. B.內心內心C.C.重心重心 D. D.垂心垂心ABACOP OAAB|AC ()【解析】選【解析】選B. B. 上的單位向量上的單位向量, , 上的單位向量上的單位向量, ,那么那么 的方向為的方向為BACBAC的角平分線的方向的角平分線的方向. .ABABAB| 為ACACAC 為ABACAB|AC 類型二類型二 數(shù)乘向量的運算數(shù)乘向量的運算【典例】如圖【典例】如圖,D,E,F,D,E,F分別為分別為ABCABC的邊的

8、邊BC,CA,ABBC,CA,AB的中點的中點, ,且且 試求試求 ( (用用a,ba,b表示表示).).BC, aCA. bAD,BE,CF 【解題探求】題中【解題探求】題中 所在線段在三角形中叫什么所在線段在三角形中叫什么? ?提示提示: :三角形的中線三角形的中線. .AD,BE,CF 【解析】【解析】 11ADACCDCB.22 bba11BEBCCE.CFCAAB221CAACCB2111.222 abbbaba【延伸探求】【延伸探求】1.(1.(改動問法改動問法) )本例條件不變本例條件不變, ,求求 【解析】由于【解析】由于 所以所以 ADBECF. 11AD ACCDCB22

9、，bba11BEBCCECFCAAB221CAACCB2111222 ，abbbaba1111ADBECF.2222 baabba02.(2.(變換條件變換條件) )本例如添加條件本例如添加條件“G“G為為AD,BE,CFAD,BE,CF的交點的交點, ,試求試求 【解析】如圖【解析】如圖, ,由題意知由題意知, ,點點G G為三角形的重心為三角形的重心, ,所以所以 AG BG CG. ， ，2221AGADACCDCB3332 （）()b2121.323322BGBEBCCE332121.3233 ()()babaabab221CGCFCAAB33221CAACCB 322111.3233

10、 ()bbaba【方法技巧】用知向量表示其他向量的兩種方法【方法技巧】用知向量表示其他向量的兩種方法(1)(1)直接法直接法(2)(2)方程法方程法當直接表示比較困難時當直接表示比較困難時, ,可以首先利用三角形法那么和平行四邊形法可以首先利用三角形法那么和平行四邊形法那么建立關于所求向量和知向量的等量關系那么建立關于所求向量和知向量的等量關系, ,然后解關于所求向量的然后解關于所求向量的方程方程. .【補償訓練】在【補償訓練】在 ABCDABCD中中,E,E和和F F分別為邊分別為邊CDCD和和BCBC的中點的中點, ,假設假設其中其中,R,R,求求+的值的值. .ACAEAF, 【解析】如

11、下圖【解析】如下圖, ,設設 那么那么 由于由于 所以所以 所以所以 ABAD ， ，ab11AEAFAC.22 ， ， abababACAEAF ，1122 ( ) ( )ababab11.22( ) ( )ab2113212123 ， ，所以解得 ， ，4.3 【延伸探求】【延伸探求】1.(1.(變換條件、改動問法變換條件、改動問法) )此題條件此題條件“假設假設 其中其中,R,R變?yōu)樽優(yōu)椤?“ , ,試用試用a,ba,b表示表示 ACAEAF ，AB,AD abEF.【解析】方法一【解析】方法一: :由于由于 1AEADDC2 11AB22111AFABBCAD222111EFAFAE.

12、222 ，所以()babaabababab方法二方法二: :由題意知由題意知, , 1EF DB,2 DBABAD.11EFDB.22 所以abab2.(2.(變換條件、改動問法變換條件、改動問法) )此題條件此題條件“假設假設 其中其中, , RR變?yōu)樽優(yōu)椤?“ , ,試用試用a,ba,b表示表示 ACAEAF ，AF,AE abBC,CD. 【解析】方法一【解析】方法一: : 1BC,BF,2 則xx11111AB,DEDCAB.222241142ADDEAE,2433421BC. CDABAB,33211 4242CD.22 3333 由，得即即由，得()axaxxaxbxbabaaxx

13、abaaabBC,CD,11BF,DE.22ABBFAFADDEAE421,332142,.2334242BC,CD.3333 方法二：設則由，得解得所以xyxyxbayxaxybyabbaab類型三類型三 共線向量定理的運用共線向量定理的運用【典例】設兩個非零向量【典例】設兩個非零向量e1e1和和e2e2不共線不共線. .假設假設 求證求證:A,C,D:A,C,D三點共線三點共線. .1212ABBC 32 ， ，eeee12CD82 ，ee【解題探求】【解題探求】A,C,DA,C,D三點共線應滿足的條件是什么三點共線應滿足的條件是什么? ?提示提示:A,C,D:A,C,D三點共線應滿足三點

14、共線應滿足 ACCD. 【證明】【證明】 所以所以 共線共線. .又由于又由于ACAC與與CDCD有公共點有公共點C,C,所以所以A,C,DA,C,D三點共線三點共線. .121212ABBC 32CD82 ， ， ，eeeeee121211AC AB BC 4( 82)CD22 ，eeeeACCD 與【延伸探求】假設【延伸探求】假設 A,C,D A,C,D三點共線三點共線, ,求求k k的值的值. .【解析】【解析】 =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2, =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,由于由于A,C,DA,C,D三點共線三點共線, ,所以所以 共線共

15、線, ,從而存在實數(shù)從而存在實數(shù)使得使得 即即3e1-2e2=(2e1-ke2),3e1-2e2=(2e1-ke2),所以所以 121212ABBC 23CD 2k ， ， ，eeeeeeAC AB BC ACCD 與ACCD ，3234k.2k23，解得 ， 【方法技巧】【方法技巧】1.1.用向量共線定理求參數(shù)的方法用向量共線定理求參數(shù)的方法(1)(1)三點三點A,B,CA,B,C共線問題共線問題: :利用利用 構造方程求參數(shù)構造方程求參數(shù). .(2)(2)知向量知向量ma+nbma+nb與與ka+pb(aka+pb(a與與b b不共線不共線) )共線求參數(shù)的值的步驟共線求參數(shù)的值的步驟設設

16、: :設設ma+nb=(ka+pb);ma+nb=(ka+pb);整整: :整理得整理得ma+nb=ka+pb,ma+nb=ka+pb,故故解解: :解方程組得參數(shù)的值解方程組得參數(shù)的值. .ABAC mknp ，；2.2.運用向量共線定理時的留意點運用向量共線定理時的留意點(1)(1)證明三點共線問題證明三點共線問題, ,可用向量共線處理可用向量共線處理, ,但應留意向量共線與三點但應留意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)絡共線的區(qū)別與聯(lián)絡, ,當兩向量共線且有公共點時當兩向量共線且有公共點時, ,才干得出三點共線才干得出三點共線. .(2)(2)向量向量a,ba,b共線是指存在不全為零的實數(shù)共線

17、是指存在不全為零的實數(shù)1,2,1,2,使使1a+2b=01a+2b=0成成立立, ,假設假設1a+2b=0,1a+2b=0,當且僅當當且僅當1=2=01=2=0時成立時成立, ,那么向量那么向量a,ba,b不共線不共線. .【變式訓練】【變式訓練】(2021(2021全國卷全國卷)設設D D為為ABCABC所在平面內一點所在平面內一點, , 那么那么( () ) BC3CD ，14A.ADABAC3314B.ADABAC3341C.ADABAC3341D.ADABAC33 【解析】選【解析】選A.A.由題知由題知 ADACCD 1ACBC31ACACAB314ABAC.33 【補償訓練】【補償

18、訓練】1.1.設設D,E,FD,E,F分別是分別是ABCABC的三邊的三邊BC,CA,ABBC,CA,AB上的點上的點, ,且且 ( () )A.A.反向平行反向平行 B. B.同向平行同向平行C.C.相互垂直相互垂直 D. D.既不平行也不垂直既不平行也不垂直DC 2BD CE 2EA AF 2FBAD BE CFBC ， ， ，則與【解題指南】【解題指南】 假設存在實數(shù)倍關系假設存在實數(shù)倍關系, ,再看系數(shù)的正負再看系數(shù)的正負, ,假設系數(shù)為正那么同向平行假設系數(shù)為正那么同向平行, ,假設系數(shù)為負那么反向平行假設系數(shù)為負那么反向平行; ;假設不存在實假設不存在實數(shù)倍關數(shù)倍關系那么不平行系那

19、么不平行. .AD BE CFBC 與【解析】選【解析】選A.A.由題意由題意, ,得得 又又 所以所以 所以所以 同理同理, ,得得 將以上三式相加將以上三式相加, ,得得 DC DA AC BD BA AD. ， DC 2BD ，DA AC 2(BA AD) 12ADACAB.33 1212BEBCBA CFCACB.3333 ， 1AD BE CFBC.3 2.2.假設假設a,ba,b是兩個不共線的非零向量是兩個不共線的非零向量,a,a與與b b起點一樣起點一樣, ,那么當那么當t t為何值為何值時時,a,a,tb, (a+b)tb, (a+b)三向量的終點在同一條直線上三向量的終點在同一條直線上? ?13【解析】設【解析】設 那么那么 要使要使A,B,CA,B,C三點共線三點共線, ,只需只需 即即 所以當所以當t= t= 時時, ,三向量的終點在同一條直線上三向量的終點在同一條直線上. .OAOB t ， ，ab1OC()3 ，ab21AC OC OA33 ，abAB OB OAt. baACAB. 21t.33abba223311tt.32 ， ，所以有解得，12易錯案