初一數(shù)學一元一次方程教案(奧數(shù))

1、初一奧數(shù)數(shù)學競賽第四講 一元一次方程方程是中學數(shù)學中最重要的內(nèi)容最簡單的方程是一元一次方程，它是進一步學習代數(shù)方程的基礎(chǔ)，很多方程都可以通過變形化為一元一次方程來解決本講主要介紹一些解一元一次方程的基本方法和技巧 用等號連結(jié)兩個代數(shù)式的式子叫等式如果給等式中的文字代以任何數(shù)值，等式都成立，這種等式叫恒等式一個等式是否是恒等式是要通過證明來確定的如果給等式中的文字(未知數(shù))代以某些值，等式成立，而代以其他的值，則等式不成立，這種等式叫作條件等式條件等式也稱為方程使方程成立的未知數(shù)的值叫作方程的解方程的解的集合，叫作方程的解集解方程就是求出方程的解集只含有一個未知數(shù)(又稱為一元)，且其次

2、數(shù)是1的方程叫作一元一次方程任何一個一元一次方程總可以化為ax=b(a0)的形式，這是一元一次方程的標準形式(最簡形式)解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項，化為最簡形式ax=b；(5)方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得出方程的解 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值來確定： (2)若a=0，且b=0，方程變?yōu)?·x=0，則方程有無數(shù)多個解；(3)若a=0，且b0，方程變?yōu)?·x=b，則方程無解例1 解方程解法1 從里到外逐級去括號去小括號得去中括號得去大括號得解法2 按照分配律由外及里去括號去大括號得化簡為去中括號得去小括號得

3、例2 已知下面兩個方程3(x+2)=5x，4x-3(a-x)=6x-7(a-x) 有相同的解，試求a的值分析 本題解題思路是從方程中求出x的值，代入方程，求出a的值解 由方程可求得3x-5x=-6，所以x=3由已知，x=3也是方程的解，根據(jù)方程解的定義，把x=3代入方程時，應(yīng)有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解為a+2，求方程22(x+3)-3(x-a)=3a的解解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5由題設(shè)知a+2=5，所以a=3于是有22(x+3)-3(x-3)=3

4、15;3，-2x=-21，例4 解關(guān)于x的方程(mx-n)(m+n)=0分析 這個方程中未知數(shù)是x，m，n是可以取不同實數(shù)值的常數(shù)，因此需要討論m，n取不同值時，方程解的情況解 把原方程化為m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)當m+n0，且m=0時，方程無解；當m+n=0時，方程的解為一切實數(shù)說明 含有字母系數(shù)的方程，一定要注意字母的取值范圍解這類方程時，需要從方程有唯一解、無解、無數(shù)多個解三種情況進行討論例5 解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2分析 本題將方程中的括號去掉后產(chǎn)生x2項，但整理化簡后，可以消去x2，也就是說，原

5、方程實際上仍是一個一元一次方程解 將原方程整理化簡得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2， 即 (a2-b2)x=(a-b)2(1)當a2-b20時，即a±b時，方程有唯一解(2)當a2-b2=0時，即a=b或a=-b時，若a-b0，即ab，即a=-b時，方程無解；若a-b=0，即a=b，方程有無數(shù)多個解例6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關(guān)于x的一元一次方程，求代數(shù)式199(m+x)(x-2m)+m的值解 因為(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關(guān)于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1(1)當m=1時，方程變?yōu)?2x+8

6、=0，因此x=4，代數(shù)式的值為199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)當m=-1時，原方程無解所以所求代數(shù)式的值為1991例7 已知關(guān)于x的方程a(2x-1)=3x-2無解，試求a的值解 將原方程變形為2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2由已知該方程無解，所以例8 k為何正數(shù)時，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正數(shù)？來確定： (1)若b=0時，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，則b=0成立(2)若ab0時，則方程的解是正數(shù)；反之，若方程ax=b的解是正數(shù)，則ab0成立(3)若ab0時，則方程的解是負數(shù)；反之，若方程ax=b的解是負數(shù)，則ab0成立

7、解 按未知數(shù)x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k要使方程的解為正數(shù)，需要(k2-2k)(k2-5k)0看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)因為k20，所以只要k5或k2時上式大于零，所以當k2或k5時，原方程的解是正數(shù)，所以k5或0k2即為所求例9 若abc=1，解方程解 因為abc=1，所以原方程可變形為化簡整理為化簡整理為說明 像這種帶有附加條件的方程，求解時恰當?shù)乩酶郊訔l件可使方程的求解過程大大簡化例10 若a，b，c是正數(shù)，解方程解法1 原方程兩邊乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc移項、合并同類

8、項得abx-(a+b+c)+bcx-(a+b+c)+acx-(a+b+c)=0，因此有x-(a+b+c)(ab+bc+ac)=0因為a0，b0，c0，所以ab+bc+ac0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c為原方程的解解法2 將原方程右邊的3移到左邊變?yōu)?3，再拆為三個“-1”，并注意到其余兩項做類似處理設(shè)m=a+b+c，則原方程變形為所以即x-(a+b+c)=0所以x=a+b+c為原方程的解說明 注意觀察，巧妙變形，是產(chǎn)生簡單優(yōu)美解法所不可缺少的基本功之一例11 設(shè)n為自然數(shù)，x表示不超過x的最大整數(shù)，解方程：分析 要解此方程，必須先去掉 ，由于n是自然數(shù)，所以n與(n+1) ，nx都是整數(shù)，所以x必是整數(shù)解 根據(jù)分析，x必為整數(shù)，即x=x，所以原方程化為合并同類項得故有所以x=n(n+1)為原方程的解例12 已知關(guān)于x的方程且a為某些自然數(shù)時，方程的解為自然數(shù)，試求自然數(shù)a的最小值解 由原方