數(shù)字信號處理第三章

1、2021-12-151DRAFT時域離散系統(tǒng)時域離散信號定義典型序列)(n)(nu)(nRN離散系統(tǒng)性質線性性時不變性)()()(nhnxny因果性穩(wěn)定性輸入輸出描述線性常系數(shù)差分方程2021-12-152DRAFT模擬信號數(shù)字處理方法采樣恢復理想情況實際情況內插函數(shù)TnTtTnTttg/)(/)(sin)(2021-12-153DRAFT3單擊此處編輯母版標題樣式32021-12-1532021-12-153DRAFT圖1.5.3 采樣信號的頻譜 0 c cXa(j )P (j ) s s0Xa(j )0Xa(j ) c s（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）2s0 s s s2s2s0

2、Xa(j )G(j )xa(t)ya(t)0G(j )/ T/ T0Xa(j )（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）圖1.5.4 采樣恢復 2021-12-154DRAFT傅里葉變換時域離散信號傅里葉變換nnjjenxeX)()(時域離散信號傅里葉反變換deeXnxnjj-)(21)(nnx)(周期序列的離散傅里葉變換102)()(NnknNjenxkX傅里葉級數(shù)kjkNkXNeX)2()(2)(傅里葉變換2021-12-155DRAFTZ變換-)()(nznxzX-)(nznx收斂域常用的常用的Z變換是一個有理函數(shù)，用兩個多項式之比表示：變換是一個有理函數(shù)，用兩個多項式之比表示：( )(

3、 )( )P zX zQ zX(z)X(z)=0( )0( )( ) ( )P zQ zP zQ z 則的零點：使的點， 即和當階次高于時X(z)X(z)( )0( )( )( )Q zP zQ zP z 的極點：使的點， 即和當階次高于時2021-12-156DRAFTZ反變換圍線積分法：1、寫出F（z）表達式2、畫圖3、討論4、總結1、圍線積分法（留數(shù)法）、圍線積分法（留數(shù)法）2、部分分式展開法、部分分式展開法3、冪級數(shù)展開法、冪級數(shù)展開法2021-12-157DRAFT3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義 3.2 離散傅里葉變換的基本性質離散傅里葉變換的基本性質3.3 頻率域

4、采樣頻率域采樣3.4 DFT的應用舉例的應用舉例第3章 離散傅里葉變換(DFT)2021-12-158DRAFT3.1 離散傅里葉變換的定義 3.1.1 DFT的定義 設x(n)是一個長度為M的有限長序列， 則定義x(n)的N點離散傅里葉變換為 10( ) ( )( ), k=0, 1, , N-1 (3.1.1)NknNnX kDFT x nx n WX(k)的離散傅里葉逆變換為101( )( )( ), k=0, 1, , N-1 (3.1.2)NknNnx nIDFT X kX k WN2021-12-159DRAFT 式中 N稱為DFT變換區(qū)間長度NM， 通常稱(3.1.1)式和(3.

5、1.2)式為離散傅里葉變換對。 下面證明IDFTX(k)的唯一性。 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有 110011()001( )( )1( )NNmkknNNkmNNk m nNmkIDFT X kx m WWNx mWN 11,()0,01Nm n iNk m nNm n iNkWN i為整數(shù) i為整數(shù) NjNeW22021-12-1510DRAFT 例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的4點和8點DFT ，設變換區(qū)間N=4， 則所以， 在變換區(qū)間上滿足下式： IDFTX(k)=x(n), 0nN-1 由此可見， (3.1.2)式定義的離散傅里葉變換是唯一的。 233

6、44002244434( )( )1()1()4,0sin()0,1,2,3sin()4jknknnnjkj kj kj kjkjkjkjkjkX kx n Weeeeeeeeekkekk 2021-12-1511DRAFT設變換區(qū)間N=8， 則273880038( )( )sin()2,0,1,8sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk2021-12-1512DRAFT 3.1.2 DFT和Z變換的關系 設序列x(n)的長度為N， 其Z變換和DFT分別為：1010( ) ( )( )( ) ( )( )0kN-1NnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x

7、nx n W比較上面二式可得關系式22( )( ),0kN-1(3.1.3)( )(),0kN-1(3.1.4)jkNz ejkNX kX zX kX e或者10)()(NnnjjenxeX2021-12-1513DRAFTX(n)的N點DFT是：X(n)的z變換在單位圓上的N點等間隔抽樣；X(n)的DTFT在區(qū)間0,2上的N點等間隔抽樣；2021-12-1514DRAFT圖 3.1.1 X(k)與X(e j)的關系 2021-12-1515DRAFT2021-12-1516DRAFT 3.1.3 DFT的隱含周期性 前面定義的DFT變換對中， x(n)與X(k)均為有限長序列， 但由于Wkn

8、N的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隱含周期性， 且周期均為N。 對任意整數(shù)m， 總有(),kk mNNNWWk m N均為整數(shù) 所以(3.1.1)式中， X(k)滿足1()010()( )( )( )Nk mN nNnNknNnX kmNx n Wx n WX k2021-12-1517DRAFT 實際上， 任何周期為N的周期序列 都可以看作長度為N的有限長序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)則是 的一個周期， 即xx( )()(3.1.5)( )( )( )(3.1.6)mNx nx nmNx nx nRn為了以后敘述方便， 將(3.1.5)式用如下形式表示：

9、 )7.1.3()()(Nnxnx2021-12-1518DRAFT圖 3.1.2 有限長序列及其周期延拓 2021-12-1519DRAFT 式中x(n)N表示x(n)以N為周期的周期延拓序列， (n)N表示n對N求余， 即如果 n=MN+n1， 0n1N-1， M為整數(shù)， 則 (n)N=n1 例如， 55, ( )( ) ,Nx nx n 則有55(5)(5)(0)(6)(6)(1)xxxxxx所得結果附合圖3.1.2所示的周期延拓規(guī)律。 2021-12-1520DRAFT 如 果 x ( n ) 的 長 度 為 N ， 且 ，則可寫出 的離散傅里葉級數(shù)表示為( )( ( )Nx nx n

10、11100010( )( )( )( )11( )( )( )NNNknknknNNNNnnnNknknNNnX kx n Wx nWx n Wx nX k WX k WNN(3.1.8) (3.1.9) 式中 ( )( )( )NX kX k Rk(3.1.10)( )x n2021-12-1521DRAFT3.2 離散傅里葉變換的基本性質 3.2.1 線性性質 如果x1(n)和x2(n)是兩個有限長序列， 長度分別為N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、b為常數(shù)，即N=maxN1, N2， 則y(n)的N點DFT為Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k),

11、 0kN-1 (3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點DFT。 2021-12-1522DRAFT 3.2.2 循環(huán)移位性質 1. 序列的循環(huán)移位 設x(n)為有限長序列， 長度為N， 則x(n)的循環(huán)移位定義為 y(n)=x(n+m)NRN(N) (3.2.2)( ) ( ) ()x nx nx nm( )mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm2021-12-1523DRAFT圖 3.2.1 循環(huán)移位過程示意圖 2021-12-1524DRAFT 2. 時域循環(huán)移位定理 設x(n) 是長度為M(MN)的有限長序列， y(n)為x(n)的循環(huán)移位， 即

12、y(n)=x(n+m)NRN(n) 則 Y(k)=DFTy(n)=WN-kmX(k) (3.2.3) 其中X(k)=DFTx(n), 0kN-1。 2021-12-1525DRAFT 證明： 1010( ) ( )()( )()NknNNNnNknNNnY kDFT y nx nmRn Wx nmW令n+m=n， 則有1()1( )( )( )Nmk nmNNnmNmknknNNNnmY kx nWWx nW 2021-12-1526DRAFT 由于上式中求和項x(n)NWNkn以N為周期， 所以對其在任一周期上的求和結果相同。 將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)則得1010( )( )( )( )N

13、kmknNNNnNkmknNNnkmNY kWx nWWx n WWX k 3. 頻域循環(huán)移位定理如果 X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)則 y(n)=IDFTY(k)N=WNnlx(n) (3.2.4)2021-12-1527DRAFT 3.2.3 循環(huán)卷積定理 有限長序列x1(n)和x2(n)， 長度分別為N1和N2， N=max N1, N2 。 x1(n)和x2(n)的N點DFT分別為： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) 如果 X(k)=X1(k)X2(k) 則1120( )( )( )()( )NNNmx nIDFT

14、X kx m xnmRn(3.2.5) 1210( )( )( )()( )NNNmx nIDFT X kx m xnmRn2021-12-1528DRAFT3 已知長度為N=10的兩個有限長序列：9 504 01)(1nnnx9 5 14 0 1)(2nnnx做矩陣法求xy(n)=x1(n) * x2(n)， 循環(huán)卷積區(qū)間長度L=10。 2021-12-1529DRAFT3.3 頻率域采樣 設任意序列x(n)的Z變換為( )( )nnX zx n z 且X(z)收斂域包含單位圓(即x(n)存在傅里葉變換)。 在單位圓上對X(z)等間隔采樣N點得到22( )( )( ),0kN-1(3.3.1

15、)jkNjknNz enX kX zx n exN(n)=IDFTX(k)， 0nN-12021-12-1530DRAFT 由DFT與DFS的關系可知， X(k)是xN(n)以N為周期的周期延拓序列 (n)的離散傅里葉級數(shù)系數(shù) 的值序列， 即x( )X k1010)(1)(1)()()()()()()()()(NkknNNkknNNNNWkXNWkXNkXIDFSnxnxkRkXkXnxDFSkXkX2021-12-1531DRAFT 將式(3.3.1)代入上式得101()01( )( )1( )NkmknNNkmNk m nNmkx nx m WWNx mWN 式中 11,()001Nm n

16、 rN rk m nNkWN 為整數(shù) 其它m 2021-12-1532DRAFT 如果序列x(n)的長度為M， 則只有當頻域采樣點數(shù)NM時， 才有 xN(n)=IDFTX(k)=x(n) 即可由頻域采樣X(k)恢復原序列x(n)， 否則產生時域混疊現(xiàn)象。 這就是所謂的頻域采樣定理。 10( )()( )( )( )()( )NkNNNrx nx nrNxnx n Rnx nrN Rn(3.3.2) (3.3.3)2021-12-1533DRAFT 下面推導用頻域采樣X(k)表示X(z)的內插公式和內插函數(shù)。 設序列x(n)長度為M， 在頻域02之間等間隔采樣N點， NM， 則有 21010(

17、)( )( )( ),0,1,2,11( )IDFT( )( )jkNNnnz eNknNkX zx n zX kX zkNx nX kX k WN式中 2021-12-1534DRAFT 將上式代入X(z)的表示式中得110011001101( )( )1( )11( )1NNknnNnkNNknnNknkNNNNkkNX zX k WzNX kWzNWzX kNWz2021-12-1535DRAFT 上式中WN-kN =1， 因此 11011011( )( )111( )1( )( )( )NNkkNNkkNNkkzX zX kNWzzzNWzX zX kz(3.3.4) (3.3.5)

18、(3.3.6) 令：則：2021-12-1536DRAFT 式(3.3.6)稱為用X(k)表示X(z)的內插公式， k(z)稱為內插函數(shù)。 當z=ej時， (3.3.5)式和(3.3.6)式就成為x(n)的傅里葉變換X(ej)的內插函數(shù)和內插公式， 即(2/)1011( )1()( )( )j Nkjk NNjkkeNeX eX k 進一步化簡可得 101()22()( ) ()1 sin(/2)( )sin(/2)NjkNjX eX kkNNeN (3.3.7) (3.3.8)2021-12-1537DRAFT3.4 DFT的應用舉例 DFT及其快速算法FFT的出現(xiàn)， 使DFT在數(shù)字通信、

19、語言信號處理、 圖像處理、 功率譜估計、 仿真、 系統(tǒng)分析、 雷達理論、 光學、 醫(yī)學、 地震以及數(shù)值分析等各個領域都得到廣泛應用。 2021-12-1538DRAFT 3.4.1 用DFT計算線性卷積 如果112120( )( )( )( )()( )LLLmy nx n L x nx m xnmR n 1122( )( )( )( )X kDFT x nXkDFT x n0 k L - 1 , LmaxN,M則由時域循環(huán)卷積定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-12021-12-1539DRAFT 由此可見， 循環(huán)卷積既可在時域直接計算， 也可以按照圖3.4.1

20、所示的計算框圖， 在頻域計算。 由于DFT有快速算法FFT，當N很大時，在頻域計算的速度快得多， 因而常用DFT(FFT)計算循環(huán)卷積。 圖 3.4.1 用DFT計算循環(huán)卷積 2021-12-1540DRAFT 在實際應用中， 為了分析時域離散線性非移變系統(tǒng)或者對序列進行濾波處理等， 需要計算兩個序列的線性卷積， 與計算循環(huán)卷積一樣， 為了提高運算速度， 也希望用DFT(FFT)計算線性卷積。 而DFT只能直接用來計算循環(huán)卷積， 為此需導出線卷積和循環(huán)卷積之間的關系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件。 假設h(n)和x(n)都是有很長序列， 長度分別是N和M。 它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如

21、下： 1010( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()( )NlmLcLLmy nh nx nh m x nmy nh n L x nh m x nmR n (3.4.1) (3.4.2) 2021-12-1541DRAFT 其中， LmaxN, M 1010( )( )()( )( ) ()( )NcLmqNLqmy nh mx nmqL R nh m x nmqL R n ( )(),Lqx nx nqL對照式(3.4.1)可以看出， 上式中 10( ) ()()( )()( )NlmclLqh m x nqLmy nqLy ny nqL R n(3.4.3) 2021

22、-12-1542DRAFT圖 3.4.2 線性卷積與循環(huán)卷積 0123451234h(n) x(n)nL 60123451234nL 867h(n) x(n)0123451234nL 1067h(n) x(n)（ d ）（ e ）( f )0123451234nN M1 867h(n) x(n)*nM 5012341x(n)nN 401231h(n)（ a ）（ b ）（ c ）89* * 189 102021-12-1543DRAFT如果兩個序列長度相差很大，如MN，則需對短序列補很多零點，且長序列必須全部輸入后才能用FFT算法進行計算。因此存儲量大，運算時間長，不能實時處理。可將長序列分段

23、計算，包括重疊相加法和重疊保留法兩種計算方法。2021-12-1544DRAFT 設序列h(n)長度為N， x(n)為無限長序列。 將x(n)均勻分段， 每段長度取M， 則0( )( )( )( )()kikMx nx nx nx nRnkM于是， h(n)與x(n)的線性卷積可表示為000( )( )( )( )( )( )( )( )kkkkkkky nh nx nh nx nh nx ny n(3.4.4) 2021-12-1545DRAFT圖 3.4.3 重疊相加法卷積示意圖 Matlab函數(shù)：fftfilt2021-12-1546DRAFT3.4.2 用DFT對信號進行譜分析2021

24、-12-1547DRAFT2021-12-1548DRAFT 3.4.2 用DFT對信號進行譜分析 所謂信號的譜分析就是計算信號的傅里葉變換。 連續(xù)信號與系統(tǒng)的傅里葉分析顯然不便于直接用計算機進行計算， 使其應用受到限制， 而DFT是一種時域和頻域均離散化的變換， 適合數(shù)值運算， 成為分析離散信號和系統(tǒng)的有力工具。對連續(xù)信號和系統(tǒng)，可通過時域采樣，用DFT進行近似譜分析。 1. 用DFT對連續(xù)信號進行譜分析 工程實際中， 經常遇到的連續(xù)信號xa(t)， 其頻譜函數(shù)Xa(j)也是連續(xù)函數(shù)。 2021-12-1549DRAFT信號最高頻率-采樣點數(shù)-樣間隔（頻率分辨率）頻率采-信號記錄（截?。╅L度

25、-時域采樣頻率-時域采樣間隔-cPsfNFTfTFfTTNNTTNFfFTTfffsppspscs1122021-12-1550DRAFT 設連續(xù)信號xa(t)持續(xù)時間為Tp， 最高頻率為fc， 如圖3.4.6所示。 對xa(t)以采樣間隔T1/(2fc)(即fs=1/T2fc)采樣得 x(n) = xa(nT)。由（2.4.3）式知道，x(n)的FT X(ejw)與xa(t)的FT Xa(j)滿足如下關系：12()()12()()2()()jamjTamaamX eXjmTTTX eXjmTTTXjXjmT 定義（3.4.6）2021-12-1551DRAFT上式代表模擬信號頻譜Xa(j)的

26、周期延拓。由x(n)的N點DFT的定義有：2( ) ( )()jNkNX kDFT x nX e將上式代入（3.4.6）得：21212( )()()()jkNaapX kX eXkXkTNTTT寫成數(shù)字頻率f的習慣形式則有：2111( )( )( )(),0,1,1afakafNTX kXXfXkFkNTTT上式中，F(xiàn)表示對模擬信號頻譜的采樣間隔，稱之為頻率分辨率。顯然有：2021-12-1552DRAFT11spFFTNTN()aXkF而 則表示模擬信號頻譜的周期延拓在第一個周期 0, Fs的N點等間隔周期采樣。所以：()( )*DFT ( ),0,1,1aXkFTX kTx nkN()aX

27、kF和x(n)如圖3.4.6(c)所示。如果xa(t)的持續(xù)時間為無限長，上述分析則要對信號進行截短，產生所謂的截斷效應，從而使頻譜分析產生誤差。（3.4.11)2021-12-1553DRAFT圖3.4.6 用DFT分析連續(xù)信號頻譜原理圖2021-12-1554DRAFT 下面舉例說明截斷效應： 設一理想低通濾波器的單位沖擊響應ha(t)及其頻響函數(shù)Ha(jf) 如圖3.4.7(a)、 (b)所示。 圖中sin()( )ath tt2021-12-1555DRAFT圖 3.4.6 用DFT計算理想低通濾波器頻響曲線 2021-12-1556DRAFT 現(xiàn)在用DFT來分析ha(t)的頻率響應特

28、性。 由于ha(t)的持續(xù)時間為無窮長， 所以要截取一段Tp， 假設Tp=8 s， 采樣間隔T=0.25 s(即采樣速度fs=4 Hz)， 采樣點數(shù)N=Tp/T=32。 此時頻域采樣間隔F=1/NT=0.125 Hz。 則 H(kF)=TDFTh(n), 0k31 其中 h(n)=ha(nT)R32(n) 在已知信號的最高頻率fc(即譜分析范圍時)， 為了避免在DFT運算中發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象， 要求采樣速率fs滿足下式 fs2fc (3.4.13)2021-12-1557DRAFT 按照(3.4.5)式， 譜分辨率F=fs/N， 如果保持采樣點數(shù)N不變， 要提高譜的分辨率(F減小)， 必須降低采

29、樣頻率， 采樣頻率的降低會引起譜分析范圍變窄和頻譜混疊失真。 如維持fs不變， 為提高分辨率可以增加采樣點數(shù)N， 因為NT=Tp，T=f-1s， 只有增加對信號的觀察時間Tp， 才能增加N。 Tp和N可以按照下式進行選擇:21cpfNFTF(3.4.14) (3.4.15)2021-12-1558DRAFT 例 3.4.1 對實信號進行譜分析， 要求譜分辨率F10 Hz，信號最高頻率fc=2.5 kHz， 試確定最小記錄時間TPmin， 最大的采樣間隔Tmax， 最少的采樣點數(shù)Nmin。 如果fc不變， 要求譜分辨率增加一倍， 最少的采樣點數(shù)和最小的記錄時間是多少? 解： 因此TPmin=0.

30、1 s， 因為要求fs2fc， 所以 110.110PTsF3maxmin110.2 1022250022250050010ccTsffNF2021-12-1559DRAFT為使頻率分辨率提高一倍， F=5 Hz， 要求minmin225001000510.25pNTs2021-12-1560DRAFT18 用微處理機對實數(shù)序列作譜分析， 要求譜分辨率F50 Hz， 信號最高頻率為 1 kHz， 試確定以下各參數(shù)： (1) 最小記錄時間Tp min； (2) 最大取樣間隔Tmax； (3) 最少采樣點數(shù)Nmin； (4) 在頻帶寬度不變的情況下， 使頻率分辨率提高1倍（即F縮小一半）的N值。

31、2021-12-1561DRAFT解解: （1） 已知F=50 Hz， 因而s02. 05011minpFT（2）ms5 . 010212113maxminsmaxffT（3）pminmin3max0.02s400.5 10TNT2021-12-1562DRAFT（4） 頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變， 應該使記錄時間擴大1倍， 即為0.04 s， 實現(xiàn)頻率分辨率提高1倍（F變?yōu)樵瓉淼?/2）。80ms0.5s04. 0minN2021-12-1563DRAFT19 已知調幅信號的載波頻率fc=1 kHz， 調制信號頻率fm=100 Hz， 用FFT對其進行譜分析， 試求： (1) 最小記

32、錄時間Tp min; (2) 最低采樣頻率fs min; (3) 最少采樣點數(shù)Nmin。2021-12-1564DRAFT解解： 調制信號為單一頻率正弦波時， 已調AM信號為x(t)=cos(2fct+c)1+cos(2fmt+m)所以， 已調AM信號x(t) 只有3個頻率： fc、 fc+fm、 fcfm。 x(t)的最高頻率fmax=1.1 kHz， 頻率分辨率F100 Hz（對本題所給單頻AM調制信號應滿足100/F=整數(shù)， 以便能采樣到這三個頻率成分）。 故ms10s01. 010011minpFT(1)(2)sminmax22.2 kHzFf2021-12-1565DRAFT(3)2

33、2102 . 2101033minpmaxpminfTTTN2021-12-1566DRAFT 2. 用DFT對序列進行譜分析 我們已知道單位圓上的Z變換就是序列傅里葉變換， 即()( )jjz eX eX z2021-12-1567DRAFT 對周期為N的周期序列 ， 由(2.3.10)式知道， 其頻譜函數(shù)為 用DFT的隱含周期性知道， 截取 的主值序列x(n)= (n)RN(n)， 并進行N點DFT得到( )x n21022() ( )( ) ()( ) ( )( )jkNjknNnX eFT x nX kkNNX kDFS x nx n e 其中 ( )x n( )x n( ) ( )

34、( )( )( )( )NNX kDFT x nDFT x n RnX k Rk2021-12-1568DRAFT 如果截取長度M等于 的整數(shù)個周期， 即M=mN， m為正整數(shù)， 則 ( )x n2102(1)0( )( )( )( )( )( )( )0,1,1MMMknMMMnm NknmNnxnx n RnXkDFT xnx n ex n ekmN令n=n+rN, r=0, 1, , m-1, n=0, 1, , N-1,則2021-12-1569DRAFT2 ()110221100210210( )()( )()()nrN kmNjmNMrnnmNjkjrkmNmrnmjrkmrmjrkmrXkx nrN ex n eekXemkXem 210,0,mjkrmrme因為 k/m=整數(shù)k/m整數(shù) 2021-12-1570DRAFT 如果 的周期預先不知道， 可先截取M進行DFT， 即(),( )0,MkmXXkmk/m=整數(shù)k/m整數(shù) ( )( )( )( )( ),01MMMMxnx nRnXkDFT xnkM再將截取長度擴大一倍， 截取2222( )( )( )( )( ),021MMMMxnx nRnXkDFT xnkM如果二者的差別滿足分析誤差要求，就近似表示 的譜x( )x n