2018屆高考數(shù)學(xué)滾動(dòng)檢測(cè)03向量數(shù)列的綜合同步單元雙基雙測(cè)(B卷)文

1、向量數(shù)列的綜合 （測(cè)試時(shí)間：120120 分鐘 滿分：150150 分） 、選擇題（共 1212 小題，每題 5 5 分，共 6060 分） 1.1.在ABC中，若點(diǎn) D 滿足 BD =2DC，則 AD 二() 1 2 5 、 2 A A. AC AB B B .-AB AC 3 3 3 3 C. C. 2AC _1AB D D 2 1 - AC AB 3 3 3 3 【答案】D D 【解析】 試題分析BD = 2DCf得久萬一方=2（兀-五）,因此3AD = 2ACAB ,因此AD = ACAB , 故答案為D. 考點(diǎn)：平面向量的應(yīng)用. 2.2. 在等差數(shù)列an中，a! 3a8 a!5 =1

2、20 ,則3a?-叭的值為（ ） A A. 6 6 B B . 12 12 C C . 2424 D D . 4848 【答案】D D 【解析】 試題分析：a1 3a8 a15 =120. 5a8=120. a8 = 24 3a9 -a13 a1 8d TOd =2 14d =2a8 =48 考點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)及通項(xiàng)公式 3.3. 已知匕昇為等比數(shù)列，a4 a2 , , aa6 = -8, ,則 aa二（ ） A. 7 B 5 C .-5 D . -7 【答案】D D 【解析】 試題分析： 由題意， 口 ag3 ag6 = 2 ” 口 a1 = 1 1= -8 得1； ,解得 33 1 ，所以

3、 q = 2 qtag5 = -8 q3 2 a1 a 1 亍a yq9 =a +a (q )3 =1 -7,故選 D. 考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式. 4.已知數(shù)列 a?中，a =1,an =3an j4 n_2，則數(shù)列l(wèi)aj通項(xiàng)公式3n為（ ） n 1 n 1 n n A A. 3 - B B 3 8 C C . 3 -2 D D . 3 【答案】C C 【解析】 試題分析：綣=3口 Z 十斗變形為陽+2 = 3（%十2）二十2対等比數(shù)列，首項(xiàng)対 4 公比為鼻所扶通 項(xiàng)公式護(hù)”4玖工-2 考點(diǎn)：數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式 5.5.【20182018 安徽蒙城五校聯(lián)考】已知非零向量a,b滿足a =4

4、,b =2，且a在b方向上的投影與b在a方 向上的投影相等，則a -b等于（） A. A. 1 B. B. 2、, 5 C. C. 厲 D. D. 3 【答案】B B 【解析】因?yàn)閍在b方向上的投影與b在a方向上的投影相等， b=2， b b2 2 2 /5/5，故選 B.B. 6.6.【20182018 湖南瀏陽五校聯(lián)考】已知圓心為 ，半徑為 1 1 的圓上有不同的三個(gè)點(diǎn) ，其中 ， 存在實(shí)數(shù) 滿足+;；：/ + 宀一 “，則實(shí)數(shù) 的關(guān)系為 2 2 HP = 1 A A 人 + “ 二 1 1 B 入趙 C A/i = 1 1 D A + JJ = 1 1 【答案】A A 【解析】由題意得1

5、;/, - ;- :;1 - ，且 m 一丄 因?yàn)?0C + AOA + uOB = 0 即 0C AOA - uOB 平方得.A2 + 丄”二 1 故選 A.A.設(shè)這兩個(gè)向量的夾角為二，則a COST - b 3T COST -4cosv -2cosv v - 2 3 f 1 7.7.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,a5 =5,53 =15, ,則數(shù)列2 - 的前 100100 項(xiàng)和為 （） ! anan 1 I A 100 D 99 c 99 D D 101 A. A. _ B B C.C. 一 “ 101 101 100 1【答案】A A 【解析】 試題分析：等差數(shù)列山中; 二5, SE5

6、, . 6 + = 5 $ 巧=5 礙=5(心+ 2d) = 15 解得 aFlj d=l .3=1+ (n_l)二n, 1 1 1 I .* -=- - - awGJw.1 1) n #z + l 考點(diǎn)：裂項(xiàng)法求數(shù)列的和. 【答案】A A 【解析】 1 A B AC2 AD以 AB AC表示與AD共線的向量AP，而點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，即 跡一定是通過三角形的重心，故選 A.A. 考點(diǎn)：平面向量 二數(shù)列 的前wo項(xiàng)和2（1-3理-+（血-徐=1-侖 100 101 8.8.已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng) 占 八P滿足 f 1 AB AC L + T V.AB sin

7、B AC sinC 八三0,亠門，則點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABC的（ A.A.重心 B. B. 垂心 C.C. 內(nèi)心 D. D. 外心 試題分析：由正弦定理得 AB sin B 1 - sinC =t ,所以 O P二 O A，- A B t A,C而 P的軌 OP =OA - 【思路點(diǎn)晴】本題主要考查向量的加法和減法的幾何意義，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四5 心等知識(shí)在幾何圖形中應(yīng)用平面向量加法和減法，往往要借助幾何圖形的特征，靈活應(yīng)用三角形法則和 平行四邊形當(dāng)涉及到向量或點(diǎn)的坐標(biāo)問題時(shí)， 應(yīng)用向量共線的充要條件解題較為方便 三角形的四心是: 內(nèi)心、外心、重心和垂心 . . 【答案】

8、B B 【解析】 列，即一=肌 得弧=（2科+3）心 要使 g能被5整除，只需滿足訕 5整除在前100映中有 2科+3 = 54045 -100共20項(xiàng)，或加+3能被5整除，在前100項(xiàng)中有 = 16JL16= 9195共20項(xiàng),故總共 40項(xiàng)，故選B. 考點(diǎn)：數(shù)列遞推式. . 10.10.【20182018 全國(guó)名校聯(lián)考】 設(shè)向量 a,b,c 滿足冑=同=2=2, a b=b=2,（a_c,b-c）=60。，則 c 的 最大值等于（） A. 4 B. 2 C.A. 4 B. 2 C. 、2 D. 1D. 1 【答案】A A 【解析】 所以 ACB =60，所以 AOB ACB =180，所以

9、 代O, B,C四點(diǎn)共圓9.9.若數(shù)列滿足 an 1 2n 5 ，且 ai 二5，則數(shù)列W的前100項(xiàng)中，能被5整除的項(xiàng)數(shù)為（） A A. 42 40 C.C. 30 20 試題分析：由 F _ = i得數(shù)列 2K+5 2w+3 2（JT + 1）+3 2科十 3 2科+3 杲以.1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù) 因?yàn)榘?b =2， a b=一2，所以 cosfa, b a b a, 如圖所以，設(shè) O?=a,OB=b,OC 二 二 c,貝 y CA = a-c, , CB=b -c, , AOB=120 . . 所以當(dāng)OC為圓 M M 的直徑時(shí)， C取得最大值 4.4. 故選 A.A. 點(diǎn)睛：平面向

10、量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路：“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題 轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；“數(shù)化”，即利用平 面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利 用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決. Ibn的前n項(xiàng)和Sn為（ 考點(diǎn)：數(shù)列的求和. . 【方法點(diǎn)晴】 本題主要考查了數(shù)列的求和問題， 其中解答中涉及到等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式、數(shù)列的裂項(xiàng) 求和的方法的知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力， 2 屬于中檔試題，本題的解答中，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得

11、 到an ，進(jìn)而得到bn的通項(xiàng)公式是解答的 n 關(guān)鍵. . 不妨設(shè)為圓 M,M,因?yàn)?AB =b , ,所以 AB2 = 2 =12. . 所以 AB = 2j3, ,由正弦定理可得AOB的外接圓即圓 M M 的直徑為2R = AB =4.=4. sin Z 11.11.已知數(shù)列訂鳥：-, ,- 一 3 3 1 2 3 -+ + 4 4 4 - 9,，若 bn 10 10 10 10 an an 1 那么數(shù)列 4n C.C. 3n 【答案】B B 【解試題分析：由題意得, 2 3 n 1 + 2+3+* +丙 + - + - +- H + 1 一=二一=4丄一丄） , 鼻就 W（ +l） fl

12、 fl+1 所以數(shù)列久的前M項(xiàng)和 I I 斗用 )=41-)=,故選氐 7 12.12.數(shù)列 春滿足an（T）nan=2n-1, ,則訂鳥的前 4444 項(xiàng)和為（） 【答案】A A 【解析】 試題分析：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n1為偶數(shù)，此時(shí)an.i_an=：2 n_1 , an .2 - an .2( nT)_1=2 n，1，兩 22 式相減得an 2 an =2，所以前 4444 項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和S奇=22 2 =22 ;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n - 1為奇數(shù)，此 2 時(shí) an 1 an =2n -1， a. 2 -a* i = 2(n 1) -1 = 2n 1，兩式相加得 an 2 a 4n，所以前 44

13、44 項(xiàng)中奇 數(shù)項(xiàng)的和$偶=4 (2 6 1 Jl| 42 4 112 42) = 968 ，所以此數(shù)列前 4444 項(xiàng)和為 2 22 968=990，故選 A A. 考點(diǎn)：1 1、數(shù)列求和；2 2、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和. 二填空題(共 4 4 小題，每小題 5 5 分，共 2020 分) 4 4 4 4 4 13.13. 已知向量 a=(4,-2), b =(x,1)，若 a/b，則 |a b _ . 【答案】, 5 【解析】 試題分折：因?yàn)閍ffbt所決4 + 2x=0解得x=2f所W| +|1=(4-2)1+( + l)1 = 5 ,所以 | a-b= + 考點(diǎn)：1 1、向量平行的充要條件

14、； 2 2、平面向量的模. 14.14. 【20182018 四川成都七中一?！恳阎f減等差數(shù)列 an中，a3=T,a4為a1, -a6等比中項(xiàng)，若Sn為數(shù) 列(an )的前n項(xiàng)和，貝U S7的值為 _ . 【答案】1414 【解析】設(shè)遞減等差數(shù)列、an 的公差為d ： 0+ a1,a a6成等比數(shù)列， a = a1 -a6 , 2 (印+3d )=印漢(印+5d ), 又 a-a2d , 聯(lián) 立解得 d = 1 印= ,1 76 1；u14，故答案為-14. . 2 15.15. 已知兩個(gè)等差數(shù)列 an 和址的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn，若矗=丄，則至= _ . . Tn 3n+1 b5 A

15、A. 990 B 990 B . 870870 640640 615615 9 9 【答案】9 14 ai a9 9(ai a?) a5 2 2 S9 2 9 9 d 一 D bg 一 9(R bg) T9 3 9 -0C0C -OA-h-OB 一 試題分析： 3 3 所以曠為慚三等分點(diǎn)（皇近時(shí)如團(tuán) 所以.爲(wèi)SC = - ABQC =%曲 2 呂魁 8 ABQCr = SiQC 十用遜宀 即氏 AOB , AOC A BOC的面積之比等于-ABocr： 2孔尸3:2二1 三、解答題（本大題共 6 6 小題，共 7070 分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 ） 17.17.在AOA

16、B中，已知點(diǎn)P為線段AB上的一點(diǎn)，且 AP| = 2PB 【解試題分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，由 0 0 C B B 考點(diǎn)：向量表示 11 【解析】 試題分折：（。利用向量加法的三角形法貝壯將麗苜先轉(zhuǎn)化到 dN 喬，將 喬轉(zhuǎn)化到五，進(jìn)而用云苗 來表示計(jì)算帀 藥時(shí)將兩冋量都用刃、可耒表示轉(zhuǎn)化為弘而的數(shù)量積運(yùn)算代入基本數(shù)據(jù) 即可求解 -I - -I -1 試題解析：（1 1）因?yàn)辄c(diǎn)P在AB上，且 AP =2 PBI，所以AP =2PB， I OP -OA =2(OB -OP)， 4 = 3 考點(diǎn)：1 1.向量運(yùn)算的三角形法則； 2 2 .向量的數(shù)量積運(yùn)算 18.18.【20182018 廣西柳州聯(lián)考

17、】設(shè) 印=2 , a2 =4，數(shù)列 竝滿足：bn出=2bn+2且an出一 an=bn. . I求證：數(shù)列倉 2是等比數(shù)列; n求數(shù)列曲的通項(xiàng)公式 (1(1)試、且.AOB 【答案】(1 1) OP 二 +2OB(2 2) 3 3 ，求OP AB的值. 3 4 3 2 OB . 3 1 2 (2 2) OP AB ( OA+ OB) (OB -OA) 231 丄， OA OB 3 1 2 1 二 -沁 9 、_，4 _ 紳 3 2cos - 3 3 3 3 所以0P二 3 1 2 OA 3 3 i -& i 2 -2 一 OA + OB| 3 jOB cosA(2)若 2 , 【答案】(

18、 (I) )證明見解析；( (n) an=2n：1_2n n N* . . 【解析】 試題分析： (1 1) a a1=2=2, a a2=4=4,且 a an+1 a an=b=bn；可得 b b1=a=a2 a a1=4=4 2=22=2.由 b bn+1=2b=2bn+2+2,變形為：b bn+1=2=2=2=2 (b(bn+2+2),即可證明. (2 2)由(1 1)可得： n-1 _ /口 n+1 n+1 十 “ e / 、/ 、 b bn+2=4+2=4X2 ，可得 b bn=2=2 2 2. a an+1 a an=b=bn=2=2 2 2.利用 a an= = (a an +

19、+ + ( a a2 - a ai) +a+ai即可證明. 試題解析: (1)由題知： 瓦+1十2_2氏+ 2+2 - = Jtf j 亠+2 b +2 又嘗坊=絞一絢=42=2，.內(nèi)+ 2 = 4 , 二 + 2是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列. n由I可得bn2 =4?2心，故bn =2心-2. . ，an 1 - an = bn , 二 a2 一 ai - b1 , a3 - a2 - b2 , a4 - a3 =4 , an _ an 4 _ bn 4 . . 累加得： a* -ai = bi * b2 d亠亠bn, an =2 22 _2 23 _2 - 24 _2 廣亠2n _2

20、 22 1 -2n4 =2+ -2 門-1 =2n 1 -2n , 即 a* =2n 1 一2n n - 2 . .13 而 a =2 =2 2x1 , an =2n* 2n(n N* ) 點(diǎn)睛：數(shù)列問題是高考中 的重要問題，主要考查等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和，主要利用解方程 得思想處理通項(xiàng)公式問題，利用分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減法等方法求數(shù)列的和在利用錯(cuò)位相減 求和時(shí)，要注意提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性，防止運(yùn)算錯(cuò)誤 ，求通項(xiàng)公式時(shí)可考慮累差累積法的應(yīng)用. 2 巧 19. 19. 已知 f(x)二 cosxsin x-p3cos2x 2 (1) 求f(x)的單調(diào)增區(qū)間； .f3 um uuu

21、uuu l (2)在. ABC 中，A為銳角且 f (A) , AB AC 二 3AD , AB = . 3 , AD =2，求 sin Z BAD . . 2 ， 士 12 12 , k 壬 Z . .( 2 2) 8 【解析】 1 + coslx) + - - sin(2x) 2 3，再根據(jù)正弦函數(shù)性底求函數(shù)單調(diào)區(qū)間(2先很振 心尋異心一訴當(dāng)，再根據(jù)心范圍得由亦孔邁平方可得 ABAC3AD BC邊上中線長(zhǎng)酬由余弦定理可得皿最后在三角形ABM中根據(jù)余弦定理得 cosBAD ,即得 sin XBAD (6(6 分) ji k 二 【答案】(1 1) 試題分析；( (1 1由 二倍甬公式及配角公

22、式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)： f (x)= 試題解析：(1 1)由題可知 1 sin 2x - 2 -3(1 cos2x) -sin(2x ) 2 2 3 , 2k 二 JT JI 2x 2k ：- 3 ,即函數(shù) 兀 5兀 k , k f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 12 12 , k Z f(A)牛 (2(2)由 2 2 sin(2A)二三 3 2，解得 JI JI A A - 3或 2 (舍) ，所以 T T TT T T 又因?yàn)锳B AC二3AD , ,則D為ABC的重心，以AB, AC為鄰邊作平行四邊形ABCD，因?yàn)锳D = 2 , 3 _ 6 sin Z AEB 品 所以AE =6 ,在.：

23、ABE中，AB =：；3， ABE T20 , ,由正弦定理可得 2 ，解得 1 屆 .AEB cos. AEB 二 4且 4 sin. BAD 二sin( AEB) 3- 因此 3 2 4 2 考點(diǎn)：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及恒等變換公式，正弦定理 【思路點(diǎn)睛】 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則 (1(1) 一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使 用公式； (2) 二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦” (3) 三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式要通分”等 20.20.已知

24、正項(xiàng)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn，且. Sn是1與an的等差中項(xiàng) (I)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式; (U)設(shè)Tn為數(shù)列 的前n項(xiàng)和，證明：- Tn :：: 1 nN”. . anan+j 3 【答案】(I I) an =2n-1 ；(II II )證明見解析 【解析】 試題分析:(I)由等差中項(xiàng)可得2醫(yī)=1+務(wù)，即斗比_】=+1)2,分別求出弘用上2時(shí)仏=孔一幾, 木用郎規(guī)卩可求得兀. 試題解析：(I I) n = 1時(shí)，印=1 2 2 n 一 2 時(shí)，4Sn 4 = (an4 1)，又 4Sn - (an 1)，兩式相減得 (an a* (a* -a* 4 一2) = 0,7 a* 0, a* -a =

25、 2, a*為是以 1 1 為首項(xiàng)，2 2 為公差的等差數(shù)列，即 an =2n T . .3、5一1 (12 (12 分) 驗(yàn)證可得耳=2訊(ID把(D的結(jié)論代入可得 (2w-lX2+J) 2-1 2+1 j采用裂項(xiàng) 15 anan(2n -1)(2n 1) 2n1 2n 1 2 綜上 Tn 1成立 3 考點(diǎn)：遞推公式求通項(xiàng)和裂項(xiàng)法求和 3 21.21.設(shè)數(shù)列%的前n項(xiàng)和為Sn,已知Sn =2=2 佝一1)- (1 1)求印的值，并求數(shù)列: :a an ?的通項(xiàng)公式； (2 2)若數(shù)列:bn 1為等差數(shù)列，且b3 b5 - -8，2b “4=0 設(shè)Cn =Bn bn ,數(shù)列心的前n項(xiàng)和為Tn

26、, 證明：對(duì)任意N* , Tn (n- 5)3n 1是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù). 【答案】(1 1) 3, a* = 3“ = 3“ ； ( 2 2)證明見解析. . 【解析】 試題分析：(1 1)借助題設(shè)條件運(yùn)用向量的數(shù)量積公式建立方程求解； (2 2)借助題設(shè)運(yùn)用向量的數(shù)量積公 式建立方程求解. . 試題解析： 3 (1) 當(dāng)n=1時(shí)，S二刁佝)，即2a3a1 -3，所以印=3=3, 3 3 因?yàn)?Sn = (an -1)，則 Sn4 (anJ -1) ( n-2), 3 兩式相減，得 an (an - an 4)，即 an = 3an j ( n 亠 2) 所以數(shù)列 匕僉是首相為 3 3，公比

27、為 3 3 的等比數(shù)列，故a. =a1 qn =3n . (2) 因?yàn)?bs b5 =2b4 = -8，則 b4 = -4，又 20 b0，貝U b 2, 設(shè)1bn 的公差為d，則b4 -b3d，所以d =2 , (II (II ) 111 1 1 3)(3一5)川(K 丹1 1 2n 1 Tn ：1,又：0, Tn , 3 an an 1 所以 bn =2 (n -1) (-2) =4 -2n , 由題設(shè)cn =(4 -2n) 3n，則 12 3 n Tn =2 3 0 3 (-2) 3 (4-2n) 3 3Tn 二 2 32 0 33 (62n) 3n (4 2n) 3n 1 , -2Tn= 2 3 (-2) (32 33 3n)-(4-2n) 3n 1, 所以 Tn -3 9(1 一3)(2 - n) 3n 1 =(-