數(shù)列問(wèn)題中數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)

1、數(shù)列問(wèn)題中數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)集團(tuán)檔案編碼：YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)列問(wèn)題中的體現(xiàn)摘要：從課程U標(biāo)出發(fā)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的形象特點(diǎn)，逐步訓(xùn)練學(xué) 生的抽象思維，引導(dǎo)學(xué)生用對(duì)立統(tǒng)一的觀(guān)點(diǎn)來(lái)全面的認(rèn)識(shí)客觀(guān)事物的運(yùn)動(dòng)、變化和 發(fā)展，幫助他們初步形成辯證唯物主義世界觀(guān).關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)形結(jié)合；對(duì)立統(tǒng)一；對(duì)于數(shù)列問(wèn)題，人們習(xí)慣用代數(shù)的思維方式和方法解決但是，如果將數(shù)形結(jié) 合的數(shù)學(xué)思想滲透到數(shù)列問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和方法看待和解決數(shù)列問(wèn) 題，往往會(huì)有事半功倍的效果.高中數(shù)學(xué)教材中對(duì)數(shù)列的本質(zhì)有如下描述：數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集f (或

2、它的有限子集1, 2, 3,， n)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項(xiàng)公式也 就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.既然數(shù)列可以看作一列函數(shù)值，那么數(shù)列就可以用圖象來(lái)表示，顯然，數(shù)列的 圖象是一群孤立的點(diǎn)對(duì)于等差數(shù)列，因?yàn)槠渫?xiàng)公式a=ai+(n-l)d=dn-(ard),即 弘是n的一次函數(shù)，所以，等差數(shù)列的圖象是分布在直線(xiàn)y=dx+(a-d)上的一群孤 立的點(diǎn)，并且，當(dāng)d0時(shí)，y=dx+(a-d)是增函數(shù),當(dāng)d<0時(shí),y=dx+ (ax-d)是減函 數(shù)利用這些觀(guān)點(diǎn)解決某些數(shù)列問(wèn)題，既快捷乂直觀(guān).例1.在等差數(shù)列%中，a；>0,且3as=5ai3,則中最大的是()分析

3、：由3雖，得瓷嗚，乂 6>0,U數(shù)列遞減,如圖1，設(shè)AB二x,由相似三角形得，二=£，得x=7. 5,所以比的圖象所在直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)x + 55為(20.5, 0),顯然S中最大的是.教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的形象特點(diǎn)，使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題盡可能地形象化，逐步訓(xùn)例2.已知數(shù)列%中，a：=15, 3an-i=3an-2,則該數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的乘積為負(fù)的項(xiàng) 是()AQn和比：和Q.23C.比3和a：iD.如|和分析:ill 3an-i=3aa-2 得，aa.：an= - ,所以公差 d二-呂，如圖 2,2彳=丄9x=22. 5,所以,比的圖象 x.ABAD _ BC15所在直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為(

4、23. 5,0)，故選C.例3.已知等差數(shù)列弘中，第r項(xiàng)的值為 s,第s項(xiàng)的值為r (r<s)，求第r+s項(xiàng)的值分析：如圖3,曲已知，A (r,s)、B(s, r) (r<s)為的圖象上兩點(diǎn)，所以，公差d二-1, ADE=CA=r,所以 二 0例4.若%是等差數(shù)列，首項(xiàng)60, &2003&：001/>0, a：oo3?a2ooXO,貝U使 lid 11 項(xiàng)和 Sr.>0 成立 的最大自然數(shù)n是()A. 4005B. 4006C. 4007D.4008分析：由已知， 比003>-比0010,所以9 da的 圖象所在直線(xiàn)與X軸的交 點(diǎn)在(2003. 5

5、, 2004) 內(nèi)，由圖4易知， S啦>0, S伽0,故選B.在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要 有意識(shí)地溝通數(shù)與形之間 的關(guān)系，幫助學(xué)生逐步樹(shù) 立起數(shù)形結(jié)合的觀(guān)點(diǎn)，并 使這一觀(guān)點(diǎn)扎根到學(xué)生的 認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，成為運(yùn)用自如的思想觀(guān)念和思維工具.不僅如此，對(duì)于等差數(shù)列來(lái)說(shuō)，由于其前 n 項(xiàng)和 SB=nai+ y n(nl) d= y n3+ (aiy)n,即 SB 是n的二次函數(shù)，且缺常數(shù)項(xiàng).所以S勺圖象 是分布在拋物線(xiàn)y二夕+6-壬)x上的一群孤 立的點(diǎn)，并且當(dāng)d>0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，當(dāng) d0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下同樣，在這樣的觀(guān) 點(diǎn)下，許多數(shù)列問(wèn)題也可得到非常形象的解法.例5設(shè)%是等差數(shù)列,公差為d

6、, %是 其前n項(xiàng)的和,且S©, SfS” S；>%則下列 結(jié)論錯(cuò)誤的是()Ad<0B a7=0C. S9>S5D. S6與S：與均為Q的最大值056789n圖5分析:lllSs<S6, Se=S7, S；>Ss,知的圖象所在拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，乂山S“ =爭(zhēng)+(4 -訓(xùn),知d<0,如圖5,顯然a；=0, S9<Ss=S5, S&與S：與均為S.的最大值.例6.在等差數(shù)列%中,若Se So=m (n>m),求的值.分析：由已知,A (m, n) % B (n, m) 是s圖象上的兩點(diǎn)，顯然，這兩點(diǎn)關(guān)于 直線(xiàn)y二x對(duì)稱(chēng)，所以，直線(xiàn)AB斜率為- 1，從而，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m+n, 0)，點(diǎn)D 的坐標(biāo)為(m+n, -m-n)；設(shè)5所在拋物 線(xiàn)為y=ax:+bx,因?yàn)锳、B均在此拋物線(xiàn) 上,/. am:+bm=n, an2+bn=m, Vnm,兩式 相減得，a(m+n)+b二-1,兩邊同乘以(m+n) 得，a (m+n) :+b (m+n) =- (m+n), 即點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上，所以，Sb二-(m+n) 客觀(guān)世界是一個(gè)普遍聯(lián)系的整體， 每一事物都不是孤立的存在，它和其他 事物以各種方式相互依賴(lài)著，相互制約 著，相互作用著數(shù)學(xué)自身的發(fā)展即揭 示出：事物無(wú)不