第十章(2)-三向應(yīng)力狀態(tài),強(qiáng)度理論

1、10-310-3 三向應(yīng)力狀態(tài)簡介三向應(yīng)力狀態(tài)簡介主單元體：六個平面都是主平面主單元體：六個平面都是主平面123CL10TU30若三個主應(yīng)力已知，求任意斜截面上的應(yīng)力若三個主應(yīng)力已知，求任意斜截面上的應(yīng)力: 首先分析平行于主應(yīng)力之一（例如首先分析平行于主應(yīng)力之一（例如3）的）的各斜截面上的應(yīng)力。各斜截面上的應(yīng)力。112233332 3 對斜截面上的應(yīng)力沒有影響。這些斜截對斜截面上的應(yīng)力沒有影響。這些斜截面上的應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力面上的應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力 1 和和 2 所畫的應(yīng)所畫的應(yīng)力圓圓周上各點的坐標(biāo)。力圓圓周上各點的坐標(biāo)。1123 同理，在平行于同理，在平行于 2 的各個斜截面上，其的各個斜

2、截面上，其應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力 1 和和 3 所畫的應(yīng)力圓圓所畫的應(yīng)力圓圓周上各點的坐標(biāo)。周上各點的坐標(biāo)。112233123 在平行于在平行于 1 的各個斜截面上，其應(yīng)力對應(yīng)的各個斜截面上，其應(yīng)力對應(yīng)于由主應(yīng)力于由主應(yīng)力 2 和和 3 所畫的應(yīng)力圓圓周上各點所畫的應(yīng)力圓圓周上各點的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。112233123123 這樣，單元體上與主應(yīng)力之一平行的各個這樣，單元體上與主應(yīng)力之一平行的各個斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，可由三個應(yīng)力圓斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，可由三個應(yīng)力圓圓周上各點的坐標(biāo)來表示。圓周上各點的坐標(biāo)來表示。123 至于與三個主方向都不平行的任意斜截面，至于與三個主方向

3、都不平行的任意斜截面，彈性力學(xué)中已證明，其應(yīng)力彈性力學(xué)中已證明，其應(yīng)力n和和n可由圖中陰可由圖中陰影面內(nèi)某點的坐標(biāo)來表示。影面內(nèi)某點的坐標(biāo)來表示。 在三向應(yīng)力狀態(tài)情況下：在三向應(yīng)力狀態(tài)情況下：max1123CL10TU31 max 作用在與作用在與2平行且與平行且與1和和3的方向成的方向成45角的平面上，以角的平面上，以1，3表示表示min3max132例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力（應(yīng)力單位為（應(yīng)力單位為MPa）。）。CL10TU3230202302024052242222.MPa解：解： 50MPamax.13247 2MPa132230202

4、302024052 242 2.MPa2MPa 50例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力（應(yīng)力單位為（應(yīng)力單位為MPa）。）。123MPaMPaMPaMPa 50505025013maxCL10TU33解：解：例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力例：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力（應(yīng)力單位為（應(yīng)力單位為MPa）。）。CL10TU34120402120402301303022MPa解：解：max13280MPa 30MPa12221204021204023013030MPa3MPa 3010-4廣義胡克定律廣義胡克定律縱向應(yīng)變：CL10TU35E橫向

5、應(yīng)變： E廣義胡克定律一.123下面計算沿方向的應(yīng)變：1CL10TU301引起的應(yīng)變?yōu)?3、引起的應(yīng)變?yōu)?2 E13 E當(dāng)三個主應(yīng)力同時作用時：11231E（）11E廣義胡克定律：廣義胡克定律： 112322313312111EEE（）（）（）1211222131211 EEE()()()對于二向應(yīng)力狀態(tài)：對于二向應(yīng)力狀態(tài)： CL10TU30123體應(yīng)變二.abcCL10TU30Va b c0 Vabc1123111()()()abc()1123單位體積的體積改變?yōu)?VVV100也稱為。體體積積應(yīng)應(yīng)變變12312312123E()3 123123() EmK式中：體積彈性模量KEm3 1231

6、23()當(dāng)時，050.112322313312111EEE（）（）（）三三.復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能PllP拉壓變形能：CL10TU40UPlPPlEAP lEA121222變形比能：uUVP lEA AlE222212 123變形比能：u 12 u 121212112233 變形比能：u 121212112233 112322313312111EEE（）（）（）122122232122331E ()123mmm1m2m3m變形比能變形比能=體積改變比能體積改變比能+形狀改變比能形狀改變比能u = uv + ufm1233CL10TU41 3 123123()EKmuE

7、122122232122331 ()uv3 1222()Em1261232E()uuufv16122232312E()()()123mmm1m3m10-5 強(qiáng)度理論的概念強(qiáng)度理論的概念材料破壞的形式主要有兩類：材料破壞的形式主要有兩類：maxmax 流動破壞流動破壞斷裂破壞斷裂破壞一一. 常用的四種強(qiáng)度理論常用的四種強(qiáng)度理論材料破壞的基本形式有兩種：流動、斷裂材料破壞的基本形式有兩種：流動、斷裂相應(yīng)地，強(qiáng)度理論也可分為兩類：相應(yīng)地，強(qiáng)度理論也可分為兩類：一類是關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論；一類是關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論；另一類是關(guān)于塑性屈服的強(qiáng)度理論。另一類是關(guān)于塑性屈服的強(qiáng)度理論。1.最大拉應(yīng)力理論

8、（第一強(qiáng)度理論）最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論） 它假定：無論材料內(nèi)各點的應(yīng)力狀態(tài)如何，它假定：無論材料內(nèi)各點的應(yīng)力狀態(tài)如何，只要有一點的主應(yīng)力只要有一點的主應(yīng)力1 達(dá)到單向拉伸斷裂時達(dá)到單向拉伸斷裂時的極限應(yīng)力的極限應(yīng)力u，材料即破壞。，材料即破壞。 在單向拉伸時，極限應(yīng)力在單向拉伸時，極限應(yīng)力 u =b 強(qiáng)度條件可寫為強(qiáng)度條件可寫為 1 b1 bn 第一強(qiáng)度強(qiáng)度條件：第一強(qiáng)度強(qiáng)度條件： 試驗證明，這一理論與鑄鐵、巖石、砼、試驗證明，這一理論與鑄鐵、巖石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉斷試驗結(jié)果相符，陶瓷、玻璃等脆性材料的拉斷試驗結(jié)果相符，這些材料在軸向拉伸時的斷裂破壞發(fā)生于拉應(yīng)這些材料在軸向拉

9、伸時的斷裂破壞發(fā)生于拉應(yīng)力最大的橫截面上。脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞，也力最大的橫截面上。脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞，也是沿拉應(yīng)力最大的斜面發(fā)生斷裂，這些都與最是沿拉應(yīng)力最大的斜面發(fā)生斷裂，這些都與最大拉應(yīng)力理論相符，但這個理論沒有考慮其它大拉應(yīng)力理論相符，但這個理論沒有考慮其它兩個主應(yīng)力的影響。兩個主應(yīng)力的影響。2.最大伸長線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）最大伸長線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論） 它假定，無論材料內(nèi)各點的應(yīng)變狀態(tài)如何，它假定，無論材料內(nèi)各點的應(yīng)變狀態(tài)如何，只要有一點的最大伸長線應(yīng)變只要有一點的最大伸長線應(yīng)變1達(dá)到單向拉達(dá)到單向拉伸斷裂時應(yīng)變的極限值伸斷裂時應(yīng)變的極限值 u，材料即破壞。，材料即破壞。 所

10、以發(fā)生脆性斷裂的條件是所以發(fā)生脆性斷裂的條件是 1 u 若材料直到脆性斷裂都是在線彈性范圍內(nèi)工若材料直到脆性斷裂都是在線彈性范圍內(nèi)工作，則作，則11231EEEuub（）, 由此導(dǎo)出失效條件的應(yīng)力表達(dá)式為：由此導(dǎo)出失效條件的應(yīng)力表達(dá)式為： 123()b bn 123() 第二強(qiáng)度條件：第二強(qiáng)度條件： 煤、石料或砼等材料在軸向壓縮試驗時，如煤、石料或砼等材料在軸向壓縮試驗時，如端部無摩擦，試件將沿垂直于壓力的方向發(fā)生端部無摩擦，試件將沿垂直于壓力的方向發(fā)生斷裂，這一方向就是最大伸長線應(yīng)變的方向，斷裂，這一方向就是最大伸長線應(yīng)變的方向，這與第二強(qiáng)度理論的結(jié)果相近。這與第二強(qiáng)度理論的結(jié)果相近。CL1

11、0TU50 3.最大剪應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）最大剪應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論） 它假定，無論材料內(nèi)各點的應(yīng)力狀態(tài)如何，它假定，無論材料內(nèi)各點的應(yīng)力狀態(tài)如何，只要有一點的最大剪應(yīng)力只要有一點的最大剪應(yīng)力max達(dá)到單向拉伸達(dá)到單向拉伸屈服剪應(yīng)力屈服剪應(yīng)力S時，材料就在該處出現(xiàn)明顯塑時，材料就在該處出現(xiàn)明顯塑性變形或屈服。性變形或屈服。 屈服破壞條件是：屈服破壞條件是：maxs 用應(yīng)力表示的屈服破壞條件：用應(yīng)力表示的屈服破壞條件：max,1322ss13s sn13 第三強(qiáng)度條件：第三強(qiáng)度條件： 第三強(qiáng)度理論曾被許多塑性材料的試驗結(jié)第三強(qiáng)度理論曾被許多塑性材料的試驗結(jié)果所證實，且稍偏于安全。這個理論所

12、提供的果所證實，且稍偏于安全。這個理論所提供的計算式比較簡單，故它在工程設(shè)計中得到了廣計算式比較簡單，故它在工程設(shè)計中得到了廣泛的應(yīng)用。該理論沒有考慮中間主應(yīng)力泛的應(yīng)用。該理論沒有考慮中間主應(yīng)力2的影的影響，其帶來的最大誤差不超過響，其帶來的最大誤差不超過15，而在大多，而在大多數(shù)情況下遠(yuǎn)比此為小。數(shù)情況下遠(yuǎn)比此為小。4.形狀改變比能理論形狀改變比能理論(第四強(qiáng)度理論第四強(qiáng)度理論) 它假定，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的形狀改變比它假定，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的形狀改變比能達(dá)到單向拉伸時使材料屈服的形狀改變比能達(dá)到單向拉伸時使材料屈服的形狀改變比能時，材料即會發(fā)生屈服。能時，材料即會發(fā)生屈服。 屈服破壞條件

13、是：屈服破壞條件是：uufuuEf16122232312()()() 簡單拉伸時：簡單拉伸時：uEus16221230s,12122232312()()()s12122232312()()() 屈服破壞條件是：屈服破壞條件是： 第四強(qiáng)度條件：第四強(qiáng)度條件： 這個理論和許多塑性材料的試驗結(jié)果相符，這個理論和許多塑性材料的試驗結(jié)果相符，用這個理論判斷碳素鋼的屈服失效是相當(dāng)準(zhǔn)確用這個理論判斷碳素鋼的屈服失效是相當(dāng)準(zhǔn)確的。的。四個強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件可寫成統(tǒng)一形式：四個強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件可寫成統(tǒng)一形式：r r rrrr112123313412223231212()()()()稱為相當(dāng)應(yīng)力稱為相當(dāng)應(yīng)力 一

14、般說來，在常溫和靜載的條件下，脆性材一般說來，在常溫和靜載的條件下，脆性材料多發(fā)生脆性斷裂，故通常采用第一、第二料多發(fā)生脆性斷裂，故通常采用第一、第二強(qiáng)度理論；塑性材料多發(fā)生塑性屈服，故應(yīng)強(qiáng)度理論；塑性材料多發(fā)生塑性屈服，故應(yīng)采用第三、第四強(qiáng)度理論。采用第三、第四強(qiáng)度理論。 影響材料的脆性和塑性的因素很多，例如：影響材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低溫能提高脆性，高溫一般能提高塑性；低溫能提高脆性，高溫一般能提高塑性；在高速動載荷作用下脆性提高，在低速靜載在高速動載荷作用下脆性提高，在低速靜載荷作用下保持塑性。荷作用下保持塑性。無論是塑性材料或脆性材料：無論是塑性材料或脆性材料： 在三向拉應(yīng)

15、力接近相等的情況下，都以斷在三向拉應(yīng)力接近相等的情況下，都以斷裂的形式破壞，所以應(yīng)采用最大拉應(yīng)力理論；裂的形式破壞，所以應(yīng)采用最大拉應(yīng)力理論； 在三向壓應(yīng)力接近相等的情況下，都可以在三向壓應(yīng)力接近相等的情況下，都可以引起塑性變形，所以應(yīng)該采用第三或第四強(qiáng)度引起塑性變形，所以應(yīng)該采用第三或第四強(qiáng)度理論。理論。10-9 莫爾強(qiáng)度理論莫爾強(qiáng)度理論13tctr Mtc13例：填空題。例：填空題。 冬天自來水管凍裂而管內(nèi)冰并未破裂，冬天自來水管凍裂而管內(nèi)冰并未破裂，其原因是冰處于其原因是冰處于 應(yīng)力狀態(tài)，而水管應(yīng)力狀態(tài)，而水管處于處于 應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)。三向壓三向壓二向拉二向拉 在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下：在

16、純剪切應(yīng)力狀態(tài)下： 用第三強(qiáng)度理論可得出：塑性材料的許用剪用第三強(qiáng)度理論可得出：塑性材料的許用剪應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比 用第四強(qiáng)度理論可得出：塑性材料的許用剪用第四強(qiáng)度理論可得出：塑性材料的許用剪應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比 例：填空題。例：填空題。 解：在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下，三個主應(yīng)力分別為解：在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下，三個主應(yīng)力分別為1230 ,第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為：第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為：132 () 由此得：由此得： 2剪切強(qiáng)度條件為：剪切強(qiáng)度條件為： 按第三強(qiáng)度理論可求得：按第三強(qiáng)度理論可求得： 2第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為：第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為：123

17、122232312()()() 由此得：由此得： 3剪切強(qiáng)度條件為：剪切強(qiáng)度條件為： 按第三強(qiáng)度理論可求得：按第三強(qiáng)度理論可求得： 3 在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下：在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下： 用第三強(qiáng)度理論可得出：塑性材料的許用剪用第三強(qiáng)度理論可得出：塑性材料的許用剪應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比 用第四強(qiáng)度理論可得出：塑性材料的許用剪用第四強(qiáng)度理論可得出：塑性材料的許用剪應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比 例：填空題。例：填空題。 0.50.577 石料在單向壓縮時會沿壓力作用方向的縱石料在單向壓縮時會沿壓力作用方向的縱截面裂開，這與第截面裂開，這與第 強(qiáng)度理論的論述基本強(qiáng)度理論的論述基本

18、一致。一致。例：填空題。例：填空題。二二 一球體在外表面受均布壓力一球體在外表面受均布壓力p = 1 MPa作用，則在球心處的主應(yīng)力作用，則在球心處的主應(yīng)力 1 = MPa， 2 = MPa， 3 = MPa。例：填空題。例：填空題。111 三向應(yīng)力狀態(tài)中，若三個主應(yīng)力都等于三向應(yīng)力狀態(tài)中，若三個主應(yīng)力都等于，材，材料的彈性模量和泊松比分別為料的彈性模量和泊松比分別為E和和 ，則三個，則三個 主主應(yīng)變?yōu)閼?yīng)變?yōu)?。例：填空題。例：填空題。112322313312111EEE（）（）（） 第三強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)第三強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別為力分別為r3及及r4，對于純剪應(yīng)力狀態(tài)，恒有，對于純剪應(yīng)力狀態(tài)，恒有r3r4。例：填空題。例：填空題。1230 ,r3132 ()r4122232312123()()() 危險點接近于三向均勻受拉的塑性材料，危險點接近于三向均勻受拉的塑性材料，應(yīng)選用應(yīng)選用 強(qiáng)度理論進(jìn)行計算，因為此時強(qiáng)度理論進(jìn)行計算，因為此時材料的破壞形式為材料的破壞形式為 。例：填空題。例：填空題。第一第一脆性斷裂脆性斷裂例：選擇題。例：選擇題。 純剪切應(yīng)力狀態(tài)下，各向同性