圓錐曲線的綜合問題詳細解析版

1、圓錐曲線的綜合問題（一）最新考綱 1.掌握解決直線與橢圓、 拋物線的位置關(guān)系的思想方法；2. 了解圓錐曲線的簡單應用；3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.1. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線 C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程Ax + By + C= 0（A, B不同時 為0）代入圓錐曲線 C的方程F（x,y）= 0,消去y（也可以消去x）得到一個關(guān)于變量 x（或變量 y）的一元方程，Ax + By + C = 0 ,即消去 y,得 ax2 + bx + c = 0.F （x, y）= 0（1）當a豐0時，設一元二次方程 ax2 + bx + c= 0的判別式為A,則A>0?直線與圓錐

2、曲線 C 相交；A= 0?直線與圓錐曲線C相切Av 0?直線與圓錐曲線C相離.當a = 0 , b工0時，即得到一個一次方程，則直線 l與圓錐曲線 C相交，且只有一個交 點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行 C為拋物線， 則直線I與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合 .2. 圓錐曲線的弦長 設斜率為k（k豐0）的直線I與圓錐曲線 C相交于A, B兩點，A（xi, yi）, B（X2, y2），則| AB| =1 + k2| xi -X2|=1 + k2 、(X+ x2)2 4xx?-例題精講（考點分析）考點一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2 2x y【例1】 在平面直角

3、坐標系 xOy中，已知橢圓Ci:孑+ = 1(a >b >°)的左焦點為Fi(1 , °)，且點 P(0, 1)在 Ci 上.(1)求橢圓Ci的方程；設直線I同時與橢圓C1和拋物線C2: y2 = 4x相切，求直線I的方程.解(1)橢圓C1的左焦點為F1( 1 , °) , c = 1 ,又點P(°, 1)在曲線C1上，° 1石 +二=1，得 b = 1，貝V a2 = b2 + c2= 2 ,a b2x 2所以橢圓C1的方程為2+y2 = 1.(2)由題意可知，直線I的斜率顯然存在且不等于°，設直線I的方程為y = kx

4、 + m,消去 y，得(1 + 2k2)x2 + 4kmx + 2m2 2 = °.y = kx + m因為直線I與橢圓C1相切，所以 = 16k2m2 4(1 + 2k2)(2m2 2) = °.整理得2 k2 m2 + 1 = °.2y = 4x,由消去 y，得 k2x2 + (2km 4)x + m2 = °.y = kx + m因為直線I與拋物線C2相切, 所以 = (2km 4)2 4k2m2 = ° ,整理得 km = 1.2 2k = 2 , k = 2 ,綜合,所以直線解得2 或2m =2 m = 2.I 的方程為 y = 2x

5、 +2或 y = 2.規(guī)律方法研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時,般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個數(shù)，消元后，應注意討論含x2項的系數(shù)是否為零的情況，以及判別式的應用.但對于選擇、填空題要充分利用幾何條件，用數(shù)形結(jié)合的方法求解【訓練1】 在平面直角坐標系 xOy中，點M到點F(1 , 0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1. 記點M的軌跡為C.(1) 求軌跡C的方程；(2) 設斜率為k的直線I過定點P 2 , 1)，若直線I與軌跡C恰好有一個公共點，求實數(shù) k 的取值范圍 解設點M(x , y)，依題意| MF| = | x| + 1 ,(x 1 ) 2 + y2 = | x| +

6、1，化簡得 y2 = 2(| x| + x),4x (x >0 ),故軌跡C的方程為y2 = 0 (x v 0).在點 M 的軌跡 C 中，記 C1: y2 = 4x(x>0); C2: y = 0(xv 0).依題意，可設直線I的方程為y 1 = k(x + 2).y 1 = k (x + 2),由方程組 2y = 4x,可得 ky2 4y+ 4(2 k + 1) = 0.1當k = 0時，此時y = 1.把y = 1代入軌跡C的方程，得x =-.41故此時直線I: y= 1與軌跡C恰好有一個公共點 4，1當 k 工0 時，方程的 A= 16(2 k2 + k 1) = 16(2

7、 k 1)(k +1)， 設直線I與x軸的交點為(xo, 0)，貝U2 k +1由 y 1 = k(x + 2)，令 y = 0，得 X。=.Av 0 ,1(i )若由解得k v 1，或k >-.X0 v 0 ,2所以當kv 1或k> 1時，直線I與曲線C1沒有公共點，與曲線 C2有一個公共點，故此時直線I與軌跡C恰好有一個公共點.2k2 + k 1 = 0 ,A= 0 ,(ii )若即2k + 1解集為？.xo > 0 ,v 0 ,k綜上可知，當k v 1或k>扌或k = 0時，直線I與軌跡C恰好有一個公共點考點二弦長問題2 2x y【例2】(2016 四川卷)已知橢

8、圓E : 2 + 2 = 1(a>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是a b直角三角形的三個頂點，直線I： y = x + 3與橢圓E有且只有一個公共點 T.(1)求橢圓E的方程及點T的坐標;(2)設0是坐標原點，直線I'平行于0T,與橢圓E交于不同的兩點 A, B，且與直線I交于點P證明：存在常數(shù) 入使得| PT| 2 3 =入PA| | PB|，并求入的值.(1)解由已知,2a=2b,則橢圓E的方程為x22b勺十 = 1.2“每=1,由方程組 2b' b '得 3x2 12x + (18 2b2) = 0y= x + 3,方程的判別式為A= 24( b2

9、 3)，由A= 0,得b2 = 3 ,此時方程的解為 x= 2 ,所以橢圓E的方程為2 2x y6十3 = 1點T的坐標為(2 , 1).(2)證明由已知可設直線1的方程為 y=+ m(m豐0),1由方程組y_ 2x十m，可得2mX = 2 丁，2my=1+T2 m所以P點坐標為2 丁, 1 + 32mIPT|2 = |m2.x2設點A, B的坐標分別為A(X1, yi), B(X2, y2).-+必=16十3，由方程組可得3x4m4m 12由得 X1 十X2 = 丁 , X1X2 =3十4mx十(4m2 12) = 0.1y=_x 十 m,方程的判別式為 A= 16(9 2 m2),3込由

10、A>0 ,解得一2 <m<-/2m2-+ 3 yi所以 | PA| = . ：' 2 3 xi +2m2 xi3同理|PB|22m2 X23所以 | PA| | PB|2 m2 xi32 m2 X2352m 22m=4 2 3 2 丁 (Xi + X2)+ X1X252m 22m4m 4m2 12= 2 一 2 +43333104°故存在常數(shù)山-，使得|PT|2 iPA| |PB|.規(guī)律方法 有關(guān)圓錐曲線弦長問題的求解方法:涉及弦長的問題中，應熟練的利用根與系數(shù)關(guān)系、設而不求法計算弦長； 往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題， 的定

11、義求解.X2 y2廠1【訓練2】 已知橢圓+ 2 = 1(a>b>0)經(jīng)過點(0, 3)，離心率為, a bw2涉及垂直關(guān)系時也可考慮用圓錐曲線左、右焦點分別為F1( c, 0), F2(c, 0).(1)求橢圓的方程；1若直線I: y = 2X + m與橢圓交于 A, B兩點，與以F1F2為直徑的圓交于C, D兩點，且滿足I AB|I CDI求直線l的方程.解(1)由題設知解得 a = 2 , b = ：3, c= 1 ,橢圓的方程為x2由(1)知，以F1F2為直徑的圓的方程為x2 + y2 = 1 , I CD| = 2 1 d2 = 241 - m54m2.圓心到直線1的距離

12、d = 21 m|，由d v 1，得| m| vf.(*)設 A(xi, yi), B(X2, y2),1y=尹+m ,由 2 2得 X mx + m 3 = 0 ,x y “+= 1,4 3由根與系數(shù)關(guān)系可得 xi + X2 = m , xiX2 = m2 3.| AB | =1 +1 2-m2 4 (m2 3)2154 |AB| 口 / 曰由顧=4 ，得54-m 2 = 1，解得 m = ±半，滿足(*)直線1的方程為y=考點三中點弦問題2 2【例3】(1)已知橢圓E : a + b = 1(a > b >0)的右焦點為F(3 , 0)，過點F的直線交E于A, B兩點

13、.若AB的中點坐標為(1 , 1)，貝U E的方程為()xA. +45362 2x y B. += 136272 2x yC. += 1718X2D.18已知雙曲線x2 = 1上存在兩點 M , N關(guān)于直線y = x+ m對稱，且 MN的中點在拋3物線y2 = 18 x上，則實數(shù)m的值為解析 (1)因為直線AB過點F(3 , 0)和點(1 , 1),所以直線AB的方程為y =如3)，代入橢圓方程 牛+ £a2232 = 1 消去 y，得+ b x2 §a2x92 2 2+ a a b = O ,4所以AB的中點的橫坐標為2a2吾=1,即 a2 = 2 b2,又 a2 = b

14、2 + c2，所以 b = c = 3, a = 32，選 D.(2)設 M(xi, yi), N(X2, y2), MN 的中點 P(xo, yo),2 y2xi 7- = i ,xi + X2 = 2x0,yi + y = 2yo,1由一得 (X2 xi)(x2 + xi)= 3(y2 yi)(y2 + yi),y2 y i y2 + y iyo顯然 xi 豐 X2.= 3，即 k mn =3 ,X2 xi X2 + xixot M , N 關(guān)于直線 y = x + m 對稱， kMN = i ,m3m yo = 3xo.又Tyo = xo + m, P ,92m代入拋物線方程得 m =

15、i8 ,i64解得m = 0或8，經(jīng)檢驗都符合.答案(i)D (2)o 或一8規(guī)律方法處理中點弦問題常用的求解方法(i)點差法：即設出弦的兩端點坐標后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有xi +y i y2X2, yi + y2,三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可xi X2求得斜率.根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后，由根與系數(shù)的關(guān)系求解.【訓練3】 設拋物線過定點 A( i , 0)，且以直線x = i為準線.(1)求拋物線頂點的軌跡 C的方程;(2)若直線l與軌跡C交于不同的兩點M ,1N，且線段MN恰被直線x = 平

16、分，設弦 MN的垂直平分線的方程為y = kx + m，試求m的取值范圍.解(1)設拋物線頂點為P(x, y),則焦點F(2x- 1 , y).再根據(jù)拋物線的定義得| AF| = 2，即(2x)2 + y2 = 4 ,所以軌跡C的方程為2X2 + y- = 1.4設弦MN的中點為1P 2, yo , M(xm , yM), N(xn, yN)，則由點 M , N 為橢圓 C 上的2 24xm + yM = 4 , 可知 224xn + yN= 4.兩式相減，得4(xm xn)(xm + xn) + (yM yN)(yM + yN)= 0,1將 xm + xn= 2 x = 1 , yM + y

17、N = 2yo,yM yN 1yoX= k代入上式得k =-又點1P , yo在弦MN的垂直平分線上,所以1yo=尹所以13m = yo + k = yo.由點1 1P 2, yo在線段BB '上(B ', B為直線x = 2與橢圓的交點,如圖所示)，所以yB，vyo<yB,也即一vyov ：3.所以一< m v，且m工o.44基礎過關(guān)1.過拋物線y2 = 2X的焦點作一條直線與拋物線交于A, B兩點，它們的橫坐標之和等于 2 ,則這樣的直線（）A.有且只有一條B.有且只有兩條C.有且只有三條D.有且只有四條解析通徑2p = 2，又| AB| = xi + X2 +

18、 p| AB| = 3 > 2p，故這樣的直線有且只有兩條.2.直線x2y = ax + 3與雙曲線孑-2y= 1(a > 0 ,b > 0）的交點個數(shù)是（A.1B.2C.1 或 2D.0bb解析因為直線y=ax+3與雙曲線的漸近線y = _x平行，3 a所以它與雙曲線只有1個交點答案A2x 23.經(jīng)過橢圓2 + y2 = 1的一個焦點作傾斜角為 45 °的直線l,交橢圓于A, B兩點，設O為坐標原點，則OA OB等于（）A. 3B.1C. 3 或33D. 土 解析 依題意，當直線l經(jīng)過橢圓的右焦點（1 , 0）時，其方程為y 0 = tan 45 ° （

19、x 1），即y = x 1，代入橢圓方程2x 22 + y = 1并整理得3x2 4x = 0,解得x = 0或x = 4，所以兩個3交點坐標分別為（0 ,1),3，3， OA OB = 1，同理，直線I經(jīng)過橢圓的左焦點時,答案 B也可得OA OB =-.3答案 B4. 拋物線y = x2到直線x y 2 = 0的最短距離為（）A. .27 . 2B. 8C.225 . 2 D.-6解析 設拋物線上一點的坐標為（x , y）,則d =d i -墮min8答案 B5. （2017 石家莊調(diào)研）橢圓ax 2 C : * + 話=1(a > b>0), + by2 = 1與直線y = 1

20、 x| x y 2| x2 + x 2|2交于A, B兩點，過原點與線段ab中點的直線的斜率為 F，則a的值為（）A.C.D.2 , 3272 b解析 設 A(X1, y) B(X2, y2),線段 AB 中點 M (x。, y。).由題設koM =上2 2ax 1 + by 1 = 1 , ax2 + by2 = 1 ,xo(y2 + y1)( y2 y1) (X2 + X1 )( X2 X1 )y2 y1y2 + y12yo 3又= 1 , = _ = _X2 X1X2 + X12xo 2a所以=.32答案 A6已知橢圓F（ 2 , 0）為其右焦點，過F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦

21、長為 2.則橢圓C的方程為 .c= 2,b2a =2,x2y2解析 由題意得 =1 , 解得-橢圓C的方程為丁 +匚=1.ab = V 2 ,42a2 = b2 + c2,x2 y2答案4+2 =17. 已知拋物線 y= ax2（a > 0）的焦點到準線的距離為2，則直線y = x+ 1截拋物線所得的弦長等于1 1解析由題設知p = 2，a =2 a4拋物線方程為y = 1x2，焦點為F(0, 1)，準線為y= 1.4聯(lián)立y = /，消去X,y=x +1,整理得y2 6y + 1 = 0, yi + y = 6,直線過焦點 F,所得弦 | AB| =| AF| + | BF | = yi

22、 + 1 + y + 1 = 8.答案 82 2x y8. 過橢圓石+ 4 = 1內(nèi)一點P(3 , 1)，且被這點平分的弦所在直線的方程是 解析 設直線與橢圓交于 A(x1, y1), B(x2, y2)兩點,由于A, B兩點均在橢圓上,x2 y2故石+4 =1，2 2X2 y2+ = 1164兩式相減得(X1+X2)(X1X2)16(y1 + y2)( y1 y)4=0.又 P 是 A, B 的中點， X1 + X2 = 6 , y1 + y2 = 2,y1 y23k AB =.X1 X243直線AB的方程為y 1 = -4(x - 3).即 3x + 4y 13 = 0.答案 3x + 4

23、y 13 = 0三、解答題2 2x y9設F1, F2分別是橢圓E：+ 2 = 1(a>b >0)的左、右焦點，過 F1且斜率為1的直線Ia b與E相交于A, B兩點，且| AF2| , |AB|BF2|成等差數(shù)列(1)求E的離心率；設點P(0， 1)滿足| PA| = | PB|，求E的方程.解 由橢圓定義知|AF2| +1 BF2| + |AB| = 4a,4又 2| AB | = | AF2| + | BF2|，得 | AB | = 3a,3l的方程為y = x+ c,其中c = -'a2 b2.設A(xi, yi), B(x2, y2),則A, B兩點的坐標滿足方程

24、組y = x + c,2 2x y d 亍 + b1 =1, a b消去y，化簡得(a2+ b2)x2 + 2a2cx + a2(c2 b2) = 0,則 xi + X2 =2a2ca2 + b2,a2 (c2 b2) xix2 =齊廠因為直線 AB 的斜率為 1，所以 |AB| = ''2| X2 xi| = ；'2 ( xi + X2) 2 4xiX2,即 3a =34ab2a2 + b故 a2 = 2b2,所以E的離心率設AB的中點為N(xo, yo)，由(1)知xi + X2xo =2a c 2cca=虧,yo = xo + c= 3.由I PA| = | PB

25、|，得 kPN= 1，即= 1 ,Xo得 c= 3，從而 a = 3 '2 , b = 3.x2 y2故橢圓E的方程為77+：= 1.1892 2x y10. 已知橢圓C :孑+ b= 1(a>b>0)的一個頂點為 A(2 , 0)，離心率 y2為丁.直線y = k(x 1)與橢圓C交于不同的兩點 M , N.(1)求橢圓C的方程；(2)當厶AMN的面積為；10時，求k的值.解(1)由題意得22,2a = b + c .2 2lx y解得b = '2，所以橢圓C的方程為4 + ； = 1.y= k (x 1),由 X2 y2得(1 + 2k2)x2 4k2x + 2

26、k2 4 = 0.4+2= +2k2=寸，解得k =，設點M , N的坐標分別為(X1, y) (X2, y2).則 yi = k(xi 1), y2 = k(x2 1),4k22 k2 4X1 + X2 =2, X1X2 =2,1 + 2k2'1 + 2k2'所以 | MN | = , (X2 X1) 2 +( y2 y1) 2=,(1 + k2) (X1 + X2) 2 4X1X22(1 + k2)( 4 + 6k2)1 + 2 k2又因為點A(2 , 0)到直線y = k(x 1)的距離d =嚴鼻,1 + k1所以 AMN的面積為S= 21 MN | d|k| ：4 +

27、6k21 + 2k2，由| k| .;4 + 6k2.'10± 1.能力提高2 2F1, F2，過F1的直線l交橢圓于A,x y11. 已知橢圓：+ 2 = 1(0 v b v 2)的左、右焦點分別為4 bB兩點，若| BF2| + | AF2|的最大值為5，則b的值是()A.1B. 2C.2解析由橢圓的方程,可知長半軸長為a = 2,由橢圓的定義,可知 | AF2| + | BF2| + | AB|=4a = 8,所以 | AB| = 8 (| AF2| + | BF2|) > 3.由橢圓的性質(zhì)，可知過橢圓焦點的弦中，通徑最短，即2b2=3，可求得b2 = 3 ,a即

28、 b = "J 3.答案 D解析如圖所示，設 P(x°, y°)(y0>0)，則 y = 2px°,解之得P + x°口,yo，且y =亍.直線OMy'y02p的斜率k =xy02 pp + y0l 2p y 32p2y°> 2、：2p，當且僅當 y = ；2p時取等號12. (2016 四川卷 股O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線 y = 2px(p>0)上任意一點,M是線段PF上的點，且| PM| = 2| MF|，則直線OM的斜率的最大值是()D.1即 x0 = 2p-設 M(xy'),由 PM = 2MIF ,p ,X。= 2 x , -yo = 2 (0 -y，), k三十=¥，貝y k的最大值為22p 22答案 C13. 設拋物線y2 = 8x的焦點為F，準線為I, P為拋物線上一點，PA丄l, A為垂足.如果直