第四講 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)

1、第二節(jié)第二節(jié) 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)1 1、共軛調(diào)和函數(shù)、共軛調(diào)和函數(shù)由復(fù)變函數(shù)的可微的充要條件，函數(shù)可微必須滿足C-R條件，即： 。而由C-R條件有：, uvuvxyyx 222222, uvuvxx yyy x 顯然有：222222220, 0uuvvxyxy定義定義1(調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù))：如果實函數(shù)u(x,y)在區(qū)域D中有二階連續(xù)偏導數(shù)，并且滿足： ，則稱u(x,y)為區(qū)域D中的調(diào)和函數(shù)。 稱為Laplace方程。( ,)0u x y( ,)0u x y定理定理1：在區(qū)域D中解析的復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其實部和虛部都是該區(qū)域上的調(diào)和函數(shù)。* 若u(

2、x,y),v(x,y)是任意選取的兩個調(diào)和函數(shù)，則f(z)卻不一定解析。例1、驗證u(x,y)=x3-3xy2是二維平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以它為實部的解析函數(shù)。解：222266uxxuxy 顯然： ， u(x,y)為調(diào)和函數(shù)。22220uuxy若以u(x,y)為實部，則函數(shù)解析必須滿足C-R條件，所以：226, (1)33, (2)vuxyxyvuxyyx 由方程(1)解得：2( ,)3( )v x yx yg y將其帶入到(2)中有：2( )3gyy 解得：3( )g yyC 最后可以將解析函數(shù)表示為：32233( )33 f zxxyix yyCziC* 顯然一個解析的復(fù)變函數(shù)的實部和虛部

3、并不是獨立的任意選取的實函數(shù)，而是由C-R條件聯(lián)系在一起的一對共軛實調(diào)和函數(shù)。定理定理2：在區(qū)域D中解析的復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其實部和虛部為該區(qū)域上的共軛調(diào)和函數(shù)。2 2、共軛調(diào)和函數(shù)的幾何意義、共軛調(diào)和函數(shù)的幾何意義12( ,), ( ,)u x yCv x yC在區(qū)域D中解析的復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若f(z)0，并分別取u(x,y),v(x,y)的等值線：可以證明，兩條曲線在交點處正交。證明：若令兩個曲線的交點為(x0,y0)，則：001002(,), (,)u xyCv xyC實部函數(shù)和虛部函數(shù)的梯度場函數(shù)為：( ,)( ,)( ,)

4、( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)xyxyu x yu x yU x yu x yeexyv x yv x yV x yv x yeexy 所以，在交點處兩個等值線的法向量為：現(xiàn)在做兩個向量的內(nèi)積：00000000(,)(,)(,)(,),uvu xyu xyv xyv xynnxyxy0000000000000000(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,) 0uvu xyv xyu xyv xynnxxyyv xyv xyv xyv xyyxxy很顯然，兩個共軛調(diào)和函數(shù)的等值曲線在交點處正交。例2，在復(fù)平面上的解析函數(shù)2( )f zazb解：所以：22( ,)( ,)2u x

5、 ya xybv x yaxy22( )()f zazba xiyb222a xybi axy例3，在復(fù)平面上的解析函數(shù)( )f zz解：若所以：( ,)( ,)u x yaxbycv x yaybxd( )()f zzaibxiycid()axbyci aybxd ,aibcid則：-7.5-5-2.52.557.5-15-10-551015第三節(jié)第三節(jié) 初等解析函數(shù)和多值函數(shù)初等解析函數(shù)和多值函數(shù)1、初等單值函數(shù)、初等單值函數(shù)(1) 冪函數(shù) ,0,1,2nwzn 冪函數(shù)在復(fù)平面上處處解析，同時可以證明多項式函數(shù)： 01nnwaa za z 也處處解析。 而有理函數(shù)： 除了 點外解析。 01

6、01( )( )nnnnaa za zP zwQ zbb zb z( )0Q z (2) 指數(shù)函數(shù) (cossin )zxiyxwee eeyiy 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)： (i) 0ze (ii) 對于實數(shù)z=x來說，復(fù)數(shù)域中的指數(shù)定義與實數(shù)域中 的定義一致。 (iii) 1212zzzze ee (iv) 指數(shù)函數(shù)處處解析，且： zwe (v) 2z i kzee (vi) 不存在。limzze證明：(i) 若0ze 0 xiye e0 xe (iv)( )zf ze00()( )limlimzzzzzf zzf ze eezz 01limzzzeez 01limxi yzze eez 0111l

7、imzzxi yez 0limzzzxi yeez (ii) 正弦函數(shù)為奇函數(shù)和余弦函數(shù)為偶函數(shù)，并遵循三角 公式： 22121212121212sincos1cos()coscossinsinsin()sincoscossinzzzzzzzzzzzzzz (iii) 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)以2為周期； (iv) sinz=0，則 cosz=0，則,0, 1,znn (1/ 2) ,0, 1,znn (v) 在復(fù)數(shù)域中，不能判定cos( )1, sin( )1zz (i) 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)處處解析，且： sincoscos ,sindzdzzzdzdz (3) 三角函數(shù) 11sin,cos22i

8、zizizizzeezeei證明：(i)1( )sin2izizf zzeei()()0()( )1lim2i xxi xxyyyyyixyixzeeeee ee ef zzf zziz ()() 1cossin 1cossini xxi xxyyyyyixyixeeeee eyxixe eyxix 0()( )1lim211 22yixyixzyixyixizize ee eyi xf zzf zzize ee exi yeez 1111yixyixe eyi xe eyi x 11yixyixe eyi xe eyi x yixyixyixyixe ee eyi xe ee e (ii)

9、11sin,cos22izizizizzeezeeicossincossinizizezizeziz1212121cos()2izizizizzze eee121212112212121sin()21 cossincossin2 cossinsincosizizizizzze eeeizizzizzzzz11221cossincossin2zizziz1212coscossinsinzzzz (iv) sinz=00izizee21i ze, 0, 1,znn cos0z 0izizee21i ze 1, 0, 1,2znn2、初等多值函數(shù)、初等多值函數(shù)(I) 根式函數(shù)： , 0,1,2nwz

10、n A 根式函數(shù)的多值性 例如： 0023333niiwezre 很顯然，w與z的模一一對應(yīng)，但幅角卻不然，w的幅角有 三個不同的值與z的幅角對應(yīng)：3002, 0,1,233rnn顯然，對于同一個z值，有三個w與之對應(yīng)，且三個值的幅角相差2/3。若規(guī)定，w只在I區(qū)域取值，則z的值域與w的I區(qū)域就建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系。而對于其反函數(shù)z=w3來說，在區(qū)域I，不同的w值對應(yīng)于z平面上不同的z值，這樣的區(qū)域I(0Arg(w) 2/3)，稱為z=w3的單葉性區(qū)域單葉性區(qū)域。同理，區(qū)域II和III也是z=w3的單葉區(qū)域，三個單葉區(qū)域再加上相鄰處的端邊稱為根式函數(shù)的三個單值分支單值分支。 (II) 支點

11、如圖，在平面上任選一點z(r,)，則利用第一個單值分支得：0331iwre若讓z(r,)按逆時針方向沿一閉合曲線連續(xù)變化，若曲線不包括原點，則連續(xù)改變的幅角回到原來的值，而w的值也回到w1。但如果曲線包含原點，則旋轉(zhuǎn)一周后，w的值不再回到w1，而是回到w2：023332iwre我們稱z=0為 的支點。3wz定義定義(支點支點)：若z繞某點旋轉(zhuǎn)一周回到初始點，多值函數(shù)w=f(z)由一個分支變到另外一個分支，我們稱這樣的點為多值函數(shù)的支點支點。對于根式函數(shù)來說，原點和無窮遠點是其兩個支點。 (III) 支割線 連接支點z=0和z=的任意一條射線，稱為支割線支割線。支割線將z平面割開，并規(guī)定z連續(xù)變

12、化時不得跨越支割線，這就使得割開的z平面上任意閉合曲線都不包括原點，由此根式函數(shù)只在一個單值分支上取值。注：注：把一個多值函數(shù)劃分為單值分支與支割線的選取密切相關(guān)，不同的支割線選取方式使得單值分支的區(qū)域定義也不相同。(II) 對數(shù)函數(shù)： Ln , 0wzz2LnLnln2inwzrerin顯然：( , )ln, ( , )2u x yz v x yn很明顯，對數(shù)函數(shù)是多值函數(shù)，一個z對應(yīng)有無數(shù)個w，彼此的虛部差2的整數(shù)倍。若限定- Arg(z) 很明顯，即- v(x,y)0，計算Ln(-a).解：Lnln2 ,0, 1,wzzi nn 而：izaae 所以：ln21 ,0, 1,wainn 例2：計算Ln(i).解： 因為：/21izie 所以：12 ,0, 1,2winn例3：計算ii。解：Lniie所以：(2)(2)22, 0, 1ikikiieek 因為：(III) 反三角函數(shù)： Arcsin , Arccoswz wz由于： 1()2iwiwzeei則： 2210i wiweeiz 則： 21iweizz所以： 221ArcsinLn11 Ln12iwwzeizzizzi同理，由反余弦函數(shù)得： 21Arc