數(shù)學建模零件的參數(shù)設(shè)計說明

1、.零件的參數(shù)設(shè)計摘要本文主要論述了關(guān)于零件參數(shù)設(shè)計的問題，運用到有關(guān)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法以及用泰勒公式將問題簡單化，最終構(gòu)造了一個求設(shè)計零件所需費用最低的優(yōu)化模型 ，運用 MATLAB 軟件進行數(shù)值計算 。已知粒子分離器的參數(shù)y 由零件參數(shù) xi (i1,27) 決定，參數(shù) xi 的容差等級決定了產(chǎn)品的成本 ?？傎M用就包括y 偏離 y0 造成的損失和零件成本 。問題是要尋找零件的標定值和容差等級的最佳搭配，使得批量生產(chǎn)中總費用最小。我們的思路是假定隨機變量y 屬于正態(tài)分布 ，經(jīng)過一定的轉(zhuǎn)化 ，找到 y 的均方差y與 y ，而均方差y 與零件參數(shù)的標定值與容差有關(guān)，得出二者的聯(lián)系 ，從而可用零

2、件參數(shù)的標定值與容差表示y ，進而得出 y 的分布函數(shù) ，積分后就可得到完整的非線性規(guī)劃方程表達 。問題就成功的轉(zhuǎn)化為了非線性規(guī)劃問題 。求解的時候分兩步走 ：1.預(yù)先給定容差等級組合 ，在在確定容差等級的情況下，尋找最佳標定值 ，使 y為 y0 =1.5 。2.在第一步的基礎(chǔ)上采用窮舉法遍歷所有 108 種容差等級組合 ，找出最小費用 。最終計算出來的標定值為xi =0.0750,0.3750,0.1250,0.1200,1.2919,15.9904,0.5625,等級為： dB, B, B,C , C , B, B一臺粒子分離器的總費用為： 421.7878元。 與原結(jié)果比較，總費用由30

3、74.8 元降低到 421.7878 元，降幅為 2653.02 元，比較明顯 。最后我們對所建模型進行了分析，討論了他的優(yōu)缺點，并對模型進行了推廣。.下載可編輯 .關(guān)鍵字：零件參數(shù)方差 非線性規(guī)劃1.問題提出1.1 問題背景當今社會發(fā)展日新月異，市場需求不斷變化 ，而且要求是越來越高，各種各樣的新產(chǎn)品層出不窮，競爭的壓力越來越大，對人才的需求也越來越大。無論設(shè)計什么樣的產(chǎn)品，作為產(chǎn)品的研發(fā)設(shè)計人員，時刻要保持強烈的創(chuàng)新愿望和沖動 ，充分考慮到所設(shè)計產(chǎn)品的各項指標，尤其要著重考慮產(chǎn)品的各個組裝零件，分析它們的參數(shù)指標，再通過加強學習和鍛煉，提高創(chuàng)造力 ，設(shè)計開發(fā)出符合現(xiàn)代設(shè)計需要的、具有競爭實

4、力的優(yōu)良產(chǎn)品，且能實現(xiàn)最大的經(jīng)濟效益，才能使自己在諾大的社會上立于不敗之地。1.2 問題重述現(xiàn)有如下一個關(guān)于產(chǎn)品零件參數(shù)設(shè)計的問題：一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成，標志產(chǎn)品性能的某個參數(shù)取決于這些零件的參數(shù)。零件參數(shù)包括標定值和容差，進行成批生產(chǎn)產(chǎn)品時，標定值表示一批零件該參數(shù)的平均值，容差則給出了參數(shù)偏離其標定值的范圍。題中將零件參數(shù)設(shè)為隨機變量，則標定值及為期望值，在生產(chǎn)部門無特殊要求時，容差通常規(guī)定為均方差的3 倍。進行零件參數(shù)設(shè)計 ，就是要確定其標定值和容差。這時要考慮兩方面因素：一是當各零件組裝成產(chǎn)品時，如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標值，就會造成質(zhì)量損失 ，偏離越大 ，損失越大 ；二是零

5、件容差的大小決定了其制造成本，容差.下載可編輯 .設(shè)計得越小 ，成本越高 。要求：通過如下的具體問題給出一般的零件參數(shù)設(shè)計方法。粒子分離器某參數(shù) （記作 y）由 7 個零件的參數(shù) （記作 x1,x2 ,.,x7）決定，經(jīng)驗公式為 ：0.5631.1620.8512.62 10.36 x4x4x1x3x2x2Y 174.42x2x1x6 x7x5y 的目標值 （記作 y0）為 1.50。 當 y 偏離 y00.1 時，產(chǎn)品為次品 ，質(zhì)量損失為1,000 元；當 y 偏離 y00.3 時，產(chǎn)品為廢品 ，損失為 9,000 元。零件參數(shù)的標定值有一定的容許范圍 ；容差分為 、 三個等級 ，用與標定值

6、的相對值表示 ，等為1%，等為 5%，等為 10%。7 個零件參數(shù)標定值的容許范圍 ，及不同容差等級零件的成本（元）如下表 （符號表示無此等級零件 ）：標定值容許范等等等圍x10.075,0.12525x20.225,0.3752050x30.075,0.1252050200x40.075,0.12550100500x51.125,1.87550x612,201025100.下載可編輯 .x70.5625,0.93525100現(xiàn)進行成批生產(chǎn) ，每批產(chǎn)量 1,000 個。在原設(shè)計中 ，7 個零件參數(shù)的標定值為 ：x1=0.1,x 2=0.3,x 3=0.1,x 4=0.1,x 5 =1.5,x6

7、 =16,x 7=0.75; 容差均取最便宜的等級 。請綜合考慮 y 偏離 y0 造成的損失和零件成本 ，重新設(shè)計零件參數(shù) （包括標定值和容差），并與原設(shè)計比較 ，總費用降低了多少 ？1.3 研究意義隨著科學技術(shù)的發(fā)展，產(chǎn)品零件設(shè)計理論和方法也迅速地發(fā)展，同時伴隨著對零件參數(shù)精度設(shè)計的要求不斷提高，要求發(fā)揮設(shè)計者的創(chuàng)造力，運用更先進的科學技術(shù)手段 ，并依托現(xiàn)代設(shè)計理論和方法的指導(dǎo)，通過對零件參數(shù)的合理研究 ，設(shè)計出更有生命力 ，更強大的產(chǎn)品 ，使設(shè)計的產(chǎn)品在經(jīng)濟市場中占有一席之地 ，不輕易的被市場淘汰，且能實現(xiàn)最大的經(jīng)濟效益，創(chuàng)造更多的財富。2.問題的分析本題要求通過給出的具體問題進行零件參數(shù)

8、設(shè)計，也就是確定零件的標定值和容差 ，從而給出一般零件參數(shù)設(shè)計的方法。參數(shù)設(shè)計是產(chǎn)品設(shè)計的核心，就是要優(yōu)化零件參數(shù)，尋求參數(shù)標定值和容差的最佳組合，總的來說 ，該題是一個在一定約束條件下的優(yōu)化問題，目標是求出最低的生產(chǎn)費用，并相應(yīng)的給出生產(chǎn)費用的組合形式。生產(chǎn)費用包含兩方面 ，一是質(zhì)量損失費用w損 ，二是零.下載可編輯 .件成本費用 w成 。要想求出 w損 ，就必須要求出一批產(chǎn)品的次品率和廢品率?？紤]到將各零件的參數(shù)設(shè)為隨機變量，服從 N （ xi ,xi 2 ）的正態(tài)分布 ，故假設(shè) y也服從正態(tài)分布 。由正態(tài)分布的特性：當各變量服從正態(tài)分布時，其線性組合也服從正態(tài)分布?？蓪?y 借助泰勒公式

9、線性化，可知此時y 就服從正態(tài)分布了，找出其分布函數(shù) ，則可求得其在不同取值范圍內(nèi)的概率。最后把問題轉(zhuǎn)化為零件的標定值和容差關(guān)于總目標函數(shù)的最優(yōu)解問題上.在分析零件的成本和產(chǎn)品的質(zhì)量損失時不難發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量損失對費用的影響遠遠大于零件的成本對費用的影響，所以要求設(shè)計零件參數(shù)時首先考慮提高產(chǎn)品質(zhì)量以此來減少費用 。3.模型的假設(shè)假設(shè)一：在生產(chǎn)過程中除了質(zhì)量損失外，無其它形式的損失 。假設(shè)二：各零件的參數(shù)均視為隨機變量，且服從獨立的正態(tài)分布 。假設(shè)三 ：標志產(chǎn)品性能的某個參數(shù)y 僅由零件參數(shù)的標定值和容差決定，不考慮其它因素 。假設(shè)四 ：在大批量的生產(chǎn)中，整批零件 （ 1000 個）都處于都處于同一等

10、級。假設(shè)五：構(gòu)成產(chǎn)品的各零件互不影響，即是相互獨立的 。假設(shè)六：在質(zhì)量損失計算模型中 ，將所有的函數(shù)都視為可導(dǎo)的。4.符號說明xi ：第 i 個零件參數(shù)的標定值 （ i =1 ， 2 ，7）xi ：第 i 個零件實際值與標定值的偏差.下載可編輯 .ri ：第 i 個零件的容差xi ：第 i 個零件的方差ai ,bi ：標定值 xi 的下、上限y :產(chǎn)品參數(shù)的實際值y0 ：產(chǎn)品參數(shù)的目標值y ：產(chǎn)品參數(shù)的均值y ：產(chǎn)品參數(shù)的實際值y 與平均值 y 的偏差y ：產(chǎn)品參數(shù)的方差p1 ：一批產(chǎn)品中正品的概率p2 ：一批產(chǎn)品中次品的概率p3 ：一批產(chǎn)品中廢品的概率W ：一批產(chǎn)品的總費用Cij ：第 i

11、個零件中對應(yīng)容差等級為j 的成本（ jA, B,C ）5. 模型的建立與求解5.1 模型的建立由題意 ，將零件參數(shù)的容差設(shè)計的越大，成本雖然降低了 ，但同時偏離程度就會變大 ，造成質(zhì)量損失也變大，在此情況下 ，要求我們求出各最優(yōu)解，使總費用最低 。我們列出總費用的數(shù)學模型表達式：7W=C ij1000 p29000 p3i 17w成Ciji 1w損1000p29000p3.下載可編輯 .w成 查表即可求得 ，但要表示出 w質(zhì) ，必須知道p1 , p2 , p3 的值，下面我們對經(jīng)驗公式做一定的轉(zhuǎn)化以求得各概率。泰勒公式 ：對于正整數(shù)n，若函數(shù)在閉區(qū)間上 階連續(xù)可導(dǎo) ，且在上階可導(dǎo)。任取是一定點

12、 ，則對任意成立下式 ：f xf a+ f ' a( xa)f '' ax a2.fn a x a nRn x0!1!2!n!將經(jīng)驗公式用泰勒公式在Xxi i1,2.,7處展開并略去二次以上的高次項 。設(shè) f xy ，則7ff xyf xi(xi )i1xi將標定值 xi i 1,2,.,7代入經(jīng)驗公式得 ：7fyf xiyy y。xii 1xi又由已知條件 ，將零件參數(shù) xi 看做是服從正態(tài)分布的隨機變量，所以加工誤差xi 也服從正態(tài)分布 ，即有xi N 0,由正態(tài)分布的性質(zhì)可知 ：2X Ixi 間相互獨立 。y N 0,y22y N y, y由誤差傳遞公式得 ：72

13、722ff xixi6y 2xi=i 1xii 1xixi由題中已知 ，在生產(chǎn)部門無特殊要求時，容差通常規(guī)定為均方差的3 倍，得ri3 xi 。 由容差與標定值的比值為容差等級，得 ri容差等級。根據(jù)上述xi.下載可編輯 .得：xi30.01,0.05,0.1。xiy 的分布密度函數(shù)為 ：1y y 22 yy2e2 6 y由此得出以下結(jié)論 ：（ 1） y 在區(qū)間 y0 0.1, y0 0.1的概率即產(chǎn)品為正品的概率為p11.6y dy 。1.4（ 2） y 偏離 y00.1的概率，即產(chǎn)品為次品的概率為1.41 .8p21. 2y dyy dy1.6（ 3） y 偏離 y00.3 的概率，即產(chǎn)品

14、為廢品的概率為p31. 2y dyy dy1 .8綜合考慮 y 偏離 y0 造成的損失以及零件的成本，得出最優(yōu)零件參數(shù)模型 ，如下7min WC ij1000 p29000 p3i 1aixibis.t.f xiy05.2 模型的求解先對原方案分析 ，計算結(jié)果如下 ：正品率次品率廢品率成本費質(zhì)損費總費用0.12600.62390.25012002874.83074.8原方案次品率和廢品率過高 ， y =1.7256 ，偏離目標值 y0 =1.5很遠，導(dǎo)致質(zhì)損費過大。.下載可編輯 .我們所得的結(jié)果 ：零件種類1234567零件參數(shù)0.0750.3750.1250.121.291915.99040

15、.5625容差等級BBBCCBB正品率次品率廢品率成本費損失費總費用0.853307878421.7878產(chǎn)品參數(shù)均值 y =1.5產(chǎn)品參數(shù)方差y =0.0689單個產(chǎn)品降低了2653.02 元。6. 模型的評價與推廣優(yōu)點：（ 1）本文模型的建立與求解運用到數(shù)理統(tǒng)計的知識，精確度較高 ，相關(guān)性較強，結(jié)果較為合理可靠 。(2)雖然題中關(guān)于實際參數(shù)標定值的選取是離散的，但我們充分利用了計算機的數(shù)值計算能力 ，數(shù)據(jù)具有一定的說服力 。缺點：（ 1）該模型對于質(zhì)量損失的計算，雖說將所有函數(shù)都看做是連續(xù)函數(shù)，但對每個零件來說過于理想化，其中還是會產(chǎn)生一定的誤差。（2）模型忽略了小概率發(fā)生的可能性，雖然根據(jù) 3原則可將誤差控制在99.73%，但仍有一定誤差 。推廣：該模型給出了一個重要的產(chǎn)品設(shè)計與