《概率統(tǒng)計教學資料》第2章隨機變量及其分布ppt課件

1、隨機變量的定義隨機變量的定義設隨機實驗E的樣本空間為,假設對于假設對于每每一個樣本點一個樣本點,變量變量X 都有確定實數值與之對應都有確定實數值與之對應,那么X是定義在上的實值函數,即),(XX 我們稱這樣的變量X為隨機變量.定義:隨機變量的分類隨機變量的分類(1) 離散隨機變量離散隨機變量:取值只需有限個或可列無窮多個取值只需有限個或可列無窮多個;延續(xù)隨機變量延續(xù)隨機變量: 取值是在某個實數區(qū)間取值是在某個實數區(qū)間(2) 非離散隨機變量非離散隨機變量2. 離散隨機變量的概率分布離散隨機變量的概率分布X)(ixp1x)(1xp2x)(2xp)(ixpixnx)(nxp或記為(1)定義定義),

2、2 , 1()()(ixpxXPii那么稱 p(xi) (i=1,2,) 為 X 的概率分布或概率函數.其一切能夠取值為),( ,21nxxx且定義: 設X為離散隨機變量,注：當注：當X獲得有限個能夠值時，獲得有限個能夠值時，(2)(2)性質性質i顯然，概率分布p(xi) 有下面的性質:;, 2, 1, 0)(10ixpi.1)(20iixp表示有限項的和;當X獲得可列無窮多個能夠值時,i表示收斂級數和.超幾何分布超幾何分布 定義定義. .設隨機變量設隨機變量X X的概率分布為的概率分布為kn kMNMnNC CP XkknC(),0,1,2, ; 隨機變量X服從超幾何分布,其中n, M, N

3、是分布的參數.其中n, M, N 都是正整數，且n N, MN;那么稱記作XH (n, M, N),nNknMNkMCCC )(kXP), 2 , 1 , 0(nk一批產品共N件, 其中M件次品, N-M件正品,實例：產品檢驗模型實例：產品檢驗模型隨機抽取n件樣品(0nM)按不放回抽樣方式,(設隨機變量X表示取出的次品數k )此X的概率分布稱為超幾何分布H(n, M, N).求取出的n樣品中恰有k件次品A的概率？)(AP設隨機變量X只能夠取0,1兩個值 , ,)(1 kkqpkXP二項分布二項分布1, 0k) 10( p且概率分布為1.(01)1.(01)分布分布那么稱X服從(0 - 1)分布

4、或兩點分布.(0 - 1)分布的概率分布也可寫成 X 0 1 pk 1-p p 定義定義. . 設隨機變量設隨機變量X X的概率分布為的概率分布為nkqpCkXPknkknn, 2 , 1 , 0,)(; 1, 10qpp其中n,p為分布的參數.2.2.二項分布二項分布 B (n, p) B (n, p)其中n為正整數，那么稱隨機變量X服從二項分布，記作XB (n, p),注：注：1)()(1000nnkknkknnknqpqpCkXP20 當n=1時，XB(1, p)，即為(0-1)分布.實例：實例：在n重伯努利概型中那么X服從二項分布B (n, p) .例如例如設X表示事件A恰好出現的次數

5、， X=k的概率為nkqpCkXPknkknn, 2 , 1 , 0,)(隨機抽取n件樣品(0nM).設一批產品共N件，其中有M件次品，按放回抽樣方式,設隨機變量X表示取出的次品數(X=0,1,2,n), 那么)(kXP), 2 , 1 , 0(nkknkknNMNMC)1 ()(故XB (n, M/N).是分布的參數.泊松分布泊松分布 ;, 2, 1, 0,!)(kekkXpk),(PX定義定義. . 設隨機變量設隨機變量X X的概率分布為的概率分布為那么稱隨機變量X服從泊松分布，記作參數)0(其其中中1ee0!kkek0!kkke泊松分布的運用泊松分布的運用例如：例如：3) 汽車站臺一天的

6、侯客人數；5) 某公路段上在單位時間內發(fā)生交通事故的次數;2)某交換臺在單位時間內收到的呼喚次數；1) 某效力設備在一定時間內到達的人數；4)某醫(yī)院在一天內的急診病人數;有著廣泛的運用.泊松分布在公共事業(yè)、生物、醫(yī)學及工業(yè)等領域概率函數近似等于二項分布B(n,p)的概率函數,nNknMNkMCCC.1,NMqNMp其中當N充分大時，超幾何分布H (n, M, N)的,knkknqpC二項分布與超幾何分布的關系二項分布與超幾何分布的關系定理定理: :即假設XH (n, M, N)， 那么當N時，有knkknnNknMNkMNqpCCCClim注：注： 當n充分大, p很小 (p0.1), 二項分

7、布B( n, p)的概率函數近似等于泊松分布),(pnBX設的概率函數:, 2 , 1 , 0,!limkekqpCkknkknn,0）（常數np泊松分布與二項分布的關系泊松分布與二項分布的關系)(P泊松定理：泊松定理：假設當n時，那么有注：注：即np比較適中時，npekqpCkknkkn其中,!隨機變量隨機變量X的分布函數的分布函數,Rx定義：設定義：設X X為一隨機變量，為一隨機變量，的概率P(Xx)稱為隨機變量X的分布函數,F(x)=P (Xx).那么事件“X x記作,21時當xx ).()(12xFxF)(21xXxP注：注：分布函數分布函數F (x)的性質的性質且; 1)(0)2(x

8、F(1) F(x)(1) F(x)是非減函數是非減函數, , 即假設x1 x2, 那么);()(21xFxF(3)(3)離散隨機變量離散隨機變量X X，F (x)F (x)是右延續(xù)函數是右延續(xù)函數, ,延續(xù)隨機變量X，F(x)在(-,+ )處處延續(xù).即)()(limaFxFax; 1)(F; 0)(limxFx)(F)(limxFx事件“Xx當x-時是不能夠事件;事件“Xx當x+時是必然事件.定義定義. .假設隨機變量假設隨機變量X X的取值范圍是某個實數區(qū)間的取值范圍是某個實數區(qū)間I IIba,(,dxxfbXaPba)()(函數f (x)稱為延續(xù)隨機變量延續(xù)隨機變量和概率密度延續(xù)隨機變量和

9、概率密度且存在非負函數f (x)， 使得對于恣意有(有界或無界), 區(qū)間那么稱X為延續(xù)隨機變量;X的概率密度函數(probability density function),概率密度概率密度.簡稱; 0)(0 xXP1.延續(xù)隨機變量X任取確定值x0的概率等于0,即2. 假設X是延續(xù)隨機變量，那么對恣意x1, x2(x1x2)有.)(21xxdxxf注注:)(21xXxP)(21xXxP)(21xXxP)(21xXxP3.P(A)=0;AP(A)=1A20 20 規(guī)范性規(guī)范性概率密度的性質概率密度的性質; 0)(xf10 10 非負性非負性O)(xfx. 1)(dxxf設X是延續(xù)隨機變量,f(x

10、)為X的概率密度，那么延續(xù)延續(xù)X的密度函數與分布函數的關系的密度函數與分布函數的關系dttfxXPxFx)()()(設延續(xù)X的概率密度f (x)，那么其分布函數為且在f (x)的延續(xù)點x處，)()(xfxF定義：設隨機變量定義：設隨機變量X X的概率密度為的概率密度為., 0;,1)(其它bxaabxf那么稱X在區(qū)間a,b上服從均勻分布, ),(baUX其中a, b是分布的參數.均勻分布均勻分布 記作(1) (1) 均勻分布的定義均勻分布的定義x)(xfoabab1),(baUX設隨機變量clc注：均勻分布的等能夠特征注：均勻分布的等能夠特征其等能夠性的意義是：X落在區(qū)間a, b中恣意等長度的

11、子區(qū)間內的能夠性是一樣的. 或者說X落在a,b子區(qū)間內的概率僅依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關.)(lcXcPdxablcc1.abl現實上，對a, b上的任子區(qū)間c,c+l, 有其中指數分布指數分布 . 0, 0, 0,)(xxexfx. 0),(eX定義定義: : 設隨機變量設隨機變量X X的概率密度為的概率密度為那么稱X服從指數分布，是分布的參數.記作x)(xfo(1) (1) 指數分布的定義指數分布的定義 4.隨機效力系統(tǒng)中的效力時間；1.它常用于動物、電力設備和電子元件運用壽命；2.的通話時間；3.排隊時需求等待時間；2 2指數分布的運用指數分布的運用 指數分布在生存分析、可靠

12、性實際和排隊論中指數分布在生存分析、可靠性實際和排隊論中有廣泛的運用例如：有廣泛的運用例如：則則稱稱, ,y yx x, ,對對任任意意實實數數是是二二維維隨隨機機變變量量, ,設設),(YX.的的聯聯合合分分布布函函數數是是二二維維隨隨機機變變量量YX，yYxXPyxF，二維隨機變量的結合分布函數二維隨機變量的結合分布函數1定義定義2幾何意義幾何意義yo(x, y)(X, Y )的概率的無窮為落在以表示平面上的隨機點矩形區(qū)域內左下方頂點而位于該點yx,X,Yyx,F定義定義 假設假設X, YX, Y均為離散隨機變量，那么均為離散隨機變量，那么 (X,Y ) (X,Y ) 為二維離散隨機變量為

13、二維離散隨機變量, ,且且)1,2,(ji,y,YxXPpjiji則則稱稱) )的的所所有有可可能能取取值值為為( (X,Y), 2 , 1,(),( jiyxji二維離散隨機變量的結合概率分布二維離散隨機變量的結合概率分布合概率分布。合概率分布。)的聯合概率函數或聯)的聯合概率函數或聯為(為(X,YXYixxx21jyyy2111p21p1 ip12p22p2ipjp1jp2ijp其中其中滿滿足足：ijp);, 2 , 1,(, 0)1( jipij. 1)2(11 ijijp若若存存在在非非負負有平面上的任意區(qū)域使得對于函數RxOyyxf),(RdxdyyxfRYXP),(),(，為為二二

14、維維連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量則則稱稱),(YX.),(稱聯合概率密度)稱聯合概率密度)稱為聯合密度函數(簡稱為聯合密度函數(簡yxf二維延續(xù)隨機變量二維延續(xù)隨機變量 定義定義 設設X, YX, Y均為延續(xù)隨機變量，均為延續(xù)隨機變量， 結合概率密度的性質：結合概率密度的性質：;0),(10 yxf;1),(),(20 Fdxdyyxf)連續(xù)，則有)連續(xù)，則有在點(在點(若若另外，另外，yx,yx,f)( 設設 G 是平面上的一個區(qū)域，點是平面上的一個區(qū)域，點 ( X,Y )落在落在 G 內內 的概率為：的概率為： GdxdyyxfGYXP.),(),(這個公式非常重要！這個公式非常重要！).

15、,(),(2yxfyxyxF 邊緣分布邊緣分布()iP Xx(,)ijjP Xx Yyijjp ,jiijyYxXPp ， ，21 ji那么隨機變量那么隨機變量X的邊緣概率函數的邊緣概率函數為為二維隨機變量二維隨機變量X,YX,Y的結合概率函數為的結合概率函數為同理隨機變量同理隨機變量Y的邊緣概率函數為的邊緣概率函數為()jP Yy(,)ijiP Xx Yyijjippip離散隨機變量的邊緣分布離散隨機變量的邊緣分布表表示的邊緣分布也可以由下以及YX Y X 1y 2y jy ip 1x 11p 12p jp1 1p 2x 21p 22p jp2 2p ix 1 ip 2ip ijp ip j

16、p 1 p 2 p jp 延續(xù)隨機變量的邊緣分布延續(xù)隨機變量的邊緣分布),(),(yxfYX的聯合密度函數為二維連續(xù)型隨機變量 dyyxfxfX，的邊緣密度函數：的邊緣密度函數：隨機變量隨機變量X dxyxfyfY，的邊緣密度函數：的邊緣密度函數：隨機變量隨機變量Y注：邊緣分布可由結合分布獨一確定，但不能由邊注：邊緣分布可由結合分布獨一確定，但不能由邊 緣分布確定結合分布。緣分布確定結合分布。 求邊緣分布時如何確定積分區(qū)域及邊緣密度不求邊緣分布時如何確定積分區(qū)域及邊緣密度不為零的范圍。為零的范圍。 條件分布條件分布1. 二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量( X ,Y ) 的條件分布的條件分布

17、,jjiyYPyYxXP 1在在Y= yj 條件下條件下X 的條件概率函數的條件概率函數|jiyYxXP ,jijpp , 2 , 1 i, 2 , 1,| jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij2在在 X= xi 條件下條件下Y 的條件概率函數的條件概率函數)(),()|(|yfyxfyxfYYX 隨機變量隨機變量X X在在Y=yY=y的條件下的條件密度函數的條件下的條件密度函數注：條件密度函數的性質與普通密度函數類似)(),()|(|xfyxfxyfXXY隨機變量隨機變量Y Y在在X=xX=x的條件下的條件密度函數的條件下的條件密度函數2. 延續(xù)隨機變量的條件分布延續(xù)隨機變量的條件分布 ： (,)() ()ijijP Xx YyP Xx P Yy( ,)( )( )XYf x yfxfyijijppp即隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性解題步驟：解題步驟： ，的分布函數先求隨機變量函數zFYXgZZ, zFzfYXgZZZ的密度函數再求隨機變量函數,隨機變量函數的分布隨機變量函數的分布 知二維隨機變量知二維隨機變量X,Y的結合密度為的結合密度為 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元延續(xù)函數，欲求隨機變量是二元延續(xù)函數，欲求隨機