材料力學答案

1、8.2.1 8.2.1 二向應力狀態(tài)分析二向應力狀態(tài)分析解析法解析法 平面應力狀態(tài)的解析法平面應力狀態(tài)的解析法平衡原理的應用平衡原理的應用 微元局部的平衡方程微元局部的平衡方程正正 應應 力力xxxx 平面應力狀態(tài)的解析法平面應力狀態(tài)的解析法剪剪 應應 力力 平面應力狀態(tài)的解析法平面應力狀態(tài)的解析法x y yx xyq 角角xyyxq 平面應力狀態(tài)的解析法平面應力狀態(tài)的解析法平衡原理的應用平衡原理的應用微元局部的平衡方程微元局部的平衡方程0 yF0 xF y yxxx y xydAq qx0 xFq qq q - -cos)cos(dAx- - q qq qydA(sin )sin 0dA x

2、+ + q qq qdA(cos )sinxy+ + q qq qdA(sin )cosyx 平面應力狀態(tài)的解析法平面應力狀態(tài)的解析法 y yxxx y xydAq qx0 yF- - x ydA + + q qq qxdA(cos )sin+ + q qq qxydA(cos )cos 0- - q qq qydA(sin )cos- - q qq qyxdA(sin )sin 平面應力狀態(tài)的解析法平面應力狀態(tài)的解析法 y yxxx y xydAq qx x q qxcos2- - q qq qxysincos- - q qq qyxsincos+ + q qysin2 x y q qq q

3、xsincos+ + q qxycos2- - q qq qysincos- - q qyxsin2 平面應力狀態(tài)的解析法平面應力狀態(tài)的解析法 x xy+ +2+ +- - q qxy22cos- - q qxysin 2 x y q qxy- -22sin+ + q qxycos2 y yx xyxxy x y y y x xxy y xypxp 平面應力狀態(tài)的解析法平面應力狀態(tài)的解析法ax y cx b ay c n x yyx 0 F 0 nFdAcoscosdAx-sincosdAx+cossindAy+sinsindAy-0dAsincosdAx-coscosdAx-sinsindA

4、y+cossindAy+022cos1cos2+22cos1sin2-yx xy+ +22cos2yx-+2sinx- 2sin2yx-2cosx+8.2.2 8.2.2 二向應力狀態(tài)分析的圖解法二向應力狀態(tài)分析的圖解法 應力圓應力圓（Mohrs Circle for Stresses）222)(Ryax+-圓心坐標：圓心坐標： +0,2yx半徑：半徑： 222xyx+-任一點坐標：任一點坐標： ,上述方程所表示的圓上述方程所表示的圓應力圓或莫爾圓應力圓或莫爾圓二二.應力圓的畫法：應力圓的畫法： 1.設 ,軸，選取應力比例尺。 2.以 xx,為坐標，得D點， yy,得E點。 3.連DE交 軸于

5、C點，C點即為應力圓的圓心應力圓的圓心。4.以CD或CE為半徑畫圓。即得應力圓。5.以CD為基準線基準線，沿反時針方向另取角度 2圓交于G點 ，得一射線，與,三三.驗證驗證 ,的正確性由應力圓可得：由應力圓可得：6.按比例尺量出 ,值，即為單元體 斜面上的正應力和剪,應力 x x xy yx xy yx y yxyn O C220A1 1B1 2 222 , , EG1 G2 D( y, yx)BD( x, xy)A AF2yxOC+2yxCA-222222xyxCADACD+-+則：則： +2cos2sin2cos2sin2sin2cos2sin2cos2cos2sin22sinDACACD

6、CDCECEELCEOCCLLCOL+由上式可以看出：由應力圓得到的 ,與數(shù)解法 ,的計算公式相對照，完全相符，由此證明，應力圓上與點 xx,成 2角的點的坐標值為相應的 斜截面上的正應力 ，剪應力 值。 -+-+2sin2cos222sin2sin2cos2cos22cosxyxyxCDCDOCCGOCCLLCOL目錄目錄、幾種對應關(guān)系 點面對應點面對應應力圓上某一點的坐標值對應著單元應力圓上某一點的坐標值對應著單元體某一方向面上的正應力和切應力；體某一方向面上的正應力和切應力； 轉(zhuǎn)向?qū)D(zhuǎn)向?qū)霃叫D(zhuǎn)方向與斜截面法線旋轉(zhuǎn)方向半徑旋轉(zhuǎn)方向與斜截面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；一致；二倍角對應二倍角對應

7、半徑轉(zhuǎn)過的角度是斜截面旋轉(zhuǎn)角度半徑轉(zhuǎn)過的角度是斜截面旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。的兩倍。 yyxADxa( x , x)d( y , y)c o yyxx caA c2 2anb 某單元體應力如圖所示，其鉛垂方向和水平方向各平面上的應力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法線分別與x軸成300和600角，試求此二斜面ab和bc上的應力。MPa20MPa103MPa30abc1n xy+ +22cos2yx-+2sinx-23010030+060cos23010-+060sin20-MPa32. 2- 2sin2yx-2cosx+03060sin230100-060cos20+MPa33. 12n23010

8、060+-0120cos23010-+0120sin20-MPa32.42060120sin230100-0120cos20-+MPa33. 1-+-006030+yxMPa40在二向應力狀態(tài)下，任意兩個垂直面上，其的和為一常數(shù)。分析軸向拉伸桿件的最大切應力的作用面，說明低碳鋼拉伸時發(fā)生屈服的主要原因。低碳鋼拉伸時，其上任意一點都是單向應力狀態(tài)。x xy+ +22cos2yx-+2sinx- 2sin2yx-2cosx+2sin2x0452045x2045xmax低碳鋼試樣拉伸至屈服時沿低碳鋼試樣拉伸至屈服時沿45o 表面表面出現(xiàn)滑移線，是由最大切應力引起的。出現(xiàn)滑移線，是由最大切應力引起的。

9、2cos22yx+x 分析圓軸扭轉(zhuǎn)時最大切應力的作用面，說明鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)破壞的主要原因。 xy+ +22cos2yx-+2sinx-2sin- 2sin2yx-2cosx+2cos045-max450+-max4500045minmax 鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)試驗時，正是沿著最大拉應力作用面（即45o螺旋面）斷開的。因此，可以認為這種脆性破壞是由最大拉應力引起的。例題例題4:mKNLPMC2542KNPQC502（壓應力）MPaIyMZCC04.1106002001210150102512333-MPabISQZZCC469.010200106002001210225200150105039393-

10、MPaC04. 1-MPaC469. 0已知：MPaxyxyx07. 1)80sin(469. 0)80cos(204. 1204. 1)80sin()80cos(2240-+-+MPaxyx431.0)80cos()80sin(240-+-8-2-3 平面應力狀態(tài)下的最大應力，主應力平面應力狀態(tài)下的最大應力，主應力 yxxtg-22y0)2cos2sin2(2+-xyxddy22)max()2(2xyxyxmix+-+yO C220A1 1B1 2 222 , , EG1 G2 D( y, yx)BD( x, xy)A AF22max22xyxyxACAOC+-+1122min22xyxyx

11、BCBOC+-+-11yxxtgCFDFtg-22200DACA 圓A1、B1兩點位于應力圓上同一直徑的兩端，即最大正最大正應力應力所在截面與最小正應力所在截面互相垂直，故，應力圓中各正應力極值所在截面的方位可表示如下：maxminyx0yminmaxx從應力圓中還可看出：應力圓上對應于G1G2兩點，剪應力最大，由此可得到，最大、最小剪應力分別為：*從應力圓中可看出：它們所在截面也相垂直從應力圓中可看出：它們所在截面也相垂直目錄目錄O C220A1 1B1 2 222 , , EG1 G2 D( y, yx)BD ( x, xy)A AF22max2xyxKR+-22min2xyxMR+-平面

12、應力狀態(tài)的幾種特殊情況軸向拉伸壓縮軸向拉伸壓縮2sin2 x)2cos1 (2 +xx 10 322minmaxx xy+ +22cos2yx-+2sinx- 2sin2yx-2cosx+平面應力狀態(tài)的幾種特殊情況扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2cos x 2sin x-x 1x3- xminmax xy+ +22cos2yx-+2sinx- 2sin2yx-2cosx+0 2 彎 曲22minmax)2(xx+221322xxx+2sin2cos22xxx-+2cos2sin2xx+ 已知矩形截面梁已知矩形截面梁, ,某截面上的剪力某截面上的剪力Q=120kNQ=120kN及彎矩及彎矩M=10kNm.M=10k

13、Nm.繪出表示繪出表示1 1、2 2、3 3、4 4點應力狀態(tài)的單元體，并點應力狀態(tài)的單元體，并求出各點的主應力。求出各點的主應力。b=60mm,h=100mm.b=60mm,h=100mm.bhzsFM123mm2541、畫各點應力狀態(tài)圖、畫各點應力狀態(tài)圖1323412、計算各點主應力、計算各點主應力123bhIz4500cm zIMy14310500501010MPa1001點021MPa1003-2點(處于純剪狀態(tài)處于純剪狀態(tài))AFs23max1006021012033MPa3022134212xyxyx+-+MPa30102MPa303-3點(一般平面狀態(tài)一般平面狀態(tài)) zIMy343

14、10500251010MPa50bISFzzs*60105005 .3725601012043MPa5 .22MPa6 .58102MPa6 . 83-4點MPa10010203 自受力構(gòu)件內(nèi)取一單元體自受力構(gòu)件內(nèi)取一單元體, ,其上承受應力如圖示其上承受應力如圖示, ., .試求此點的主應力及主平面試求此點的主應力及主平面. .3abd060060abcxad面面,db面是該點的主面是該點的主平面平面.xy0 xF030cos30sin00+abxabAA3-x3-10233-3例例3：分別用解析法和圖解法求圖示單元體的分別用解析法和圖解法求圖示單元體的(1)指定斜截面上的正應力和剪應力指定

15、斜截面上的正應力和剪應力;(2)主應力值及主方向，并畫在單元體上；主應力值及主方向，并畫在單元體上； (3)最大剪應力值。最大剪應力值。單位：單位：MPa xyxxyxyxxyx-+-+8040602222102222220MPa, MPa MPa, =30MPaMPacossinsincos.解：(一)使用解析法求解 xyxxyxyxxyx-+-+8040602222102222220MPa, MPa MPa, =30MPaMPacossinsincos.maxmintan.+- +-xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或maxmintan.+