構(gòu)造全等三角形種常用方法

1、構(gòu)造全等三角形種常用方法在證明兩個三角形全等時，選擇三角形全等的五種方法 （“SSS” , “SAS” , “ASA ” , “ AAS ” ,“HL”）中，至少有一組相等的邊， 因此在應(yīng)用時要養(yǎng)成先找邊的習(xí)慣。如果選擇找到了一組對應(yīng)邊，再找第二組條件，若找到一組對應(yīng)邊則再找這兩邊的夾角用“SAS ”或再找第三組對應(yīng)邊用“ SSS”；若找到一組角則需找另一組角（可能用“ASA ”或“ AAS ”）或夾這個角的另一組對應(yīng)邊用“SAS”；若是判定兩個直角三角形全等則優(yōu)先考慮“HL”。上述可歸納為：S |s（用 SSS'A（用 SAS）SS（用 SAS） 認(rèn)用 AAS或 ASA）搞清了全等三

2、角形的證題思路后，還要注意一些較難的一些證明問題，只要構(gòu)造合適的全等三角 形，把條件相對集中起來，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了下面舉例說明幾種常見的構(gòu)造方法,圖（1）供同學(xué)們參考.1截長補(bǔ)短法例1.如圖（1）已知：正方形 ABCD中，/ BAC的平分線交 BC于E,求證：AB+BE=AC .解法（一）（補(bǔ)短法或補(bǔ)全法）延長AB至F使AF=AC ,由已知 AEF AEC ,/ F= / ACE=45o, BF=BE , AB+BE=AB+BF=AF=AC解法（二）（截長法或分割法 ）在AC上截取AG=AB，由已知 ABE AGE , EG=BE, / AGE= / ABE, v/ ACE=4

3、5o, CG=EG, AB+BE=AG+CG=AC .2 .平行線法（或平移法）若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線，對Rt ，有時可作出斜邊的中線.例 2. ABC 中，/ BAC=60 ° , / C=40 ° AP 平分/ BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q,證明：如圖（1）,過 O 作 0D / BC 交 AB 于 D, / ADO= / ABC求證：AB+BP=BQ+AQ=180 ° - 60° 40° =80。，又V/ AQO= / C+ / QBC=80 ° / ADO= / AQ

4、O，又 V/ DAO= / QAO , OA=AO , ADO AQO , OD=OQ , AD=AQ，又 v OD / BP, / PBO= / DOB，又 v/ PBO= / DBO，/ DBO= / DOB , BD=OD , AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ .說明：本題也可以在 AB截取AD=AQ，連OD , 構(gòu)造全等三角形，即“截長補(bǔ)短法”.本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下： 如圖（2）,過 O作OD / BC交AC于D,則厶ADO ABO來解決.如圖（3）,過O作DE / BC交AB于D,交 AC 于 E,UA ADO AQO , ABO AEO

5、來解決.O 如圖（4）,過P作PD / BQ交AB的延長線于 D , 則厶APD APC來解決. 如圖（5）,過P作PD / BQ交AC于D,則厶ABP ADP來解決.（本題作平行線的方法還很多，感興趣的同學(xué)自己研究）.B p圖（5）Z/ffl P 4）D3 .旋轉(zhuǎn)法對題目中出現(xiàn)有一個公共端點(diǎn)的相等線段時，可試用旋轉(zhuǎn)方法構(gòu)造全等三角形。圖3例3如圖3所示，已知點(diǎn)E、F分別在正方形 ABCD的邊BC與CD上，并且 AF平分.EAD，求證：BE DF =AE。分析：本題要證的BE和DF不在同一條直線上，因而要設(shè)法將 它們“組合”到一起。可將 CADF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90至L ABG，則ADF也 ABG

6、, BE = DF，從而將BE BG轉(zhuǎn)化為線段 GE , 再進(jìn)一步證明GE =AE即可。證明略。4 倍長中線法題中條件若有中線，可延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內(nèi)。 例4.如圖（7） AD是厶ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=BE .求證：AC=BF證明：延長 AD至H使DH=AD，連BH , v BD=CD , / BDH= / ADC , DH=DA , BDH CDA , BH=CA / H= / DAC，又 v AE=EF , / DAC= / AFE ,vZ AFE= / BFD，/ AFE= / BFD= / DAC= / H , BF=

7、BH - AC=BF .5.翻折法沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來構(gòu)造全等三角形.BD=3 DC=2若題設(shè)中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對稱性質(zhì)，例5.如圖（8）已知：在厶 ABC中，/ A=45o, AD丄BC, 求： ABC的面積.解：以AB為軸將 ABD翻轉(zhuǎn)1800,得到與它全等 的厶ABE，以AC為軸將 ADC翻轉(zhuǎn)1800,得到 與它全等的 AFC , EB、FC延長線交于 G,易證 四邊形AEGF是正方形，設(shè)它的邊長為 X,貝U BG2 2 2=x 3, CG=x 2,在 Rt BGC 中，(x-3)+ (x-2)=51圖（8）解得 x=6，貝U AD=6 , SA ABC=X5 X6=1

8、5.2練習(xí)：圖（6）例3.已知：如圖（6）, P為厶ABC內(nèi)一點(diǎn)，且 PA=3 , 求/ APB的度數(shù).分析：直接求/ APB的度數(shù)，不易求，由 PA=3 , PB=4, 聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形.略解：將厶BAP繞A點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn) 60°至厶ACD , 則厶 BAP ADC , DC=BP=4 , v AP=AD，/ PAD=60 ° 又 PC=5, PD2 +DC2 =PC2 PDC 為 Rt , / PDC=90o./ APB= / ADC= / ADP+ / PDC=60 ° +90o=150o.1、平移法構(gòu)造全等三角形例1 如圖1所示，四邊形 ABCD中，

9、AC平分.DAB，若AB AD , DC = BC，求證:分析：利用角平分線構(gòu)造三角形， 將.D轉(zhuǎn)移到.AEC ,而.AEC與.CEB互補(bǔ)，.CEB, 從而證得.B . D =180。主要方法是：“線、角進(jìn)行轉(zhuǎn)移”。圖1證明：在AB上截取AE = AD ,在ADC與AEC中，A D= A EID A C= / E A C|a c= a c:ADC 也 AEC ( SAS)D "AEC , DC =CE ,/ DC 二 BC , CE 二 BC ,.CEB "B,.CEB . AEC =180 ,B D =180 .2、翻折法構(gòu)造全等三角形例2 如圖2所示，已知.'A

10、BC中，AC=BC , ACB =90 , BD平分.ABC，求證:AB =BC CD。證明：v BD平分.ABC，將 BCD沿BD翻折后，點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)E，則有BE = CE ,在BCD與 BED中，B C= B EC B D= / E B DB D= B D:BCD s :BED (SAS).DEA ACB =90 ,CD =DE ,已知:ABC 中，AC 二 BC , . ACB =90 ,.A = 45 ,.EDA = . A = 45 ,DE = EA ,AB =BE EA =BC CD 。3、旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形例3如圖3所示，已知點(diǎn)E、F分別在正方形 ABCD的邊BC與CD上

11、，并且 AF平分.EAD，求證：BE DF =AE。分析：本題要證的BE和DF不在同一條直線上，因而要設(shè)法將 它們“組合”到一起?？蓪?UADF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90到 ABG，貝UADF s ；ABG , BE = DF，從而將BE BG轉(zhuǎn)化為線段GE , 再進(jìn)一步證明GE =AE即可。證明略。4、延長法構(gòu)造全等三角形例4如圖4所示，在 ABC中，.ACB =2. B ,NBAD =NDAC，求證：AB =AC +CD。分析：證明一條線段等于另兩條線段之和，常用的方法是延長 一條短線段使其等于長線段，再證明延長部分與另一短線段相等即 可；或者在長線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下部分等 于另一條短線段。 本題可延長 AC至E，使AE二AB ，構(gòu)造. ABD圖3s . AED，然后證明CE =CD，就可得 A