常微分方程第三版課后習(xí)題答案

1、習(xí)題1.21=2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx 兩邊積分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0時，y=0原方程的通解為y= cex,x=0 y=1時 c=1特解為y= e.2. ydx+(x+1)dy=0 并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy dy=-dx兩邊積分: -=-ln|x+1|+ln|c| y=另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1時 c=e特解：y=3= 解：原方程為：=dy=dx 兩邊積分：x(1+x)(1+y)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程

2、為： dy=-dx兩邊積分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。5（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程為： =-令=u 則=u+x 代入有：-du=dxln(u+1)x=c-2arctgu即 ln(y+x)=c-2arctg.6. x-y+=0 解：原方程為： =+-則令=u =u+ x du=sgnx dxarcsin=sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程為：=兩邊積分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny= 另外y=0也是原方程的解，而c=0時，y=0.所以原方程的通解為sinycosx=c.8 +=0

3、 解：原方程為：=e2 e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程為：=ln令=u ,則=u+ xu+ x=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln=cy.10. =e 解：原方程為：=eee=ce11 =(x+y) 解：令x+y=u,則=-1-1=udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12. =解：令x+y=u,則=-1 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13. =解: 原方程為：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y-y)-dx+

4、x=c xy-y+y-x-x=c14: =解：原方程為：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c.15: =(x+1) +(4y+1) +8xy 解：原方程為：=（x+4y）+3令x+4y=u 則=-=u+3=4 u+13u=tg(6x+c)-1tg(6x+c)=(x+4y+1).16:證明方程=f(xy),經(jīng)變換xy=u可化為變量分離方程，并由此求下列方程：1） y(1+xy)dx=xdy2） = 證明： 令xy=u,則x+y= 則=-，有： =f(u)+1 du=

5、dx 所以原方程可化為變量分離方程。1） 令xy=u 則=- (1)原方程可化為：=1+（xy） (2)將1代入2式有：-=(1+u)u=+cx17.求一曲線，使它的切線坐標(biāo)軸間的部分初切點分成相等的部分。解：設(shè)（x +y ）為所求曲線上任意一點，則切線方程為：y=y(x- x )+ y 則與x軸，y軸交點分別為： x= x - y= y - x y 則 x=2 x = x - 所以 xy=c18.求曲線上任意一點切線與該點的向徑夾角為0的曲線方程，其中 = 。解：由題意得：y= dy= dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 則y=tgx 所以 c=1 y=x.19.證明曲線上的切線

6、的斜率與切點的橫坐標(biāo)成正比的曲線是拋物線。 證明：設(shè)(x,y)為所求曲線上的任意一點，則y=kx 則：y=kx +c 即為所求。 習(xí)題2.11.,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解. 解：對原式進(jìn)行變量分離得 并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進(jìn)行變量分離得：3 解：原式可化為： 12解1516解： ，這是齊次方程，令17. 解：原方程化為 令方程組則有令當(dāng)當(dāng)另外 19. 已知f(x).解：設(shè)f(x)=y, 則原方程化為 兩邊求導(dǎo)得20.求具有性質(zhì) x(t+s)=的函數(shù)x(t),已知x(0)存在。解：令t=s=0 x(0)= 若x(0)0 得x=-1矛盾。所以x(0)=0.

7、 x(t)=) 兩邊積分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 當(dāng)t=0時 x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t習(xí)題2.2求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n為常數(shù).解：原方程可化為： 是原方程的解.5+=解：原方程可化為：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 則 =u因此：= （*） 將帶入 （*）中

8、得：是原方程的解.313這是n=-1時的伯努利方程。兩邊同除以，令 P(x)= Q(x)=-1由一階線性方程的求解公式 =14 兩邊同乘以 令 這是n=2時的伯努利方程。兩邊同除以 令 P（x）= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = =15 這是n=3時的伯努利方程。兩邊同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=17 設(shè)函數(shù)(t)于<t<上連續(xù)，(0)存在且滿足關(guān)系式(t+s)=(t)(s)試求此函數(shù)。令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或（1）

9、當(dāng)時 即 ,) (2) 當(dāng)時 = = =于是 變量分離得 積分 由于，即t=0時 1=c=1故 20.試證： （1）一階非齊線性方程（2 .28）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（2.3）之解； （2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，則方程（2.28）的通解可表為，其中為任意常數(shù).（3）方程（2.3）任一解的常數(shù)倍或任兩解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.證明： （2.28） （2.3）（1） 設(shè)，是（2.28）的任意兩個解則 （1） （2）（1）-（2）得 即是滿足方程（2.3）所以，命題成立。（2） 由題意得： （3） （4）1）先證是（2.28）的一個解。于是 得故是（2

10、.28）的一個解。2）現(xiàn)證方程（4）的任一解都可寫成的形式設(shè)是(2.28)的一個解則 （4）于是 （4）-（4）得從而 即 所以，命題成立。（3） 設(shè)，是（2.3）的任意兩個解則 （5） （6）于是（5）得 即 其中為任意常數(shù)也就是滿足方程（2.3）（5）（6）得 即 也就是滿足方程（2.3）所以命題成立。21.試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。（5） 曲線上任一點的切線的縱截距等于切點橫坐標(biāo)的平方；（6） 曲線上任一點的切線的縱截距是切點橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項；解：設(shè)為曲線上的任一點，則過點曲線的切線方程為從而此切線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為即 橫截距為 ， 縱截距為 。由題

11、意得：（5） 方程變形為 于是 所以，方程的通解為。（6）方程變形為 于是 所以，方程的通解為。22求解下列方程。（1）解： = = = （2） P(x)= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = = =習(xí)題2.31、驗證下列方程是恰當(dāng)方程，并求出方程的解。1. 解： ，=1 .則所以此方程是恰當(dāng)方程。湊微分，得 ：2 解： ， .則 .所以此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，得 3 解： 則 .因此此方程是恰當(dāng)方程。 （1） （2）對（1）做的積分，則= （3）對（3）做的積分，則=則故此方程的通解為4、 解： ， . .則此方程為恰當(dāng)方程。湊微分，得 ：5.(sin-cos+1)dx+( cos-

12、sin+)dy=0解： M=sin-cos+1 N= cos- sin+=- sin-cos- cos+sin=- sin-cos- cos+sin所以，=，故原方程為恰當(dāng)方程因為sindx-cosdx+dx+ cosdy- sindy+dy=0d(-cos)+d (sin)+dx+d(-)=0所以，d(sin-cos+x -)=0故所求的解為sin-cos+x -=C求下列方程的解：62x(y-1)dx+dy=0解：= 2x , =2x所以，=，故原方程為恰當(dāng)方程又2xydx-2xdx+dy=0所以，d(y-x)=0故所求的解為y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3yd

13、x+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以，d e( x-2x+2)+d( xy)=0即d e( x-2x+2)+ xy=0故方程的解為e( x-2x+2)+ xy=C8. 2xydx+( x+1)dy=0解：2xydx+ xdy+dy=0d( xy)+dy=0即d(xy+y)=0故方程的解為xy+y=C9、解：兩邊同除以 得即，故方程的通解為10、解：方程可化為：即， 故方程的通解為： 即：同時，y=0也是方程的解。11、解：方程可化為： 即：故方程的通解為：12、解：方程可化為：故方程的通解為 ： 即：13、解：這里 ， 方程有積分因子兩邊乘以得：方程是恰當(dāng)方程故方程的通解

14、為：即：14、解：這里因為故方程的通解為： 即：15、解：這里 方程有積分因子： 兩邊乘以得：方程為恰當(dāng)方程故通解為 ：即：16、解：兩邊同乘以得：故方程的通解為：17、試導(dǎo)出方程具有形為和的積分因子的充要條件。解：若方程具有為積分因子， （是連續(xù)可導(dǎo)）令 ， .， ， ， 方程有積分因子的充要條件是：是的函數(shù)，此時，積分因子為 . 令 ，此時的積分因子為18. 設(shè)及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴于的積分因子.證:必要性 若該方程為線性方程,則有 ,此方程有積分因子,只與有關(guān) .充分性 若該方程有只與有關(guān)的積分因子 .則為恰當(dāng)方程 ,從而 , , .其中 .于是方程可化為即方程

15、為一階線性方程.20.設(shè)函數(shù)f(u)，g(u)連續(xù)、可微且f(u)g(u),，試證方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有積分因子u=(xyf(xy)-g(xy)證：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0兩邊同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0則=uf+uy+yf=+-yf=而=ug+ux+xg=+- xg=故=，所以u是方程得一個積分因子21假設(shè)方程（2.43）中得函數(shù)M（x,y）N(x,y)滿足關(guān)系=Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分別為x和y得連續(xù)函數(shù)，試證方程（2.43）有積分因子u=exp(+)證明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即證

16、u+M=u+Nu(-)=N- Mu(-)=Nef(x)-M eg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg(y)由已知條件上式恒成立，故原命題得證。22、求出伯努利方程的積分因子.解：已知伯努利方程為：兩邊同乘以，令，線性方程有積分因子：，故原方程的積分因子為：，證畢！23、設(shè)是方程的積分因子，從而求得可微函數(shù)，使得試證也是方程的積分因子的充要條件是其中是的可微函數(shù)。證明：若，則又即為的一個積分因子。24、設(shè)是方程的兩個積分因子，且常數(shù)，求證（任意常數(shù)）是方程的通解。證明：因為是方程的積分因子所以 為恰當(dāng)方程即 ，下面只需證的全微分沿方程恒為零事實上：即當(dāng)時，是方程的解。證畢！習(xí)題 2.4求解下列方

17、程1、解：令，則， 從而， 于是求得方程參數(shù)形式得通解為.2、解：令，則，即，從而 ，于是求得方程參數(shù)形式得通解為.3、解：令，則，從而 = ，于是求得方程參數(shù)形式的通解為,另外，y=0也是方程的解.4、, 為常數(shù)解：令，則，從而 ，于是求得方程參數(shù)形式的通解為.5、1解：令，則，從而 ，于是求得方程參數(shù)形式的通解為.6、解：令，則，得，所以，從而，于是求得方程參數(shù)形式的通解為，因此方程的通解為.習(xí)題2.52 解：兩邊同除以，得：即4解：兩邊同除以，得 令 則 即得到，即另外也是方程的解。6 解： 得到 即 另外也是方程的解。8. 解：令 則： 即 得到 故 即 另外也是方程的解。10 解：令

18、 即 而故兩邊積分得到 因此原方程的解為，。 12. 解： 令 則 即 故方程的解為 14 解： 令 則 那么 求得： 故方程的解為 或可寫 為 16 解：令 則 即方程的解為18 解： 將方程變形后得 同除以得： 令 則 即原方程的解為19.X(解：方程可化為2y( 令27. 解： 令，則， ， 兩邊積分得 即為方程的通解。另外，即也是方程的解。28. 解： 兩邊同除以，方程可化為： 令，則 即 ，兩邊積分得 即 為方程的解。29. 解： 令，則 ， ，那么 即 兩邊積分得 即為方程的解。30. 解： 方程可化為 兩邊積分得 即 為方程的解。31. 解： 方程可化為 兩邊同除以，得 即 令，

19、則 即 兩邊積分得 將代入得， 即 故 32. 解： 方程可化為 兩邊同加上，得 （*）再由，可知 （*）將（*）/（*）得 即 整理得 兩邊積分得 即 另外，也是方程的解。33. 求一曲線，使其切線在縱軸上之截距等于切點的橫坐標(biāo)。解： 設(shè)為所求曲線上的任一點，則在點的切線在軸上的截距為： 由題意得 即 也即 兩邊同除以，得 即 即 為方程的解。34. 摩托艇以5米/秒的速度在靜水運動，全速時停止了發(fā)動機，過了20秒鐘后，艇的速度減至米/秒。確定發(fā)動機停止2分鐘后艇的速度。假定水的阻力與艇的運動速度成正比例。解：，又，由此 即 其中，解之得 又時，；時，。故得 ，從而方程可化為 當(dāng)時，有 米/

20、秒即為所求的確定發(fā)動機停止2分鐘后艇的速度。35. 一質(zhì)量為m的質(zhì)點作直線運動，從速度等于零的時刻起，有一個和時間成正比（比例系數(shù)為k1）的力作用在它上面，此質(zhì)點又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為k2）。試求此質(zhì)點的速度與時間的關(guān)系。解：由物理知識得：根據(jù)題意：故：即：(*)式為一階非齊線性方程，根據(jù)其求解公式有又當(dāng)t=0時，V=0，故c=因此，此質(zhì)點的速度與時間的關(guān)系為：36. 解下列的黎卡提方程（1）解：原方程可轉(zhuǎn)化為：觀察得到它的一個特解為：，設(shè)它的任意一個解為，代入（*）式得到：由（*）-（*）得：變量分離得：兩邊同時積分：即：故原方程的解為 （2）解：原方程可化為：由觀

21、察得，它的一個特解為，設(shè)它的任意一個解為，故變量分離再兩邊同時積分得：即故原方程的解為（3）解：原方程可化為：由觀察得到，它的一個特解為，設(shè)它的任一個解為，故，該式是一個的伯努利方程兩邊同除以得到：即：，令，則：，根據(jù)一階非齊線性方程的求解公式得：故：因此：原方程的解為：（4）解：原方程可化為：由觀察得到，它的一個特解為，設(shè)它的任一個解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：即：故：原方程的解為：（5）解：原方程可化為：由觀察得，它的一個特解為，故設(shè)它的任一個解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：故：原方程的解為：，即.（6）解：原方程可化為：由觀察得到它的一個特解為，

22、設(shè)它的任一個解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：從而：故原方程的解為：即：（7）解：由觀察得到它的一個特解為，故設(shè)它的任一個解為，于是，這是n=2的佰努利方程，兩邊同除以得：即：從而：故原方程的解為：習(xí)題3.1 1 求方程=x+y通過點(0,0)的第三次近似解； 解： 取 = 2 求方程=x-y通過點(1,0)的第三次近似解； 解： 令 則 = 3 題 求初值問題： R：1，1的解的存在區(qū)間，并求解第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計；解： 因為 M=max=4 則h=min(a,)= 則解的存在區(qū)間為= 令 =0 ;=y+dx=x+; =y+dx=x-+ 又 =L則：誤

23、差估計為：=4 題 討論方程：在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點（0，0）的一切解；解：因為=在y上存在且連續(xù)； 而在上連續(xù)由 有：=（x+c）又 因為y(0)=0 所以：=x另外 y=0也是方程的解；故 方程的解為：=或 y=0;6題 證明格朗瓦耳不等式： 設(shè)K為非負(fù)整數(shù)，f(t)和g(t)為區(qū)間上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，且滿足不等式： f(t)k+, 則有：f(t)kexp(),證明：令R（t）=,則(T)=f(t)g(t) (T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t) kg(t)(T)- R(t)g(t)kg(t); 兩邊同乘以exp(-) 則有： (T)

24、 exp(-)-R(t)g(t) exp(-) kg(t) exp(-)兩邊從到t積分：R(t) exp(-)-exp(-)ds即 R(t) exp(-)ds又 f(t) 1k+R(t) k+kexp(-)ds k(1-1+ exp(-)=k exp()即 f(t) k;7題 假設(shè)函數(shù)f(x,y)于（x,y）的領(lǐng)域內(nèi)是y的 不增函數(shù)，試證方程= f(x,y)滿足條件y(x)= y的解于x x一側(cè)最多只有一個解；證明：假設(shè)滿足條件y(x)= y的解于x x一側(cè)有兩個(x),(x) 則滿足： (x)= y+dx (x)= y+dx不妨假設(shè)(x)(x)，則(x)- (x)0而(x)- (x)= dx

25、-dx =dx又因為 f(x,y)在（x,y）的領(lǐng)域內(nèi)是y的 增函數(shù)，則： f(x, (x)-f(x, (x)0則(x)- (x)= dx0則(x)- (x)0所以 (x)- (x)=0， 即 (x)= (x)則原命題方程滿足條件y(x)= y的解于x x一側(cè)最多只有一個解；習(xí)題3.31Proof若（1）成立則及，使當(dāng) 時，初值問題 的解滿足對一切有, 由解關(guān)于初值的對稱性，（3，1）的兩個解及都過點，由解的存在唯一性，當(dāng)時故若（2）成立，取定，則，使當(dāng) 時,對一切有因初值問題的解為，由解對初值的連續(xù)依賴性，對以上，使當(dāng)時對一切有而當(dāng)時，因故這樣證明了對一切有2Proof：因及都在G內(nèi)連續(xù)，從

26、而在G內(nèi)關(guān)于滿足局部Lipschitz條件，因此解在它的存在范圍內(nèi)關(guān)于是連續(xù)的。設(shè)由初值和足夠?。┧_定的方程解分別為，即，于是 因及、連續(xù)，因此這里具有性質(zhì)：當(dāng)時，；且當(dāng)時，因此對有即是初值問題的解，在這里看成參數(shù)0顯然，當(dāng)時，上述初值問題仍然有解。根據(jù)解對初值和參數(shù)的連續(xù)性定理，知是的連續(xù)函數(shù)，從而存在而是初值問題的解，不難求解 它顯然是的連續(xù)函數(shù)。3解：這里滿足解對初值的可微性定理條件故： 滿足的解為 故 4解：這是在（1，0）某領(lǐng)域內(nèi)滿足解對初值可微性定理條件，由公式易見是原方程滿足初始條件的解 故習(xí)題 3.4(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的話）：1、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，

27、得 從得 時，；從得 ，為參數(shù)，為任意常數(shù).經(jīng)檢驗得，是方程奇解.2、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得 ，解之得 ，所以，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.3、解：這是克萊洛方程，因此它的通解為，從 中消去c,得到奇解.4、解：這是克萊洛方程，因此它的通解為 ，從 中消去c,得到奇解 .5、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得 ，解之得 ，所以 ，可知此方程沒有奇解.6、解：原方程可化為，這是克萊羅方程，因此其通解為，從 中消去c，得奇解.7、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得 ，所以 ，可知此方程沒有奇解.8、解：可知此方程沒有奇解.9、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得 解之得 ，所以 ，且 也是方程的解，但

28、不是方程的奇解.10、解：這是克萊羅方程，因此方程的通解為，從中消去c,得方程的奇解.（二）求下列曲線族的包絡(luò).1、解:對c求導(dǎo)，得 x+2c=0, , 代入原方程得， 經(jīng)檢驗得，是原方程的包絡(luò).2、解：對c求導(dǎo)，得 ，代入原方程得 ，即，經(jīng)檢驗得是原方程的包絡(luò).3、解：對c求導(dǎo)，得 2(x-c)-2(y-c)=0, ,代入原方程得.經(jīng)檢驗,得 是原方程的包絡(luò).4、解：對c求導(dǎo)，得 -2(x-c)=4, c=x+2,代入原方程得 ，,經(jīng)檢驗，得是原方程的包絡(luò).(三) 求一曲線，使它上面的每一點的切線截割坐標(biāo)軸使兩截距之和等于常數(shù)c.解：設(shè)所求曲線方程為y=y(x),以X、Y表坐標(biāo)系，則曲線上任

29、一點（x,y(x)）的切線方程為，它與X軸、Y軸的截距分別為，按條件有 ，化簡得，這是克萊洛方程，它的通解為一族直線，它的包絡(luò)是，消去c后得我們所求的曲線.(四) 試證：就克萊洛方程來說，p-判別曲線和方程通解的c-判別曲線同樣是方程通解的包絡(luò)，從而為方程的奇解.證：克萊洛方程 y=xp+f(p)的p-判別曲線就是用p-消去法，從 中消去p后而得的曲線； c-判別曲線就是用c-消去法，從通解及它對求導(dǎo)的所得的方程中消去c而得的曲線，顯然它們的結(jié)果是一致的，是一單因式，因此p-判別曲線是通解的包絡(luò)，也是方程的通解. 習(xí)題4.1 1. 設(shè)和是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，證明：如果在區(qū)間上有常數(shù)或常數(shù)，則和在

30、區(qū)間上線形無關(guān)。證明：假設(shè)在，在區(qū)間上線形相關(guān)則存在不全為零的常數(shù)，使得那么不妨設(shè)不為零，則有顯然為常數(shù)，與題矛盾，即假設(shè)不成立，在區(qū)間上線形無關(guān)2. 證明非齊線形方程的疊加原理：設(shè)，分別是非齊線形方程 （1） （2） 的解，則+是方程 +的解。證明：由題可知，分別是方程（1），（2）的解則： （3） （4）那么由（3）+（4）得：+即+是方程是+的解。3. 試驗證0的基本解組為，并求方程的通解。 證明：由題將代入方程0得：-=0,即是該方程的解，同理求得也是該方程的解又顯然線形無關(guān)，故是0的基本解組。 由題可設(shè)所求通解為：，則有：解之得：故所求通解為：4. 試驗證0有基本解組t，并求方程t-

31、1的通解。解：由題將t代入方程0得： ，即t為該方程的解 同理也是該方程的解，又顯然t，線形無關(guān)， 故t，是方程0的基本解組由題可設(shè)所求通解為，則有：解之得：故所求通解為5. 以知方程0的基本解組為，求此方程適合初始條件的基本解組（稱為標(biāo)準(zhǔn)基本解組，即有）并求出方程的適合初始條件的解。 解：時間方程0的基本解組，故存在常數(shù)使得： 于是：令t=0,則有方程適合初始條件，于是有：解得： 故又該方程適合初始條件，于是：解得： 故顯然，線形無關(guān)，所以此方程適合初始條件的基本解組為：， 而此方程同時滿足初始條件，于是：解得：故滿足要求的解。6. 設(shè)是齊線形方程（4.2）的任意n個解。它們所構(gòu)成的伏朗斯行

32、列式記為，試證明滿足一階線形方程，因而有： 解：又滿足即則：即 則有：即： 7. 假設(shè)是二階齊線形方程（*）的解，這里 在區(qū)間上連續(xù)，試證：（1）是方程的解的充要條件為：；（2）方程的通解可以表示為：,其中為常數(shù),證：（）（）因為為方程的解，則由劉維爾公式 兩邊都乘以則有：，于是： 從而方程的通解可表示為：,其中為常數(shù),。8. 試證n階非齊線形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1個線形無關(guān)解。 證：設(shè)為（4.1）對應(yīng)的齊線形方程的一個基本解組，是（4.1）的一個解，則： （1），均為（4.1）的解。同時（1）是線形無關(guān)的。 事實上：假設(shè)存在常數(shù)，使得： （*）的左端為非齊線形方程的解，而右端

33、為齊線形方程的解，矛盾！從而有又為（4.1）對應(yīng)的齊線形方程的一個基本解組，故有： 即（1）是線形無關(guān)的。習(xí)題4.2 1. 解下列方程（1） 解：特征方程故通解為x=(2)解：特征方程有三重根故通解為x=（3）解：特征方程有三重根，2，-2故通解為（4） 解：特征方程有復(fù)數(shù)根-1+3i,-1-3i 故通解為(5) 解：特征方程有復(fù)數(shù)根故通解為(6) 解：特征方程有根a,-a當(dāng)時，齊線性方程的通解為s=代入原方程解得故通解為s=-當(dāng)a=0時,代入原方程解得故通解為s=-(7) 解：特征方程有根2,兩重根1齊線性方程的通解為x=又因為0不是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=-4，B=-1故

34、通解為x=-4-t(8) 解：特征方程故齊線性方程的通解為x=取特解行如代入原方程解得A=1，B=0,C=1故通解為x=+(9)解：特征方程有復(fù)數(shù)根故齊線性方程的通解為取特解行如代入原方程解得A=故通解為(10) 解：特征方程有根-2,1故齊線性方程的通解為x=因為+-2i不是特征根取特解行如代入原方程解得A=故通解為x=（11）解：特征方程有復(fù)數(shù)根故齊線性方程的通解為 1是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解為+（12）解：特征方程有2重根-a當(dāng)a=-1時，齊線性方程的通解為s=,1是特征方程的2重根，故代入原方程解得A=通解為s=,當(dāng)a-1時，齊線性方程的通解為s=,1不是特征方程的根

35、，故代入原方程解得A=故通解為s=+（13）解：特征方程有根-1,-5故齊線性方程的通解為x=2不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解為x=+（14）解：特征方程有根-1+i,-1-i故齊線性方程的通解為不是特征方程的根, 取特解行如代入原方程解得A=故通解為+(15) 解：特征方程有根i,- i故齊線性方程的通解為,i,是方程的解 代入原方程解得A= B=0 故 代入原方程解得A= B=0 故故通解為習(xí)題5.11.給定方程組x=x x= （*） a)試驗證u(t)=,v(t)=分別是方程組（*）的滿足初始條件u(0)=, v(0)=的解. b)試驗證w(t)cu(t)+cv(t)是方程

36、組（*）的滿足初始條件w(0)=的解，其中是任意常數(shù). 解：a) u(0)= u(t)=u(t) 又 v(0)= v(t)= =v(t)因此 u(t),v(t)分別是給定初值問題的解.b) w(0)=u(0)+u(0)= += w(t)= u(t)+ v(t) = + = = =w(t)因此 w(t)是給定方程初值問題的解.2. 將下面的初值問題化為與之等價的一階方程組的初值問題：a) x+2x+7tx=e,x(1)=7, x(1)=-2b) x+x=te,x(0)=1, x(0)=-1,x(0)=2,x(0)=0c) x(0)=1, x(0)=0,y(0)=0,y(0)=1解：a）令 xx,

37、 x= x, 得 即 又 xx(1)=7 x(1)= x(1)=-2于是把原初值問題化成了與之等價的一階方程的初值問題：x x(1)其中 x. b) 令x 則得： 且 (0)=x(0)=1, =(0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0于是把原初值問題化成了與之等價的一階方程的初值問題：= x(0)=, 其中 x=.c) 令wx， w，wy，wy，則原初值問題可化為： 且 即 w w(0)= 其中 w3. 試用逐步逼近法求方程組 x x 滿足初始條件 x(0)= 的第三次近似解. 解： 習(xí)題5.21.試驗證=是方程組x=x,x= ，在任何不包含原點的區(qū)間a上的基解矩陣。解：令

38、的第一列為(t)= ,這時(t)= (t)故(t)是一個解。同樣如果以(t)表示第二列，我們有(t)= (t)這樣(t)也是一個解。因此是解矩陣。又因為det=-t故是基解矩陣。2.考慮方程組x=A(t)x (5.15)其中A(t)是區(qū)間a上的連續(xù)nn矩陣，它的元素為a(t),i ,j=1,2,na) 如果x(t),x(t),x(t)是(5.15)的任意n個解，那么它們的伏朗斯基行列式Wx(t),x(t),x(t)W(t)滿足下面的一階線性微分方程W=a(t)+a(t)+a(t)Wb) 解上面的一階線性微分方程，證明下面公式：W(t)=W(t)e t,ta,b解：w(t)=+=+=+整理后原式

39、變?yōu)椋╝+a）=（a+a）w(t)=（a(t)+a(t)）w(t)b)由于w(t)= a(t)+a(t) w(t),即= a(t)+a(t)dt兩邊從t到t積分ln-ln=即w(t)=w(t)e,ta,b3.設(shè)A(t)為區(qū)間a上的連續(xù)nn實矩陣，為方程x=A(t)x的基解矩陣，而x=(t)為其一解，試證：a) 對于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t) (t)=常數(shù)；b)(t)為方程y=-A(t)y的基解矩陣的充要條件是存在非奇異的常數(shù)矩陣C，使(t) (t)=C.解a) (t) (t)= (t)+ (t)= (t)+ (t)A(t)又因為=-A(t) (t)，所以=-(t) A(t

40、) (t) (t)=- (t) (t)A(t)+ (t) A(t) (t)=0,所以對于方程y=-A(t)y的任一解y=(t)必有(t) (t)=常數(shù)b) “”假設(shè)為方程y=-A(t)y的基解矩陣，則 (t) (t)= (t) +(t) (t)=- A(t) (t)+ (t) A(t) )+ (t) A(t) (t)=- (t) A(t) +(t) A(t) =0,故(t) (t)=C“”若存在非奇異常數(shù)矩陣C，detc0,使(t) (t)=C，則 (t) (t)= (t)+ (t)=0，故(t)(t)=- (t) (t)A(t) (t)=- (t) A(t) 所以(t)=- (t) A(t)

41、, (t)=- (t) A(t)即(t)為方程y=-A(t)y的基解矩陣4.設(shè)為方程x=Ax（A為nn常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即（0）=E），證明:(t)=(t- t)其中t為某一值. 證明：（1）,(t- t)是基解矩陣。 （2）由于為方程x=Ax的解矩陣，所以(t)也是x=Ax的解矩陣，而當(dāng)t= t時，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)5.設(shè)A(t),f(t)分別為在區(qū)間a上連續(xù)的nn矩陣和n維列向量，證明方程組x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1個線性無關(guān)解。證明：設(shè)x,x,x是x=A(t)x的n個線性無關(guān)解， 是x=A(t)x+f(t)的一個解，則x+, x+, x+,都是非齊線性方程的解，下面來證明它們線性無關(guān)，假設(shè)存在不全為零的常數(shù)C,(I=1,2,n)使得+c=0,從而x+, x+, x+,在a上線性相關(guān)，此與已知矛盾，因此x+, x+, x+,線性無關(guān)，所以方程組x=A