合金鋼的抗拉強(qiáng)度與鋼中含碳量的回歸分析

1、成績(jī)?cè)u(píng)定表學(xué)生姓名陳基政班級(jí)學(xué)號(hào)17專(zhuān)業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)課程設(shè)計(jì)題目合金鋼的抗拉強(qiáng)度與鋼中含碳量的回歸分析評(píng)語(yǔ)組長(zhǎng)簽字：成績(jī)?nèi)掌?0 年 月曰課程設(shè)計(jì)任務(wù)書(shū)學(xué)院理學(xué)院專(zhuān)業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)生姓名陳基政班級(jí)學(xué)號(hào)17課程設(shè)計(jì)題目合金鋼的抗拉強(qiáng)度與鋼中含碳量的回歸分析實(shí)踐教學(xué)要求與任務(wù)：通過(guò)該課程設(shè)計(jì)，使學(xué)生進(jìn)一步理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、理論和方法；初步掌握Excel統(tǒng)計(jì)工作表在隨機(jī)模擬中是應(yīng)用，MATLAB統(tǒng)計(jì)軟件包對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng) 計(jì)檢驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)分析；具備初步的運(yùn)用計(jì)算機(jī)完成數(shù)據(jù)處理的技能，使課堂中學(xué)習(xí)到理 論得到應(yīng)用。1 數(shù)據(jù)整理：收集數(shù)據(jù)，錄入數(shù)據(jù)，畫(huà)出相應(yīng)圖形；建立數(shù)學(xué)模型，數(shù)據(jù)的輸入 與整

2、理，各種數(shù)據(jù)的圖形顯示。2假設(shè)檢驗(yàn)：MATLAB繪制出直方圖，做數(shù)據(jù)分布的推測(cè)；參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢 驗(yàn)，繪制概率密度圖。3單因素、多因素方差分析：正態(tài)總體的方差分析冋題；MATLAB統(tǒng)計(jì)軟件中關(guān)于方差分析的相關(guān)命令，做出方差分析表，box圖，能對(duì)結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)單分析。4一元、多元線性回歸模型：回歸系數(shù)的估計(jì)與檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)散點(diǎn)與回歸直線的圖 示，殘差圖。運(yùn)用MATLAB統(tǒng)計(jì)軟件，對(duì)給定的數(shù)據(jù)擬合回歸方程。工作計(jì)劃與進(jìn)度安排：周三12節(jié)：選題，設(shè)計(jì)解決問(wèn)題方法周三38節(jié)：調(diào)試程序周四14節(jié)：完成論文，答辯指導(dǎo)教師：2012年6月28日專(zhuān)業(yè)負(fù)責(zé)人：2012年7月8日學(xué)院教學(xué)副院長(zhǎng)：2012年7月19日數(shù)理統(tǒng)

3、計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，而區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題在其中占 有很重要的地位。對(duì)于正態(tài)總體期望和方差的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題已有完備 的結(jié)論；對(duì)于非正態(tài)總體期望和方差的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，在大樣本的情況下，可利用中心極限定理轉(zhuǎn)化為正態(tài)總體來(lái)解決。 但實(shí)際問(wèn)題中常常碰到非正 態(tài)總體，而且是小樣本的情況，因此對(duì)它的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是一個(gè)值得研究 的問(wèn)題。本文利用概率綸與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的所學(xué)的回歸分析知識(shí)， 對(duì)小樣本常用小樣本 常用分布參數(shù)置信區(qū)間和線性相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，預(yù)測(cè)與監(jiān)控，進(jìn)行了深入研究，提出了小樣本常用分布參數(shù)的置信區(qū)間與線性相關(guān) 的顯著性檢驗(yàn)，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢

4、驗(yàn)，預(yù)測(cè)與監(jiān)控，的解決方法。本文利用小樣本情形的統(tǒng)計(jì)量法解決離散型的 0-1分布、二項(xiàng)分布以及連續(xù) 型的指數(shù)分布參數(shù)的置信區(qū)間與線性相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢 驗(yàn)，對(duì)于泊松分布的參數(shù)的置信區(qū)間與線性相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)則采用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析。 對(duì)于均勻分布，利用兩個(gè)參數(shù)的最大似然估計(jì) 求出聯(lián)合概率密度進(jìn)行求解。關(guān)鍵詞：方差分析；置信區(qū)間；線性相關(guān)；預(yù)測(cè)與監(jiān)控1設(shè)計(jì)目的 42設(shè)計(jì)問(wèn)題 43 設(shè)計(jì)原理 43.1 模型回歸系數(shù)的估計(jì) 53.2 回歸方程顯著性檢驗(yàn) 63.3 回歸系數(shù)的置信區(qū)間 73.4 利用模型預(yù)測(cè) 74 方法實(shí)現(xiàn) 84.1 輸入數(shù)據(jù)，觀察線性關(guān)系 84.

5、2 作回歸分析與檢驗(yàn) 84.3殘差分析 94.4 點(diǎn)預(yù)測(cè)及作圖 104.5 對(duì)含碳量X=0.15%進(jìn)行預(yù)測(cè) 114.6 下面用Excel “分析工具庫(kù)”提供的“回歸”工具，找出線性回歸方程,并檢驗(yàn)其顯著性 115.設(shè)計(jì)總結(jié) 15參考文獻(xiàn)15致謝161設(shè)計(jì)目的了解一元回歸方程，回歸系數(shù)的檢驗(yàn)方法及應(yīng)用一元回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)的方 法；學(xué)會(huì)應(yīng)用MATLAB件進(jìn)行一元回歸實(shí)驗(yàn)的分析方法。同時(shí)更好的了解概率 論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，熟練掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在實(shí)際問(wèn)題上的應(yīng)用，并將所學(xué)的知識(shí)結(jié)合Excel對(duì)數(shù)據(jù)的處理解決實(shí)際問(wèn)題。本設(shè)計(jì)是利用一元線性回歸理 論對(duì)合金鋼的抗拉強(qiáng)度與鋼中的碳含量的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，

6、并用Excel分析工具庫(kù)中的回歸分析軟件進(jìn)行解算。2設(shè)計(jì)問(wèn)題某種合金鋼的抗拉強(qiáng)度丫（N/mm2）與鋼中含碳量X（ %）有關(guān)，測(cè)得實(shí)驗(yàn)數(shù) 據(jù)如下：龍yiyi0.054080.134560.074170.144510.084190.164890.094280.185000.104020.205500.114360.225580.124480.246601.檢驗(yàn)合金鋼的抗拉強(qiáng)度 Y（N/mm2）與鋼中含碳量X（%）之間是否存在顯 著的線性相關(guān)關(guān)系；如果存在，求 丫關(guān)于X的線性回歸方程。2.設(shè)含碳量X=0.15%，求抗拉強(qiáng)度丫的置信水平為0.95的預(yù)測(cè)區(qū)間3設(shè)計(jì)原理在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)變量之間

7、的相關(guān)關(guān)系不是線性的（即直線型），而是非線性的（即曲線型）。設(shè)其中有兩個(gè)變量x與y，我們可以用一個(gè) 確定函數(shù)關(guān)系式： y 二 u（x）大致的描述y與x之間的相關(guān)關(guān)系，函數(shù)u（x）稱(chēng)為y關(guān)于x的回歸函數(shù)， 方程y二u（x）成為y關(guān)于x的回歸方程。一元線性回歸處理的是兩個(gè)變量 x與y之間的線性關(guān)系，可以設(shè)想 y的 值由兩部分構(gòu)成：一部分由自變量 x的線性影響所致，表示 x的線性函數(shù) a bx ；另一部分則由眾多其他因素，包括隨機(jī)因素的影響所致，這一部 分可以視為隨機(jī)誤差項(xiàng)，記為;?？傻靡辉€性回歸模型：y 二 a bx（i）式中，自變量x是可以控制的隨機(jī)變量，成為回歸變量；固定的未知參數(shù)a,b成為

8、回歸系數(shù)；y稱(chēng)為響應(yīng)變量或因變量。由于；是隨機(jī)誤差，根據(jù)中心極限2 2定理，通常假定； N（0，二），-是未知參數(shù)。確定y與x之間的關(guān)系前，可根據(jù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)或散點(diǎn)圖，選擇適當(dāng)?shù)那€回 歸方程，而這些方程往往可以化為線性方程或者就是線性方程， 因此我們可以用 線性方程：y = a bx大致描述變量y與x之間的關(guān)系；3.1 模型回歸系數(shù)的估計(jì)為了估計(jì)回歸系數(shù)，假定試驗(yàn)得到兩個(gè)變量x 與y 的n個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)（Xi,yi ）i =1,2,3n,我們將這n對(duì)觀測(cè)值代入式（1），得：yi 二 a bXi n，i 二 1,2,3, n這里；1, ；2,，；n互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均服從正態(tài)分布，即；N(0, ；2),

9、 i 二 1,2,3, n回歸系數(shù)估計(jì)的方法有多種，其中使用最廣泛的是最小二乘法，即要求選 取的a，b，的值使得述隨機(jī)誤差&的平方和達(dá)到最小，即求使得函數(shù)2-a - bXj取得最小值的a，b o由于Qa, b是a，b的二元函數(shù)，利用微積分中的函數(shù)存在極值的必要 條件，分別對(duì)Qa, b求a，b偏導(dǎo)數(shù)，并令其為o,構(gòu)成二元一次方程組:nZ (yi - a - bXi) = 0，i =0i =0Z (yi - a - bXi )Xi = 0，i =1化簡(jiǎn)后得到如下正規(guī)方程組:na (、Xi )b 八 yi,i Ji Jna(-i 二n2Xi )a(7 Xi )i 二解方程組得到總體參數(shù)a,

10、b估計(jì)量:a> = 1 7 y. W丄' Xin y | nXin、 Xi 一(、 Xi )這里，x.和yi(i =1,2 n)均已有的觀測(cè)數(shù)據(jù)。由此得到回歸方程：y? = a bX帶入觀測(cè)x.，得到值yi稱(chēng)為回歸預(yù)測(cè)值。方程的直線稱(chēng)為回歸直線。3.2 回歸方程顯著性檢驗(yàn)建立一元線性回歸方程當(dāng)且僅當(dāng)變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系時(shí)才是有意義 的，因此必須對(duì)變量之間的線性相關(guān)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，即對(duì)建立的回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。我們首先引入幾個(gè)概念：n(1) SSr二' (yi -y)2，稱(chēng)為SSr總偏差平方和，它表示觀測(cè)值 y總的i分散程度；n(2) SSf.二、(W -y)2，

11、稱(chēng)SSr為回歸平方和，它是由回歸變量 X的變i 7化引起的，放映了回歸變量X對(duì)變量y線性關(guān)系的密切程度；n(3) SS.=瓦(yi -y?)2，稱(chēng)sSe為殘差(剩余)平方和，它是由觀測(cè)誤i 7差等其他因素起誤差，它的值越小說(shuō)明回歸方程與原數(shù)據(jù)擬合越好。可以證明下列關(guān)系成立SS T = SS R SS Enn2'、(yi - y) = (y?i Ai Jn-y)2+z 5 - y?)2i我們主要考慮回歸平方和在總偏差和中所占的比重，記r2 = SS(0<=R<=1）,稱(chēng)R為復(fù)相關(guān)系數(shù)，用R的大小來(lái)評(píng)價(jià)模型的有效性，R越大，則反映回歸變 量與相應(yīng)變量之間的線性函數(shù)關(guān)系越密切。引

12、入F統(tǒng)計(jì)量。定義FSSE(n - 2)，可知 FF（ 1, n-2）.對(duì)于給定的顯著水平a（ 一般這里取0.05或0.01），查表可得臨界值Fa（ 1,n-2）如果F> F .（ 1,n-2）,則認(rèn)為y與x之間的線性關(guān)系顯著；如果 F<二F：（1,n-2），則認(rèn)為y與x之間的線性關(guān)系不顯著，或者不存在線性關(guān)系，在實(shí)際 應(yīng)用中也可以通過(guò)F對(duì)應(yīng)的概率Pu來(lái)說(shuō)明y與x之間的線性相關(guān)性顯著。3.3 回歸系數(shù)的置信區(qū)間AA回歸方程（1）的回歸系統(tǒng)a, b是一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值，給定置信水平1- 后，可 得到他們對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間，并且回歸區(qū)間越短越好，如果摸個(gè)回歸系數(shù)的置信區(qū) 間包含0點(diǎn)，則說(shuō)明該回歸變

13、量的影響不顯著， 需要進(jìn)一步地修改回歸方程，盡量是每個(gè)回歸系數(shù)的置信區(qū)間都不包含 0點(diǎn)。3.4 利用模型預(yù)測(cè)在對(duì)所建立的回歸模型進(jìn)行相關(guān)程度檢驗(yàn)與分析之后，如果預(yù)測(cè)變量y與相關(guān)變量x的每一個(gè)給定值x0，帶入回歸模型，就可以求得一個(gè)相對(duì)應(yīng)的回歸預(yù)AA測(cè)值y。，y稱(chēng)為模型的點(diǎn)估計(jì)值。4方法實(shí)現(xiàn)4.1輸入數(shù)據(jù)，觀察線性關(guān)系在命令窗口輸入:y=408 417 419 428 420 436 448 456 451 489 500 550 558 600x=0.05 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24plot(

14、x,y, '*')生成圖（1），可以看出x和y大體成線性關(guān)系6006606405205004804604404204000 040.060.090.10.120 140.1S0.180.20 220 24圖(1)散點(diǎn)圖(橫軸：X縱軸：Y)4.2作回歸分析與檢驗(yàn)在命令窗口輸入：n=len gth(y);x=on es( n,1),x'b,bi nt,r,ri nt,s=regress(y',x);b,bi nt,s輸出:b =1.0e+003 *0.33281.0165bint =1.0e+003 *0.30950.35610.85681.1761s =0.941

15、3192.47450.0000234.8459這個(gè)結(jié)果可整理成如表（1）的形式。表（1） MATLAB回歸分析結(jié)果表回歸系數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)值回歸系數(shù)置信區(qū)間B 0332.8309.5,356.1B 11.01650.8568,1.1761r2 0.9413 F=192.4745 p<234.8459一元回歸方程為：y =332.8 1.0165x從幾個(gè)方面都可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪怯行У?，所以X與Y的相關(guān)性顯著。4.3殘差分析殘差及其置信區(qū)間作圖代碼輸入：rcoplot（r,ri nt）結(jié)果如圖（2）所示：Residual Case Order Plot4e8101214Case Number504

16、030.M1OO10常-fflnp麗g理圖（2）殘差圖（橫軸：鋼中含碳量縱軸：殘差分析值）所謂殘差是指實(shí)際觀察值與回歸估計(jì)值的差，殘差分析就是通過(guò)殘差所提供的信息，分析出數(shù)據(jù)的可靠性、周期性或其它干擾。從殘差圖可以看出,數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，這說(shuō)明回歸模型y =332.8 1.0165x能很好的符合原始數(shù)據(jù)4.4 點(diǎn)預(yù)測(cè)及作圖在命令窗口輸入：Z=b+b（2）*xplot（x,y, 'k+',x,Z,'r'）輸出：如圖（3）圖（3）點(diǎn)預(yù)測(cè)4.5 對(duì)含碳量X=0.15%進(jìn)行預(yù)測(cè)在命令窗口輸入：y=408 417 419 428 420 4

17、36 448 456 451 489 500 550 558 600; x=0.05 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24;polytool(x,y,1,0.05)輸出：如圖（4）650GOOV VEdues5004003000 24a j 45CloseX Values0.060.D8D.12D.14D.160 180.2圖（4）散點(diǎn)圖及擬合曲線如圖所示，紅線表示為數(shù)據(jù)離合區(qū)間，藍(lán)色“ +”表示為數(shù)據(jù)散點(diǎn)分布，綠色表 示為擬合曲線。在含碳量 X=0.15%，抗拉強(qiáng)度丫的置信水平為0.95的預(yù)測(cè)區(qū)間 5

18、14.763,445.5662。4.6 下面用Excel “分析工具庫(kù)”提供的“回歸”工具，找出線性 回歸方程，并檢驗(yàn)其顯著性具體步驟如下：1在【數(shù)據(jù)】菜單中選中【數(shù)據(jù)分析】，則會(huì)彈出【數(shù)據(jù)分析】對(duì)話框，然 后“分析工具”中選擇“回歸”選項(xiàng)，如圖（5）所示。單擊【確定】后，則彈 出【回歸】對(duì)話框，如圖（6）所示。2填寫(xiě)【回歸】對(duì)話框。如圖（6）所示，該對(duì)話框的內(nèi)容較多，可以根據(jù) 需要，選擇相關(guān)項(xiàng)目。在“ X值輸入?yún)^(qū)域”內(nèi)輸入隊(duì)因變量數(shù)據(jù)區(qū)域的引用，該 區(qū)域必須有單列數(shù)據(jù)組成，如本題中組分 B;在“ 丫只輸入?yún)^(qū)域”輸入對(duì)自變量數(shù)據(jù)區(qū)域的引用，如本題中組分 A。“標(biāo)志”：如果輸入?yún)^(qū)域的第一行中包含

19、標(biāo) 志項(xiàng)，則選中此復(fù)選框，本題中的輸入?yún)^(qū)域包含標(biāo)志項(xiàng)； 如果在輸入?yún)^(qū)域中沒(méi)有 標(biāo)志項(xiàng)，則應(yīng)清楚此復(fù)選框，Excel將在輸出表中生成合適的數(shù)據(jù)標(biāo)志。"置信度”： 如果需要在匯總輸出表中包含附件的置信度信息，則選中此復(fù)選框，然后在右側(cè)的編輯框中，輸入所要使用的置信度。Excel默認(rèn)的置信度為95%，相當(dāng)于顯著性水平 a=0.05?！俺?shù)為 零”：如果要強(qiáng)制回歸線通過(guò)原點(diǎn)，則選中此復(fù)選框。“輸出選項(xiàng)”：選擇“輸 出區(qū)域”，在此輸出對(duì)輸出表左上角單元格的引用。3>“殘差”：如果需要以殘差輸出表形式查看殘差，貝誕中此復(fù)選框?！皹?biāo)準(zhǔn)殘差”：如果需要在殘差輸出表中包含標(biāo)準(zhǔn)殘差， 則選中此復(fù)選

20、框?！皻埐顖D” 如果需要生成一張圖表，繪制每個(gè)自變量及其殘差，則選中此復(fù)選框。“線性擬合圖”：如果需要為預(yù)測(cè)值和觀察值生成和觀測(cè)值生車(chē)一個(gè)圖表，則選中此復(fù) 選框。“正態(tài)概率圖”：如果需要繪制正態(tài)概率圖，則選中此復(fù)選框。圖（5） Excel數(shù)據(jù)分析工具圖（6）回歸分析工具界面回歸分析工具運(yùn)行結(jié)果:表（2）SUMMARY OUTPUT回歸統(tǒng)計(jì)Multiple0. 944845R Square0. 892733Adjusted0. 882981標(biāo)準(zhǔn)誤差0. 018729觀測(cè)值13表（2）中“Multiple R”是線性回歸的系數(shù)“R Square"是擬合系數(shù)“AdjustedR Squar

21、e"調(diào)整后的擬合系數(shù)。表（3）方差分析方差分析回歸分析df1SS0.032111MSQ32111F91.54752ni ficanc1.15E-065 F殘差110. 0038580.000351總計(jì)120, 035969表（4）回歸分析結(jié)果Coef fi cien-標(biāo)準(zhǔn)誤差t StatP-valueLovei- 95%Updei-限 9王 0止限 95. 0%Intercept -0. 202820.036363-5. 577550. 000166-0. 28285-0.12278-0.28285-0. 1227S40S CL 0007187. 51E-059.5680471. 1

22、5E-060. 0005530. 0008840.0005530. 0008B4RESIDUALOUTPUT觀測(cè)值預(yù)測(cè)0. 05殘差標(biāo)準(zhǔn)磯差10. 096726-0. 02673-1.4904720. 09S163-0. 01816-1. 012930. 104627-0. 01463-0. 8157640. 0988810.0011190. 0624145CL 110374CL 000377 0208660.1189940.0010060. 05610270. 1247<tl0, 0052590. 29330880. 1211490.0188511.05129790.1484450.0

23、115550. 644383100.1563470. 0236531.3190961161922630. 0077370. 431458120.198010. 021991.22635213CL 271279-0. 03128-1.74442表（5）回歸分析結(jié)果殘差與標(biāo)準(zhǔn)殘差408 Residual Plot0.05K °-100200300斗歡 300600 .700-0.05 -40&圖（7）用Excel處理數(shù)據(jù)得出的殘差分布圖系列1預(yù)測(cè)0.05圖（8）用Excel處理數(shù)據(jù)得出線性擬合圖根據(jù)運(yùn)行結(jié)果分析：由表3所知，若保留四位有效數(shù)字，該回歸方程的截距是332.8，斜率為

24、1.0165，所以回歸方程的表達(dá)式為：y= 332.8 1.0165x ;根據(jù)回歸統(tǒng)計(jì)結(jié)果，知 決定系數(shù)x=0.9409，即相關(guān)系數(shù)r=0.970，說(shuō)明自變量與因變量之間有較高的相 關(guān)性；根據(jù)方差分析的結(jié)果，F(xiàn)=91.5475，有效的F<0.01，所以建立的回歸方程 非常顯著。在表五中，除了列出了回歸系數(shù)，還有標(biāo)準(zhǔn)誤差等項(xiàng)目。其中“標(biāo)準(zhǔn)誤差”表示的事對(duì)應(yīng)回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，其中偏回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差?！皌 Stat ”就是t檢驗(yàn)時(shí)的統(tǒng)計(jì)量t ;如果多元線性回歸，則可直接根據(jù)“ t Stat ”的大小， 判斷因素的主次順序?！癙-value ”表示t檢驗(yàn)偏回歸系數(shù)不顯著的概率，如果 P-value<0.01，則可認(rèn)為該系數(shù)對(duì)應(yīng)的變量對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響非常顯著，如果 0.01< P-value <0.05,則可認(rèn)為該系數(shù)對(duì)應(yīng)的變量對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響顯著；對(duì)于常 數(shù)項(xiàng)，P-value則表示常數(shù)項(xiàng)為零的幾率。5.設(shè)計(jì)總結(jié)通過(guò)對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的這道實(shí)際問(wèn)題的解決，不僅使我更加深刻的理解了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，而且使我對(duì)這些知識(shí)在實(shí)際中的應(yīng)用產(chǎn)生了濃 厚