中考數(shù)學一元二次方程-經(jīng)典壓軸題含詳細答案

1、一、一元二次方程 真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1已知關于的方程和，是否存在這樣的值，使第一個方程的兩個實數(shù)根的差的平方等于第二個方程的一整數(shù)根？若存在，請求出這樣的值；若不存在，請說明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程中，由一元二次方程的根與系數(shù)的關系，用含n的式子表示出兩個實數(shù)根的差的平方，把方程分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程的根是整數(shù).【詳解】若存在n滿足題意.設x1，x2是方程的兩個根，則x1+x2=2n，x1x2=，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2，由方程得，(x+n-1)x-2(n+1)=0，若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-，但1-n

2、=不是整數(shù)，舍.若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-(舍)，綜上所述，n=0.2已知關于x的一元二次方程x2x+a1=0（1）當a=11時，解這個方程；（2）若這個方程有兩個實數(shù)根x1，x2，求a的取值范圍；（3）若方程兩個實數(shù)根x1，x2滿足2+x1（1x1）2+x2（1x2）=9，求a的值【答案】（1）（2）（3）-4【解析】分析：（1）根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根據(jù)判別式即可求出a的范圍； （3）根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求出答案詳解：（1）把a=11代入方程，得x2x12=0，（x+3）（x4）=0，x+3=0或x4=0，x1=3，x2=4； （2）方程有

3、兩個實數(shù)根，0，即（1）24×1×（a1）0，解得； （3）是方程的兩個實數(shù)根， 2+x1（1x1）2+x2（1x2）=9，把 代入，得：2+a12+a1=9，即（1+a）2=9，解得：a=4，a=2（舍去），所以a的值為4點睛：本題考查了一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用判別式以及根與系數(shù)的關系3已知：關于x的方程kx2+(2k-3)x+k-3=0有兩個不相等實數(shù)根(k<0)（1） 用含k的式子表示方程的兩實數(shù)根；（2）設方程的兩實數(shù)根分別是，（其中），且x2x1+2k=0，求k的值【答案】（I）kx2+（2k3)x+k3 = 0是關于x的一元二次方程由求根公式，得

4、 或（II），而，由題意，有x2x1+2k=01-3k+2k=0即（）解之，得k1=-32,k2=1經(jīng)檢驗k1,k2是方程（）的根，但，k=-32【解析】（1）計算=（2k-3）2-4k（k-3）=90，再利用求根公式即可求出方程的兩根即可；（2）有（1）可知方程的兩根，再有條件x1x2，可知道x1和x2的數(shù)值，代入計算即可一位數(shù)學老師參加本市自來水價格聽證會后，編寫了一道應用題，題目如下：節(jié)約用水、保護水資源，是科學發(fā)展觀的重要體現(xiàn).依據(jù)這種理念，本市制定了一套節(jié)約用水的管理措施，其中規(guī)定每月用水量超過（噸）時，超過部分每噸加收環(huán)境保護費元.下圖反映了每月收取的水費（元）與每月用水量（噸）之

5、間的函數(shù)關系.請你解答下列問題：4已知為正整數(shù)，二次方程的兩根為，求下式的值：【答案】【解析】由韋達定理，有，于是，對正整數(shù)，有原式=5已知關于的方程有兩個實數(shù)根.(1)求的取值范圍； (2)若方程的兩實數(shù)根分別為，且，求的值.【答案】（1） （2）4【解析】試題分析：根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式即可得出 ，解之即可得出結論.根據(jù)韋達定理可得： ，結合 即可得出關于 的一元二次方程，解之即可得出值，再由的結論即可確定值.試題解析：因為方程有兩個實數(shù)根，所以 ，解得.根據(jù)韋達定理，因為，所以，將上式代入可得 ，整理得 ，解得 ，又因為，所以.6關于x的方程(k1)x2+2kx+2=0（1）求證：

6、無論k為何值，方程總有實數(shù)根（2）設x1，x2是方程(k1)x2+2kx+2=0的兩個根，記S=+ x1+x2，S的值能為2嗎？若能，求出此時k的值若不能，請說明理由【答案】（1）詳見解析；（2）S的值能為2，此時k的值為2【解析】試題分析：（1） 本題二次項系數(shù)為(k1)，可能為0，可能不為0，故要分情況討論；要保證一元二次方程總有實數(shù)根，就必須使0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計算即可試題解析：（1）當k-1=0即k=1時，方程為一元一次方程2x=1,x=有一個解；當k-10即k1時，方程為一元二次方程，=（2k）²-4×

7、2（k-1）=4k²-8k8="4(k-1)" ² 40方程有兩不等根綜合得不論k為何值，方程總有實根（2）x x ,x x =S=+ x1+x2=2k-2=2，解得k=2，當k=2時，S的值為2 S的值能為2，此時k的值為2考點：一元二次方程根的判別式；根與系數(shù)的關系7某商場一種商品的進價為每件30元，售價為每件40元每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價促銷（1）若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件32.4元，求兩次下降的百分率；（2）經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價0.5元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得510元的利潤，每件應降價多少

8、元？【答案】（1）兩次下降的百分率為10%； （2）要使每月銷售這種商品的利潤達到510元，且更有利于減少庫存，則商品應降價2.5元【解析】【分析】（1）設每次降價的百分率為 x，（1x）2 為兩次降價后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量條件，列出方程求解即可；（2）設每天要想獲得 510 元的利潤，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價 y 元，由銷售問題的數(shù)量關系建立方程求出其解即可【詳解】解：（1）設每次降價的百分率為 x40×（1x）232.4x10%或 190%（190%不符合題意，舍去）答：該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件 32.4元，兩次下降的

9、百分率為10%；（2）設每天要想獲得 510 元的利潤，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價 y 元，由題意，得 解得：1.5，2.5，有利于減少庫存，y2.5答：要使商場每月銷售這種商品的利潤達到 510 元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價 2.5 元【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價格問題主要解決價格變化前后的平衡關系，列出方程，解答即可8已知關于x的方程x2（m2）x（2m1）=0。（1）求證：方程恒有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長?！敬鸢浮浚?）見詳解；

10、（2）4或4.【解析】【分析】（1）根據(jù)關于x的方程x2（m2）x（2m1）=0的根的判別式的符號來證明結論.（2）根據(jù)一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數(shù)的關系求得方程的另一根.分類討論：當該直角三角形的兩直角邊是2、3時，當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是2、3時，由勾股定理求出得該直角三角形的另一邊，再根據(jù)三角形的周長公式進行計算.【詳解】解：（1）證明：=（m2）24（2m1）=（m2）24，在實數(shù)范圍內(nèi)，m無論取何值，（m2）2+440，即0.關于x的方程x2（m2）x（2m1）=0恒有兩個不相等的實數(shù)根.（2）此方程的一個根是1，121×（m2）（2m1）=0，

11、解得，m=2，則方程的另一根為：m21=2+1=3.當該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為，該直角三角形的周長為13=4.當該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；則該直角三角形的周長為13=4.9已知關于x的方程x2(k+3)x+3k0(1)若該方程的一個根為1，求k的值；(2)求證：不論k取何實數(shù)，該方程總有兩個實數(shù)根【答案】(1)k1；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）把x1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判別式是非負數(shù)即可.【詳解】(1)把x1代入方程x2(k+3)x+3k0得1(k3)+3k0，1k3+3k0解得k1；(2)證明： (k+3)243k (k3)20，所以不論k取何實數(shù)，該方程總有兩個實數(shù)根【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及根的判別式，熟練掌握相關知識點是解題關鍵.10已知:如圖，在中，cm，cm.直線 從點出發(fā)，以2 cm/s的速度向點方向運動，并始終與平行，與線段交于點.同時，點從點出發(fā)，以1cm/s的速度沿向點運動，設運動時間為(s) () .(1)當為何值時，四邊形是矩形?(2)當面積是的面積的5倍時，