第三章_應(yīng)變分析

1、第三章 應(yīng)變分析 在第二章我們研究了應(yīng)力張量本身和體力、面力之間的關(guān)系式，即平衡規(guī)律。本章將討論變形體研究的另一個(gè)基本關(guān)系：變形與位移之間的關(guān)系。當(dāng)然要以小變形假設(shè)為基礎(chǔ)，位移和形變相對(duì)于變形體幾何尺寸是微小的。第1節(jié) 位移和（工程）應(yīng)變1.1 位移x2x1x3PuPo 變形體任意點(diǎn)P的位移矢量，有三個(gè)分量。1.2 (工程)應(yīng)變 工程應(yīng)變是通常工程中描述物體局部幾何變化，分為正應(yīng)變和剪應(yīng)變。， g（角變形）兩微元線段夾角的改變量。（工程）正應(yīng)變：e11、e22、e33 ， （工程）剪應(yīng)變：g12=gxy、g23=gyz、g31=gzx 工程應(yīng)變共有六個(gè)分量：三個(gè)正應(yīng)變和三個(gè)剪應(yīng)變，正應(yīng)變以伸長(zhǎng)

2、為正，剪應(yīng)變以使直角變小為正。x1x1x2x2x3x3PPdx1dx2dx3e22dx2g23第2節(jié) 應(yīng)變張量和轉(zhuǎn)動(dòng)張量 應(yīng)變張量和轉(zhuǎn)動(dòng)張量是描述一點(diǎn)變形和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)非常重要的物理量，本節(jié)將討論一下它們與位移之間關(guān)系，在討論之前，先介紹一下相對(duì)位移矢量和張量.2.1 相對(duì)位移矢量和相對(duì)位移張量x2x1x3PuPQQQou+du 相對(duì)位移矢量 （ a） 而 (b) 將（b）式代入（a）式，得 根據(jù)商法則 則 為一個(gè)二階張量相對(duì)位移張量2.2 應(yīng)變張量和轉(zhuǎn)動(dòng)張量 相對(duì)位移張量ui,j包含了變形和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，為了將兩者分開(kāi)，對(duì)ui,j進(jìn)行整理，張量分成對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)張量之和。 或 其中 顯然 eij

3、= eji（對(duì)稱(chēng)張量），wij= -wji （反對(duì)稱(chēng)張量） 而eij 表示變形體的形變，wij 表示了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。 以在平面x1 x2的兩個(gè)垂直線段PQ、PR的相對(duì)位移來(lái)說(shuō)明并直觀看一下eij，wij二階張量表示了形變和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。u1 ,1PRQRQu1、u2x1x2dx1=1dx2=1u1 ,2u2 ,1u2 ,2ab ，相對(duì)位移e12=(u1 ,2 +u2 ,1 ) /2e22=u2 ,2e11=u1 ,1e21= (u2 ,1 +u1 ,2 )/ 2(a+b)/2+w12= (u1 ,2 -u2 ,1 ) /2w21=(u2 ,1 -u1 ,2 ) /2 e11，e12= e21，e22

4、純變形 w12= -w21 純轉(zhuǎn)動(dòng)2.3 轉(zhuǎn)動(dòng)張量的對(duì)偶矢量 由純剛體轉(zhuǎn)動(dòng)可見(jiàn)，w12= -w21，正好相當(dāng)于一個(gè)沿x3軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)矢量，方向?yàn)?，其大?w3 ： 類(lèi)似可得，其它兩個(gè)坐標(biāo)平面，轉(zhuǎn)動(dòng)矢量 、 綜合三個(gè)坐標(biāo)面的轉(zhuǎn)動(dòng)矢量 ： 為轉(zhuǎn)動(dòng)張量的對(duì)偶矢量。 *比較工程應(yīng)變定義和應(yīng)變張量，可得： 第3節(jié) 應(yīng)變張量和轉(zhuǎn)動(dòng)張量的坐標(biāo)變換式 在xk坐標(biāo)系中，已知變形體內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)變張量 ekl和轉(zhuǎn)動(dòng)張量wkl，則在新笛卡爾坐標(biāo)系xi中此點(diǎn)應(yīng)變張量eij和wij均可以通過(guò)二階張量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換式求出它們。 即： 第4節(jié) 主應(yīng)變、應(yīng)變方向應(yīng)變張量的三個(gè)不變量 確定一點(diǎn)的主應(yīng)變和應(yīng)變主方向方法與求主應(yīng)力和應(yīng)力主

5、方向的方法完全一致，求主應(yīng)變的方程解出e1、e2、e3（實(shí)根），、分別為應(yīng)變張量的三個(gè)不變量： 體積應(yīng)變 當(dāng)e1 > e2 > e3時(shí)（三個(gè)主應(yīng)變不相等），三個(gè)主方向相互垂直。第5節(jié) 變形協(xié)調(diào)條件（相容條件） 在本章第二節(jié)中我們討論了一點(diǎn)的應(yīng)變張量，它包含了一點(diǎn)的變形信息，應(yīng)變張量與位移微分關(guān)系稱(chēng)為幾何方程（共六個(gè)）。如果已知變形體的位移狀態(tài)，則由這六個(gè)方程直接求出應(yīng)變張量，但反之由六個(gè)獨(dú)立的任意 eij求ui不行。 因?yàn)?eij僅包含形變，由其求出位移時(shí)，剛體位移是無(wú)法確定的，因此，位移無(wú)法確定。 eij 分量之間必須滿足一定的條件（方程），才能由幾何方程積分求出單值連續(xù)的位移場(chǎng)

6、ui、eij的分量必須滿足的方程稱(chēng)為變形協(xié)調(diào)方程或相容方程。 變形協(xié)調(diào)方程共有六個(gè)，可由幾何方程直接導(dǎo)出。即： ， , 用指標(biāo)符號(hào)表示： 或 用張量表示： *結(jié)論：應(yīng)變張量eij滿足變形協(xié)調(diào)方程是保證單連域的位移單值連續(xù)解存在的必要和充分條件。對(duì)于復(fù)連域還需附加補(bǔ)充條件位移單值條件。abu+u-*單連域：變形體內(nèi)的任何一條封閉線當(dāng)縮小時(shí)均能變?yōu)橐稽c(diǎn)，當(dāng)不滿足時(shí)為多連域。對(duì)于多連域附加補(bǔ)充條件辦法為：假想通過(guò)適當(dāng)截?cái)?，使域?yàn)閱芜B域，在截?cái)嗝鎍b兩側(cè)u+i = u -i 即為補(bǔ)充條件。 作業(yè)：1 給定位移分量 u1=cx1(x2+x3)2, u2=cx2(x1+x3)2, u3=cx3(x1+x2)2 此處c為一個(gè)很小的常數(shù)，求應(yīng)變張量 eij和轉(zhuǎn)動(dòng)張量 wij。2. 將直角坐標(biāo)系繞x3軸轉(zhuǎn)動(dòng)f角，求新坐標(biāo)系應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)換關(guān)系。3 假定體積不可壓縮，位移u1(x1,x2)與u2(x1,x2)很小， u3=0。在一定區(qū)域內(nèi)已知u1=c(1-x22)(a+bx1+cx12) ,其中a、b、c為常數(shù)，且e12=0，求u2(x1,x2)。4 試分析以下工程應(yīng)變狀態(tài)能否存在 （1）e11=k(x12+x22) x3 , e22=kx22x3 , e33=0, g12=2kx1x2x3, g23= g13=0 (2) e11=k(x12+x22) , e22=kx22 , e33=0, g12