數(shù)學(xué)解題思維策略

1、第一講數(shù)學(xué)解題思維策略高考數(shù)學(xué)代數(shù)推理題一、數(shù)學(xué)解題的思維過程數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始， 從經(jīng)過探索思路， 轉(zhuǎn)換問題直至解決問題， 進(jìn)行回顧的全過程的思維活動(dòng)在高考試卷中，有一類問題常以高中代數(shù)的主體內(nèi)容函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列及其綜合部分為知識(shí)背景，并與高等數(shù)學(xué)知識(shí)及思想方法接軌，這就是代數(shù)推理題這類問題立意新穎， 抽象程度高，是數(shù)學(xué)問題的典型代表 具體說來，其思維過程一般分為三步： 首先要領(lǐng)會(huì)題意 （審題）弄清題目的條件是什么？結(jié)論是什么？如果條件和結(jié)論是用文字表達(dá)的， 則把它翻譯成數(shù)學(xué)語言；其次要明確方向在審題的基礎(chǔ)上，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，明確解題目標(biāo)與方向；最后要規(guī)

2、范表述采用適當(dāng)?shù)牟襟E，合乎邏輯地進(jìn)行推理和運(yùn)算，并正確地表述在這里，第一步是關(guān)鍵，這就是我們通常說的審題二、如何審題？1、理清題意審題，就是明確題目的已知和未知，是解題的第一步，這一步不要怕慢從近年高考命題的特點(diǎn)來看，試卷容量有減少的趨向，目的也就是要突出對(duì)考生的能力檢查，增加思考量，倡導(dǎo)多給考生一點(diǎn)思考和探索的時(shí)間其實(shí)，題目本身就是“怎樣解這道題”的信息源，所以審題一定要逐字逐句看清楚，可以 從語法結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系和數(shù)學(xué)含義三方面來理清題意 2、條件啟發(fā)解題手段，結(jié)論誘導(dǎo)解題方向解題實(shí)踐表明， 條件往往預(yù)示可知并啟發(fā)解題手段， 結(jié)論則預(yù)告需知并誘導(dǎo)解題方向 可以按照條件列出所有的解題手段表解，

3、 根據(jù)結(jié)論寫出可能的解題方向， 并尋找出它們之間的聯(lián)系， 這樣做的另一個(gè)好處是，可以將題目進(jìn)行分解，避免失分3、挖掘隱蔽條件對(duì)于條件，一定要用足用夠解題過程中的關(guān)鍵之處，往往是題目未明顯寫出的，即隱蔽給予的一方面，解題時(shí)如果遇到“盲點(diǎn)” ，可以回過頭來分析是否用足用夠條件；另一方面，也只有細(xì)致的審題才能從題目本身獲得盡可能多的信息，這也說明，審題一定不要怕慢例 1（2005 年成都一診22 題）對(duì)于函數(shù)f ( x) ，若存在 x0 R ，使 f ( x0 )x0 成立，則稱 x0 為函數(shù) f ( x) 的不動(dòng)點(diǎn)已知 f ( x)ax2(b 1)x b1(a0) 若對(duì) b R ，f ( x) 恒

4、有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；在的條件下，若y fx的圖像上 A、B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù) fx的不動(dòng)點(diǎn)，且 A、B 兩點(diǎn)=()( )關(guān)于直線 y kx (a24a4)對(duì)稱，求 b 的最小值條件分析 條件呈包含關(guān)系，子條件在結(jié)論二中列出前提條件解題手段：信息遷移（數(shù)學(xué)含義）三個(gè)“二次”結(jié)合（數(shù)形結(jié)合）；子條件解題手段：隱蔽條件；對(duì)稱性（數(shù)形結(jié)合）垂直、中點(diǎn)（點(diǎn)差法）結(jié)論分析 兩個(gè)結(jié)論結(jié)論一解題方向：不等關(guān)系；結(jié)論二解題方向：利用單調(diào)性求最值練習(xí)：1、設(shè)21b ，已知1時(shí)， f ( x) 的最小值是 8 f ( x)2(log 2x)2a log 2 xx2求 a b ；求在的條件下，

5、 f ( x)>0 的解集 A；設(shè)集合B x | xt |1 ,x，且 AB，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍2R答案： a b4； A x | 0 x1或 x 2 ； t1或5t38282、定義在 R上的函數(shù) f(x滿足：如果對(duì)于任意x1, x2x1x2)2)R ，都有 f (2則稱函數(shù) f ( x) 是 R 上的凹函數(shù)已知二次函數(shù)f ( x) ax2x(aR, a0) 求證：當(dāng) a0時(shí)，函數(shù) f ( x) 是凹函數(shù)；如果 x 0,1, | f ( x) | 1，試求實(shí)數(shù) a 的取值范圍答案：略；實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 2,0)三、若干具體的解題策略1 f ( x1 )f ( x2 ) ，為了使

6、解題的目標(biāo)和方向更明確， 思路更加活潑， 進(jìn)一步提高探索的成效， 我們必須掌握一些具體的解題策略 一切解題的策略的基本出發(fā)點(diǎn)在于變換， 即把面臨的問題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，以通過對(duì)新題的考察， 發(fā)現(xiàn)原題的解題思路， 最終達(dá)到解決原題的目的基于這樣的認(rèn)識(shí)，常用的解題策略有熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化和間接化等策略1、熟悉化策略熟悉化策略，就是將陌生的題目變?yōu)樵?jīng)解過的比較熟悉的題目， 進(jìn)而利用已有的知識(shí)、 經(jīng)驗(yàn)或解題模式，順利地解出原題 可以在分清題目條件和結(jié)論的基礎(chǔ)上，通過變換題目的條件、 結(jié)論及其聯(lián)系上下功夫聯(lián)想回憶基本知識(shí)和題型通過聯(lián)想回憶， 找出現(xiàn)有問題和熟悉問題之間

7、的相似之處和相同的知識(shí)點(diǎn)， 充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有問題全方位、多角度分析題意全方位分析題意，即把題目的所有條件都要分析透， 并找到各條件間以及條件和結(jié)論間的聯(lián)系，從中找出熟悉的解題手段；多角度分析題意，就是要善于從不同的側(cè)面、不同的角度去認(rèn)識(shí)， 根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)調(diào)整分析問題的視角，找到自己熟悉的解題方向恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素通過構(gòu)造輔助元素，如構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造圖形或幾何量、構(gòu)造等價(jià)性命題等，改變題目的形式，變陌生題為熟悉題例 （2003年成都一診20題）已知數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 Sn，p 為非零常數(shù)，滿足條件：2a1； Snan Sn 1 pan 1( n2)；

8、3=1=4 +lim Snn2求證：數(shù)列 an 是等比數(shù)列；求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；若 bn nan，求數(shù)列bn 的前 n 項(xiàng)和Tn b1b2bn=條件分析 條件呈包含關(guān)系，子條件分項(xiàng)列出子條件、聯(lián)想回憶：anSn Sn 1( n2)；=子條件聯(lián)想回憶：等比數(shù)列前n 項(xiàng)和的極限值存在，則公比q 的絕對(duì)值小于 1結(jié)論分析 三個(gè)結(jié)論結(jié)論一根據(jù)定義證明；結(jié)論二求出公比；結(jié)論三聯(lián)想回憶： 數(shù)列 bn 的通項(xiàng)是等差、 等比數(shù)列的通項(xiàng)積， 可用錯(cuò)位相減法求前n 項(xiàng)和 解題評(píng)析 證明：Snan Sn 1 pan 1( n 2)，=4 + an=Sn Sn 1 =4an pan 1 ，（點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用 an S

9、n Sn 1）=( n 2 ) 3 an=pan 1 p 0 且 a1=1，an 10(n 2)，anp (常數(shù) )，故數(shù)列 an是首項(xiàng) a1，公比qp的等比數(shù)列 an 13=13（點(diǎn)評(píng)：應(yīng)說明 an10(n2) ）解：lim Sn3 ，n2p|且 a13，0 |1p2313（點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用無窮遞縮等比數(shù)列前n 項(xiàng)和的極限 ）p ，q1=13數(shù)列 an 的通項(xiàng)為 an( 1 ) n 1 nn3解： bnnan1 ，323nTn b1b2bn1 132n331123n1nTn332333n13n 3，得3 1 ( 1 )n 1n ( 1 ) n 2233（點(diǎn)評(píng)：使用錯(cuò)位相減法求數(shù)列前 n 項(xiàng)和 ）

10、Tn 9 3 ( 1 ) n 13n ( 1 )n 44323練習(xí)：1、數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和記作為 Sn，已知 1 anSn(1)n 2寫出 an 的通項(xiàng)公式，并證明；對(duì)于給出的正整數(shù) k，當(dāng) n>k 時(shí)，liman kA，且 A ( 0.1,0.001) ，求 k 值nSn k1答案： ann(n1)； k=2, 3, 4 2n 12、一計(jì)算裝置有一數(shù)據(jù)入口A 和一個(gè)運(yùn)算結(jié)果的出口B將自然數(shù)列 n( n1) 中的各數(shù)依次輸入 A 口，從 B 口得到數(shù)列 an 結(jié)果表明：從 A 口輸入 n=1 時(shí)，從 B 口得到 a11 ；當(dāng) n23時(shí)，從 A 口輸入 n，從 B 口得到的結(jié)果 a

11、n 是將前一結(jié)果 an 1 先乘以自然數(shù)列 n( n1) 中的第 n1 個(gè)奇數(shù)，再除以自然數(shù)列 n( n 1) 中的第 n 個(gè)奇數(shù)+1從 A 口分別輸入 2 和 3 時(shí)，從 B 口分別得到什么數(shù)？猜測(cè)并證明當(dāng)入口 A 輸入自然數(shù)列 n( n 1) 時(shí)，從 B 口得到的數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；為滿足計(jì)算需要，工程師對(duì)裝置進(jìn)行了改造，使 B 口出來的數(shù)據(jù) an 依次進(jìn)入 C 口進(jìn)行調(diào)整，結(jié)果為一列數(shù)據(jù) bn 若 bn1，則非零常數(shù) p、q 滿足什么關(guān)系式，才能使 C 口所得數(shù)列( pnq)an bn 為等差數(shù)列？答案： 1和 1； an1； p2q 1535(2 n 1)(2n1)3、一個(gè)正三棱錐

12、，其側(cè)棱長為1，且三條側(cè)棱兩兩垂直，求該三棱錐的外接球的表面積答案：3 2、簡單化策略簡單化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時(shí)， 要設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡單、 易于解答的新題， 以便通過對(duì)新題的考察， 啟迪解題思路， 以簡馭繁，解出原題簡單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮 一般說來，我們對(duì)于簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉 因此，在實(shí)際解題時(shí)，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的，只是著眼點(diǎn)有所不同而已解題中， 實(shí)施簡單化策略的途徑是多方面的，常用的有：尋求中間環(huán)節(jié)，分類考察討論，簡化已知條件，恰當(dāng)分解結(jié)論等尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件就多數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的題目的生成背景而論， 大多是由一

13、些簡單題目經(jīng)適當(dāng)組合并抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的因此， 應(yīng)盡可能從題目的因果關(guān)系入手， 尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化分類考察討論某些題目，其解題的復(fù)雜性在于它的條件、結(jié)論（或問題）包含多種不易識(shí)別的可能情形對(duì)于這類問題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)， 把原題分解成一組并列的簡單題， 有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化簡化已知條件，恰當(dāng)分解結(jié)論如果解題的復(fù)雜性來自于條件或結(jié)論的抽象概括， 可以考慮將條件進(jìn)行簡單化處理， 或嘗試把結(jié)論分解為幾個(gè)簡單的部分，以便各個(gè)擊破，解出原題 例 3 已 知 等 比 數(shù) 列 xn 的 各 項(xiàng) 為 不 等 于 1 的 正 數(shù) ， 數(shù)

14、列 yn 滿 足 yn log xn a 2(a 0且 a 1) ，設(shè) y3 18 ， y6 12 求數(shù)列 yn 的前多少項(xiàng)和最大，最大值為多少？試判斷是否存在自然數(shù)M，使當(dāng) n>M時(shí)， xn1恒成立？若存在，求出相應(yīng)的M，若不存在，請(qǐng)說明理由；令 anlog xn xn 1 (n13, nN ) ，試判斷數(shù)列 an 的增減性 條件分析 三個(gè)條件 第一個(gè)條件解題手段：等比數(shù)列；第二個(gè)條件解題手段：兩個(gè)數(shù)列間的關(guān)系等比數(shù)列的對(duì)數(shù)；第三個(gè)條件解題手段：第二個(gè)數(shù)列具體化 結(jié)論分析 三個(gè)結(jié)論，皆屬探索性命題 結(jié)論一最值探索；結(jié)論二有界性探索；結(jié)論三單調(diào)性探索 解題關(guān)鍵 數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的函

15、數(shù)解題評(píng)析（I ）設(shè)等比數(shù)列 xn 的公比為 q(q1) ，則yn22 loga xn log xnayn 1ynxn 12 log a q ，2(log a xn 1 log a xn ) 2log axn數(shù)列 yn 為等差數(shù)列，設(shè)公差為 d（點(diǎn)評(píng)：挖掘隱含條件數(shù)列 yn 為等差數(shù)列 ）y318 ， y6 12 ，dy6 y32 ，3yny3 (n 3) ( 2) 24 2n 設(shè)數(shù)列 ynyk0k 12， 前 k 項(xiàng)和最大，則11yk 10 前 11 項(xiàng)和及前 12 項(xiàng)和為最大，其和為132（ II ） xna12 n , n N 若 xn 1，即 a12 n 1，當(dāng) a>1 時(shí)， n

16、<12，不等式不成立；當(dāng) 0<a<1 時(shí)， n>12，不等式成立 （點(diǎn)評(píng)：分類考察討論）存在 M12, 13, 14,，當(dāng) n>M時(shí)， xn1恒成立 12 ( n 1)（ III） anlog xnxn 1log a12n a12( n 1)log a a12 nn11 log a an12an 1ann10n1110(n13)，n11n12(n11)(n12) n>13 時(shí)，數(shù)列 an 為遞減數(shù)列練習(xí)：1、若函數(shù)253) 的最大值為1，求a的值y sinxa cos xa(0x822答案： a3 2、已知 c20 設(shè) P：函數(shù)x在 R上單調(diào)遞減； ：不等式

17、x | x 2c | 1的解集為如果Py cQR和 Q有且僅有一個(gè)正確，試求c 的取值范圍答案： c11,) (0, 23、設(shè)函數(shù) f ( x)ax2bxc ，對(duì)一切 x 1,1，都有 | f ( x) |1 ，求證：對(duì)一切 x 1,1 ，都有 | 2ax b | 43、直觀化策略直觀化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道內(nèi)容抽象、 不易捉摸的題目時(shí)， 要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為形象鮮明、直觀具體的問題， 以便憑借事物的形象把握題中所涉及的各對(duì)象之間的聯(lián)系， 從而找到原題的解題思路圖表直觀有些數(shù)學(xué)題，內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給理解題意增添了因難， 常常會(huì)由于題目的抽象性和復(fù)雜性，使正常的思維難以進(jìn)行到底 . 對(duì)于這

18、類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，將有助于抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化， 使思維有相對(duì)具體的依托， 便于深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索圖形直觀對(duì)某些涉及數(shù)量關(guān)系的題目，用代數(shù)方法求解，計(jì)算量偏大這時(shí)，不妨借助圖形直觀，給題中有關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)?shù)膸缀畏治?，以拓寬解題思路，找到簡捷、合理的解題途徑圖象直觀不少涉及數(shù)量關(guān)系的題目， 都與函數(shù)的圖象密切相關(guān) 如果靈活運(yùn)用函數(shù)圖象的直觀性，常?？梢砸院嗰S繁，獲得簡便、巧妙的解法例 4某摩托車生產(chǎn)企業(yè)， 上半年生產(chǎn)摩托車的投入成本1 萬元 / 輛，出廠價(jià)為 1.2 萬元 / 輛，年銷售量為 1000 輛，本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度投入

19、成本，若每輛車投入成本增加的比例為x(0< x<1) ，則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為0.75 x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6 x，已知年利潤(出廠價(jià) 投入成本 )年銷售量 寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤 y 與投入成本增加比例 x 的關(guān)系式；為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x 應(yīng)在什么范圍內(nèi)？試題分析 列表如下：成本（萬元 / 輛）出廠價(jià)（萬元 / 輛）銷售量（輛）去年11.21000今年x1.2(1+0.75x)1000(1+0.6x)1+解題評(píng)析 依題意和上表數(shù)據(jù)有y1.2 (10.75 x) 1(1x)1000(1 0.6x)(0 x1) ，整理得 y60

20、x220x 200(0x1) （點(diǎn)評(píng)：布列關(guān)系式時(shí)，不僅要緊扣題意，還要注意自變量x 的取值范圍，特別是應(yīng)用題的定義域必須同時(shí)滿足解析式有意義和實(shí)際問題有意義，只有準(zhǔn)確寫出定義域方可避免解答過程的失誤或答案的失誤 ）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)將 y 的關(guān)系式代入，解不等式組得0 x1 3x 應(yīng)滿足x答：為保證本年度的利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例0< <0.33例 5設(shè) | z|=1 ，且 arg z (, 3) ，求 arg zi 的值 22zi試題分析 利用復(fù)平面，將復(fù)數(shù)與點(diǎn)及向量對(duì)應(yīng)，以便展開幾何上的定形分析解題評(píng)析 設(shè) z、i 、 i 在復(fù)平面上

21、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P、A、Barg z (,3 )，22P 點(diǎn)在左半單位圓上，如圖，AP 、 BP 分別表示對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù) z i 、z i+由復(fù)數(shù)除法的幾何意義知， arg zi 表示 BP 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到 AP 方向ziyAPOx的最小正角，B又ziAB是圓的直徑，故 argiz2（點(diǎn)評(píng)：本題可利用復(fù)數(shù)z 的三角形式或共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解，但如果調(diào)整思維視角， 由“數(shù)”的方向轉(zhuǎn)到“形”的角度去觀察，就可簡捷地解答此題）例方程x+lgx=3和 xx的兩實(shí)根分別為 x1、x2，則 x1x26+10 =3+ =_解題評(píng)析3由 x+lgx，得lgx=3 x由 xx，得x x=3+10 =310 =3分別作出

22、 y=lg x， y=10x 及 y=3 x 的圖象，并注互為反函數(shù)，直線y=x 與 y=3 x 互相垂直，可知y意 y=lg x 與 y=10xx1x2 xM，如圖+ =2由 yx,得M(3, 3)，y3 x,2 2 x1+x2 =2xM=3（點(diǎn)評(píng)：看似無法求解的問題通過圖象分析找到了巧妙的解法4、特殊化策略A1MBO 1x）特殊化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時(shí)， 要注意從一般退到特殊， 可以考慮是否滿足一些特殊的條件， 或考察包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題， 以從特殊問題的研究中，發(fā)現(xiàn)解答原題的方向或途徑例7設(shè)二次函數(shù)f ( x) x 2bxc(b, cR)

23、，對(duì)任意實(shí)數(shù)、 ，恒有 f (sin )0 ，且f (2 cos)0 求證 bc1 ；求證 c3 ；若 f (sin) 的最大值為 8，求 b、c 的值 試題分析 注意到1sin1及 12cos3 ，實(shí)施特殊化策略（賦值法）可解解題評(píng)析 1sin1，且 f (sin )0 ，f (1)0又12cos3，且 f ( 2cos) 0，f (1)0（點(diǎn)評(píng)：特殊化策略 ） f (1) 0 ，即 1+ b+c=0（點(diǎn)評(píng)：賦值法 ） b c 1 f (3)0 ，即 9 3b c0 ，由（ I ）， b c1 ，c 3 （點(diǎn)評(píng)：注意利用的結(jié)論） f (sin)sin2( 1c) sinc(sin1 c) 2

24、c(1 c) 2 22c 3 ， 1c2 ， f (sin) 的最大值為8，2當(dāng) sin1 時(shí)， f (sin)8 ，即 1 bc 8 （點(diǎn)評(píng)：配方定軸看單調(diào) ）解方程組 1bc8,bc1.得 b 4 ，c=3練習(xí)：、設(shè)函數(shù) fx是定義在 R 上的增函數(shù)， f(1)=aa，且f x)mf(mx mR，求 f ( x) 并1( )( >0)(),證明a>1答案： f (x)ax 、已知函數(shù)定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1 , x2都滿足 f (x1x2 )f ( x1)f ( x2 ) ，當(dāng) x 0 時(shí)，2f ( x)0 判斷 f ( x) 的奇偶性和單調(diào)性；當(dāng)0, 時(shí)，f (cos23

25、)f (4 m2m cos)0 對(duì)所有的均成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍2答案：略；(422,) 3、在ABC 中，若 c2a2b2 ，則 ABC 為直角三角形，且 C為直角現(xiàn)在請(qǐng)你研究：若 cnanbn (n2, nN ) ，則 ABC 為何種形狀的三角形？答案：銳角三角形5、一般化策略一般化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道 計(jì)算比較復(fù)雜 或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯 的特殊問題時(shí)， 應(yīng)設(shè)法把特殊問題一般化， 從而找出一個(gè)能夠揭示事物本質(zhì)屬性的一般情形的方法、 技巧或結(jié)果， 以順利解出原題 例8 （ 2002理 ） 已 知 函 數(shù) f ( x)x2， 那 么 f (1) f (2) f ( 1 ) f (3)

26、1x22f ( 1) f (4)f ( 1 ) _34練習(xí)：1、已知函數(shù) f ( x) a1xa2 x2a3x3Lan xn , n N，且 a1, a2 ,L ,an 構(gòu)成一個(gè)數(shù)列 an ，滿足f (1) n2 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式，并求 liman之值；nan 1證明10 f ( ) 13答案： an 2n1， lim an1 ；略nan12、已知橢圓 x2y2a2 (a0) 和點(diǎn) A( 1,1)， B(2,4) 若線段 AB 與橢圓沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)2a 的取值范圍6答案： a(0,)(23,) 6、簡接化策略間接化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道從正面入手復(fù)雜繁難， 或在特定場(chǎng)合甚至找

27、不到解題依據(jù)的題目時(shí)，就需要改變思維視角， 從結(jié)論（或問題）的反面進(jìn)行思考， 以便化難為易解出原題 . 所謂正難則反，說的也就是這個(gè)意思例 9函數(shù)f ( x)1的定義域?yàn)椋?lim f (n)0( nN )bxRn1 a2a求證：，b ；>0<0若 f (1)4 且 f (0)1 , 求證： f (1)f (2)f (n)n11 (n N ) 522n 12解題評(píng)析 f ( x) 的定義域?yàn)?R， 1 a 2bx0 ，即 a2 bx ，由 x R ，有 a 0（點(diǎn)評(píng)：定義域優(yōu)先 ）若a，則 fx)=1，與lim f ( n)0矛盾=0(n（點(diǎn)評(píng)：正難則反）a，>0111(0

28、2 b1)limf ( n) lim1bn1(2 b1)nna 2a0( 2 b1)（點(diǎn)評(píng)：分類討論 ） 2 b 1，即 b<0故 a>0， b<0f (0)11 ，1a2a=1又 f (1)14，1 2b5 2b1 ， b2 4（點(diǎn)評(píng)：待定系數(shù)法 ）f ( x)14x111 2 2 x1 4x14 x當(dāng) kN 時(shí)， f (k) 11k11k ，1422（點(diǎn)評(píng)：一般化策略 ）f (1)f (2)f ( n)n(1121)222222n11n4 (12n)111n2n 1212練習(xí)：1、若二次函數(shù) f ( x)4x22( p2) x2 p2p1在區(qū)間 1,1上至少存在一點(diǎn)，使0

29、，mf (m)求實(shí)數(shù) p 的取值范圍答案： p( 3,3) 212、某正態(tài)總體的概率密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，求總體落入?yún)^(qū)間2( 1.2,0.2) 之間的概率（參考數(shù)據(jù)：(0.2) 0.5793 ， (1.2)0.8849 ）答案： 0.4642 、盒子里裝有若干個(gè)球，每個(gè)球都記有從1開始的一個(gè)號(hào)碼，設(shè)號(hào)碼為n 的球重 n21535n3（克）假設(shè)盒子的容量最多可裝 35 個(gè)球，而且符合條件的球無一例外的都被裝入盒中， 這些球以等可能性（不受重量、號(hào)碼的影響）從盒子里取出如果任意取出一球，試求其重量大于號(hào)碼數(shù)的概率；如果同時(shí)任意取出2 球，試求它們重量相同的概率答案： 28 ；43

30、5595四、尋根查祖，提高數(shù)學(xué)解題能力可以通過以下探索途徑來提高解題能力：1、研究問題的條件時(shí)，在需要與可能的情況下，可畫出相應(yīng)圖形或思路圖幫助思考因?yàn)檫@意味著你對(duì)題的整個(gè)情境有了清晰的具體的了解2、清晰地理解情境中的各個(gè)元素；一定要弄清楚其中哪些元素是給定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的 3、深入地分析并思考習(xí)題敘述中的每一個(gè)符號(hào)、術(shù)語的含義，從中找出習(xí)題的重要元素，要在圖中標(biāo)出（用直觀符號(hào)） 已知元素和未知元素， 并試著改變一下題目中 （或圖中）各元素的位置，看看能否有重要發(fā)現(xiàn) 4、盡可能從整體上理解題目的條件，找出它的特點(diǎn)，聯(lián)想以前是否遇到過類似題目5、仔細(xì)考慮題意是否有其他不同理解題目的條件有無多余的、互相矛盾的內(nèi)容？是否還缺少條件？6、認(rèn)真研究題目提出的目標(biāo)通過目標(biāo)找出哪些定理、法則、公式同題目或其他元素有聯(lián)系7、如果在解題中發(fā)現(xiàn)有你熟悉的一般數(shù)學(xué)方法，就盡可能用這種方法的語言表示題的元素，以利于解題思路的展開 以上途徑特別有利于開始解題者能迅