第三章 可靠性概率分布

1、可靠性的概率分布可靠性的概率分布1. 了解二項(xiàng)分布、泊松分布的含義和計(jì)算了解二項(xiàng)分布、泊松分布的含義和計(jì)算 2. 掌握指數(shù)分布、正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布掌握指數(shù)分布、正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布的特性以及特征值的獲取和威布爾分布的特性以及特征值的獲取 3. 會(huì)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表會(huì)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表主要內(nèi)容主要內(nèi)容 離散型離散型隨機(jī)變量的幾種常見分布隨機(jī)變量的幾種常見分布n兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布n二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布n泊松分布泊松分布n幾何分布和負(fù)二項(xiàng)分布幾何分布和負(fù)二項(xiàng)分布n超幾何分布超幾何分布 連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量的幾種常見分布隨機(jī)變量的幾種常見分布n正態(tài)分布正態(tài)分布n截尾正態(tài)分布截尾正態(tài)分布n對(duì)數(shù)正

2、態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布n指數(shù)分布指數(shù)分布n伽瑪分布伽瑪分布n威布爾分布威布爾分布可靠性的概率分布可靠性的概率分布 可靠性工程以產(chǎn)品的壽命特征為主要研究對(duì)象。產(chǎn)品的壽命特征一般是連續(xù)的隨機(jī)變量，例如產(chǎn)品故障時(shí)間和維修時(shí)間等。處理這種問(wèn)題可利用概率統(tǒng)計(jì)方法，找出它們的概率分布和概率密度函數(shù)，有了確定的分布就可以求出該分布特征統(tǒng)計(jì)量，如正態(tài)分布的均值及標(biāo)準(zhǔn)差。即使不知道具體的分布函數(shù)，也可以通過(guò)對(duì)分布的參數(shù)估計(jì)求得某些特征量的估計(jì)值。這些分布及概率密度函數(shù)，不僅描述了壽命的內(nèi)在規(guī)律，而且分布的參數(shù)還決定了產(chǎn)品的壽命特征。因此必須對(duì)失效分布作較深入的研究 離散型隨機(jī)變量的幾種常見分布離散型隨機(jī)變量的幾種常

3、見分布 可靠性抽樣試驗(yàn)以及產(chǎn)品質(zhì)量保證等大量工程實(shí)際問(wèn)題需要用到離散模型離散模型。主要有n兩點(diǎn)分布n二項(xiàng)分布n泊松分布n幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布n超幾何分布 兩點(diǎn)分布又稱（0，1）分布 數(shù)學(xué)模型的隨機(jī)試驗(yàn)只可能有兩種試驗(yàn)結(jié)果 兩點(diǎn)分布的分布列或分布律也可寫成: 也可表示為 :111 , 0)1 (poqpxqpxXPkkkxxk兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布數(shù)字特征:兩點(diǎn)分布可以作為描繪從一批產(chǎn)品中任意抽取一件一件得到的“合格品”或“不合格品”的概率分布模型 pqppppXDpqpXE)1 ()(01)(2二項(xiàng)分布又稱貝努里分布。二項(xiàng)分布滿足以下基本假定：n 試驗(yàn)次數(shù)n是一定的；n 每次試驗(yàn)的

4、結(jié)果只有兩種，成功或失?。籲 每次試驗(yàn)的成功概率和失敗概率相同，即p和q是常數(shù)；n 所有試驗(yàn)是獨(dú)立的。 所謂獨(dú)立試驗(yàn)是指將試驗(yàn)A重復(fù)做n次，若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都與其他各次試驗(yàn)結(jié)果無(wú)關(guān)，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的，并稱它們構(gòu)成一個(gè)序列二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 在二項(xiàng)分布中，若一次試驗(yàn)中， ,則在n次獨(dú)立地重復(fù)試驗(yàn)中，試驗(yàn)A發(fā)生的概率為:上式為二項(xiàng)概率公式。若用X表示在n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，顯然，X是一個(gè)隨機(jī)變量，X的可能取值為0,1,2,n，則 隨機(jī)變量X的分布律為： 此時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n,p）。 當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布簡(jiǎn)化為兩點(diǎn)分布即：), 2 ,

5、1 , 0()(nkqpCkPknkknn), 2 , 1 , 0()(nkqpCkXPknkkn1 , 0,1kqpkXpkk二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 pAPpAP1)(,)( 隨機(jī)變量X取值不大于k的累積分布函數(shù)為: X的數(shù)學(xué)期望與方差分別為: 二項(xiàng)分布用來(lái)計(jì)算冗余系統(tǒng)的可靠度，也可用于計(jì)算一次性使用裝置或系統(tǒng)的可靠度估計(jì) 比如汽車上的雙管路制動(dòng)系統(tǒng)nrrnrrnqpCkXPkF0)()(nknkpnpnpqkXPXEkXDnpkXkPxE020)1 ()()()()()(二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 在二項(xiàng)分布中，如果 （常數(shù)），則二項(xiàng)分布可表示為： 此時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布。泊松分布可認(rèn)為是

6、當(dāng)n無(wú)限大時(shí)二項(xiàng)分布的推廣。當(dāng)n很大、p很小時(shí)，可用泊松分布近似代替二項(xiàng)分布。一般地，當(dāng)n20,p0.05時(shí)，近似程度較好。 隨機(jī)變量X取值不大于k次的累積分布函數(shù)為： X的期望與方差分別為： nnplim)0,2 , 1 ,0(!)(nkekkXPkkrrerkXPkF0!)()(020)()()()()(kkKXPXEkXDkXkPXE泊松分布泊松分布 泊松分布，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)奶幚砜沙蔀橹笖?shù)分布。假泊松分布，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)奶幚砜沙蔀橹笖?shù)分布。假定：定：n在互不相交的時(shí)間區(qū)間內(nèi)所發(fā)生的失效是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；n單位時(shí)間內(nèi)的平均失效次數(shù)為常數(shù)，而與所考慮的時(shí)間區(qū)間無(wú)關(guān)。泊松過(guò)程有下面兩個(gè)重要性質(zhì): (1)設(shè)

7、t是時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度，則在此區(qū)間內(nèi)發(fā)生失效的次數(shù)X是一個(gè)整數(shù)型的隨機(jī)變量，在此時(shí)間區(qū)間內(nèi)，發(fā)生k次失效的概率服從一個(gè)均值為t的泊松分布: (2)在任意兩次相鄰的失效之間的時(shí)間T是獨(dú)立的連續(xù)型的隨機(jī)變量，服從參數(shù)為的指數(shù)分布 : )0(!)()(kektkXPtktetRtTP)()(泊松分布泊松分布 兩次失效的平均時(shí)間為 ,泊松過(guò)程適合于建模有較多的元件傾向于失效，而每個(gè)元件失效的概率比較小的情況1泊松分布泊松分布 例：有人打靶，每次命中率均為0.7，現(xiàn)獨(dú)立射擊5次，求恰好命中2次的概率？解：每次射擊有“擊中”和“未擊中”兩個(gè)可能，設(shè) ，“恰好有兩次幾種”的情況有 種共有C25543215432

8、154321,.AA,AA,AAAAAAAAAAA3254321543213 . 07 . 03 . 03 . 03 . 07 . 07 . 0)()()()()()AA(APAPAPAPAPAAAP1323.03.07.0)(3225CCknkknqPAP二項(xiàng)分布實(shí)例二項(xiàng)分布實(shí)例次擊中第iAi如果要求命中不少于2次的概率？例：一架飛機(jī)有三個(gè)著陸輪胎，若不多于一個(gè)輪胎爆破，飛機(jī)便能安全著陸。試驗(yàn)表明，每一千次著陸發(fā)生一次輪胎爆破。求飛機(jī)安全著陸的概率？解： 99999.0999.0001.0999.0001.0)()()(21133003）（）（）（）（只有一個(gè)輪胎爆破沒有輪胎著陸安全著陸CC

9、PPP二項(xiàng)分布實(shí)例二項(xiàng)分布實(shí)例思考：假如只有兩個(gè)輪胎，安全著陸的概率？ 正態(tài)分布正態(tài)分布 對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布 指數(shù)分布指數(shù)分布 伽瑪分布伽瑪分布 威布爾分布威布爾分布連續(xù)型隨機(jī)變量的幾種常見分布連續(xù)型隨機(jī)變量的幾種常見分布指數(shù)分布指數(shù)分布1.1.指數(shù)分布指數(shù)分布 在數(shù)學(xué)上易處理成直觀的曲線在數(shù)學(xué)上易處理成直觀的曲線 失效率反映了特征參數(shù)失效率反映了特征參數(shù) 單參數(shù)分布單參數(shù)分布 最基本最常用的分布最基本最常用的分布 若產(chǎn)品的壽命或某一特征值若產(chǎn)品的壽命或某一特征值t的的故障密度故障密度為為 則稱則稱t服從參數(shù)服從參數(shù)的指數(shù)分布的指數(shù)分布( )(0,0)tf tet 指數(shù)分布的特征量函數(shù):

10、n不可靠度（失效）函數(shù)n可靠度函數(shù)n平均壽命 ( )tR tettedttftF01)()(1)(00dttedtttfEt指數(shù)分布指數(shù)分布n 中位壽命：r=0.5 n 特征壽命： n 壽命方差： n 標(biāo)準(zhǔn)差： te5.07E.06971.0ln0.5t5 .0368. 0er1t1ee1t368.0 220221E-dttft1指數(shù)分布性質(zhì)指數(shù)分布性質(zhì) 指數(shù)分布性質(zhì)指數(shù)分布性質(zhì)指數(shù)分布的一個(gè)重要性質(zhì)是指數(shù)分布的一個(gè)重要性質(zhì)是無(wú)記憶性無(wú)記憶性。無(wú)記憶性是產(chǎn)。無(wú)記憶性是產(chǎn)品在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間品在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t0工作之后的剩余壽命仍然具有原來(lái)工作之后的剩余壽命仍然具有原來(lái)工作壽命相同的分布，而與工作壽

11、命相同的分布，而與t無(wú)關(guān)。這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明，無(wú)關(guān)。這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明，壽壽命分布為指數(shù)分布的產(chǎn)品，過(guò)去工作了多久對(duì)現(xiàn)在和命分布為指數(shù)分布的產(chǎn)品，過(guò)去工作了多久對(duì)現(xiàn)在和將來(lái)的壽命分布不發(fā)生影響將來(lái)的壽命分布不發(fā)生影響在在“浴盆曲線浴盆曲線”中，它是屬于偶發(fā)期這一時(shí)段的中，它是屬于偶發(fā)期這一時(shí)段的 指數(shù)分布的特點(diǎn)指數(shù)分布的特點(diǎn)n 只含單一參數(shù)，形式簡(jiǎn)單n 平均壽命、特征壽命、標(biāo)準(zhǔn)離差相等，為n 故障率越小，平均壽命越大，但越大，分布越分散n 平均壽命大于中位壽命1發(fā)動(dòng)機(jī)中有四種故障的壽命概率分布屬于指數(shù)分布發(fā)動(dòng)機(jī)中有四種故障的壽命概率分布屬于指數(shù)分布n 受受隨機(jī)性沖擊隨機(jī)性沖擊時(shí)產(chǎn)生的故障：故障與使用時(shí)間無(wú)

12、關(guān)，時(shí)產(chǎn)生的故障：故障與使用時(shí)間無(wú)關(guān)，僅與外界超強(qiáng)度的沖擊力隨機(jī)到來(lái)和內(nèi)部潛伏的隱患僅與外界超強(qiáng)度的沖擊力隨機(jī)到來(lái)和內(nèi)部潛伏的隱患偶然爆發(fā)有關(guān)，它們是隨機(jī)性偶然發(fā)生故障，如內(nèi)燃偶然爆發(fā)有關(guān)，它們是隨機(jī)性偶然發(fā)生故障，如內(nèi)燃機(jī)超載下工作或過(guò)熱造成的故障機(jī)超載下工作或過(guò)熱造成的故障n 正常使用下的正常使用下的突發(fā)故障突發(fā)故障：常載下往復(fù)運(yùn)動(dòng)零件損傷，：常載下往復(fù)運(yùn)動(dòng)零件損傷，或人為失誤造成的故障，或偶然性操作不當(dāng)或人為失誤造成的故障，或偶然性操作不當(dāng)n 浴盆曲線的浴盆曲線的階段（使用壽命期）階段（使用壽命期）n 發(fā)動(dòng)機(jī)返復(fù)多次維修期間所發(fā)生的故障可考慮為指數(shù)發(fā)動(dòng)機(jī)返復(fù)多次維修期間所發(fā)生的故障可考慮

13、為指數(shù)分布故障分布故障例：內(nèi)燃機(jī)增壓器處于使用壽命期中工作，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)知，壽命服從指數(shù)分布，在100小時(shí)工作內(nèi)有1%發(fā)生故障，求可靠度R（2000）， 的使用壽命？ 解：先求 F（100）=0.01 01. 0e11000001005. 00.991ln10018187.0e)2000(R2000小時(shí)69316971.0t5.0 10489 .01ln1t9 .0小時(shí)9.05.0tt和指數(shù)分布例題指數(shù)分布例題例：一元件壽命服從指數(shù)分布，其平均壽命()為2000小時(shí)，求故障率及求可靠度R (100)=? R(1000)=?解： 此元件在100小時(shí)時(shí)的可靠度為0.95，而在1000小時(shí)時(shí)的可靠度

14、為0.60 410520001195. 0)100(05. 01004105eeR60. 0)1000(5 . 010001054eeR正態(tài)分布正態(tài)分布 正態(tài)分布在機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)中大量應(yīng)用，如材料強(qiáng)度、正態(tài)分布在機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)中大量應(yīng)用，如材料強(qiáng)度、磨損壽命、齒輪輪齒彎曲、疲勞強(qiáng)度以及難以判斷其分布磨損壽命、齒輪輪齒彎曲、疲勞強(qiáng)度以及難以判斷其分布的場(chǎng)合。屬于的場(chǎng)合。屬于遞增型故障率遞增型故障率的概率分布。它的分布曲線處的概率分布。它的分布曲線處于浴盆曲線的于浴盆曲線的耗損階段耗損階段 若產(chǎn)品壽命或某特征值有故障密度若產(chǎn)品壽命或某特征值有故障密度 22()21( )(0,0,0)2tf tet

15、正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布的特征量函數(shù): 不可靠度 查附表2 可靠度 故障率 平均壽命 E=E= tdt) t (f) t (Ft t1tF1tR t1t21exp21tRtft2n可靠壽命 n特征壽命 n中位壽命 rt134. 0t1e5 . 0t 在柴油機(jī)或機(jī)械系統(tǒng)中，有些零件故障是由幾種相對(duì)獨(dú)立的微小主導(dǎo)因素迭加而成的如氣缸、活塞、齒輪和軸類零件 因磨損引起的故障，以及管、閥系統(tǒng)的腐蝕性故障，燃油傳給系統(tǒng)沉淀性故障都屬正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布例例：有兩種內(nèi)燃機(jī)配套機(jī)構(gòu)，A種壽命分布是指數(shù)型，其平均壽命為1000h；B種壽命分布是正態(tài)型，其平均壽命為900h，標(biāo)準(zhǔn)離差= 400h，求：在10

16、0小時(shí)使用期內(nèi)，盡量不發(fā)生故障，求哪種設(shè)計(jì)為好？ 100011000,tA905. 0e100R1000100A解：A：400,900tB9772. 0214009001001100RBB： 對(duì)數(shù)正態(tài)分布是自變量取對(duì)數(shù)自變量取對(duì)數(shù)時(shí)，其故障密度函數(shù)符合正態(tài)分布的一種偏態(tài)性偏態(tài)性概率分布。它的故障率其本屬于遞增型的，但遞增的速度是變化的，先快后慢然后趨于平穩(wěn) 對(duì)數(shù)均值，對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)離差 222lntexpt21tf對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布的特征量 不可靠度函數(shù) 可靠度函數(shù) 故障率函數(shù) -lntdttftFt lnt1tR lnt1lnt21expt21tRtft2n平均壽命E n特征壽命

17、 34. 0eet1 -22eE 對(duì)數(shù)變換可將較大的數(shù)縮小為較小的數(shù)，且愈大的數(shù)縮小得愈多，這一特性可以使較為分散的數(shù)據(jù)通過(guò)對(duì)數(shù)變換相對(duì)的集中起來(lái)，所以常把跨幾個(gè)數(shù)量級(jí)的數(shù)據(jù)用對(duì)數(shù)正態(tài)跨幾個(gè)數(shù)量級(jí)的數(shù)據(jù)用對(duì)數(shù)正態(tài)分布去擬合分布去擬合。 在機(jī)械零件及材料的疲勞壽命中，對(duì)數(shù)正態(tài)分布應(yīng)用得較多。05.0對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布 例：例：一般氣動(dòng)彈簧承載 次后要更換，已知服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，系數(shù)=25,=1.4問(wèn)：更換彈簧前，故障的可能性多大？ 解：內(nèi)燃機(jī)在 次后，氣動(dòng)彈簧的不可靠度: 即 次更換前，故障的可能性為7.9%。 079. 04 . 14 . 125ln1010F10101010101010

18、10 威布爾分布應(yīng)用比較廣泛，常用來(lái)描述材料疲勞失效、軸承失效等壽命分布的。分布包括了產(chǎn)品壽命周期三個(gè)階段的失效分布特征。 威布爾分布是遞增型、恒定型、遞減型多種故障概率分布，威布爾分布是從考慮鏈?zhǔn)綇?qiáng)度模型提出來(lái)的，當(dāng)“鏈條”中“環(huán)”的強(qiáng)度低于隨機(jī)應(yīng)力時(shí)，某一“環(huán)”便可能發(fā)生斷裂，只要某一薄弱環(huán)發(fā)生故障則會(huì)整體失效，因此最弱“環(huán)”的壽命即是產(chǎn)品的壽命。 威布爾分布是用三個(gè)參數(shù)來(lái)描述，這三個(gè)參數(shù)分別是尺度參數(shù)，形狀參數(shù)m、位置參數(shù)，其概率密度函數(shù)為： ()1( )()(,0,0)mtmm tf tetm威布爾分布威布爾分布不同m值的威布爾分布 （=1，=0）m =3m =1/2m=2m =1f(

19、t)t形狀參數(shù)m的大小決定威布爾分布的形狀，當(dāng)m1，密度函數(shù)曲線呈單峰型，且隨m的減小峰高逐漸降低，當(dāng)m=3.5時(shí)，接近正態(tài)分布；當(dāng)m=1時(shí)，密度函數(shù)曲線就是指數(shù)分布的密度函數(shù)曲線；當(dāng)m1時(shí)，密度函數(shù)曲線漸進(jìn)直線t=不同值的威布爾分布 （=2，=0）=1/3=1/2=2=1f(t)t隨著尺度參數(shù)的減小，曲線由同一原點(diǎn)向右擴(kuò)展，最大值減小。不同 值的威布爾分布 （ =1， =2） =0=0.5= - 0.5 =1f(t)t位置參數(shù)的大小反映了密度函數(shù)曲線起始點(diǎn)的位置在橫坐標(biāo)上的變化 當(dāng)m和不變，威布爾分布曲線的形狀不變。隨著的減小，曲線由同一原點(diǎn)向右擴(kuò)展，最大值減小。 當(dāng)和不變，m變化時(shí)，曲線形狀隨m而變化。當(dāng)m值約為3.5時(shí)，威布爾分布接近正態(tài)分布。 當(dāng)和m不變時(shí)，威布爾分布曲線的形狀和尺度都不變，它的位置隨的增加而向右移動(dòng)。 威布爾分布其它一些特點(diǎn)，m1時(shí)，表示磨損失效；m=1時(shí)，表示恒定的隨機(jī)失效，