網(wǎng)絡(luò)名師小班輔導(dǎo)教案-初中數(shù)學(xué)第13講軸對稱及將軍飲馬問題教師版

1、第十三講軸對稱及“將軍飲馬”問題中考要求板塊考試要求A級要求B級要求C級要求軸對稱了解圖形的軸對稱，理解對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質(zhì)；了解物體的鏡面對稱能按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；掌握簡單圖形之間的軸對稱關(guān)系，并能指出對稱軸；能運用軸對稱進(jìn)行圖案設(shè)計知識點睛軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形這條直線就是它的對稱軸這時我們就說這個圖形關(guān)于這條直線(或軸)對稱如下圖，是軸對稱圖形兩個圖形軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就是說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱

2、軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點如下圖，與關(guān)于直線對稱，叫做對稱軸和，和，和是對稱點軸對稱圖形和兩個圖形軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系：軸對稱圖形兩個圖形軸對稱區(qū)別圖形的個數(shù)1個圖形2個圖形對稱軸的條數(shù)一條或多條只有1條聯(lián)系二者都的關(guān)于對稱軸對稱的對稱軸的性質(zhì)：對稱軸所在直線經(jīng)過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段即：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線類似地，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線如圖，直線經(jīng)過線段的中點，并且垂直于線段，則直線就是線段的垂直

3、平分線線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等如圖，點是線段垂直平分線上的點，則線段垂直平分線的判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上成軸對稱的兩個圖形的對稱軸的畫法：如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線因此，我們只要找到一對對應(yīng)點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸成軸對稱的兩個圖形的主要性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形全等如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點連線的垂直平分線軸對稱變換的方法應(yīng)用：軸對稱變換是通過作圖形關(guān)于一直線的對稱圖形的手段，把圖形中的某一圖形對稱地

4、移動到一個新的位置上，使圖形中的分散條件和結(jié)論有機地聯(lián)系起來常用的輔助線有角平分線條件時的各種輔助線，本質(zhì)上都是對稱變換的思想軸對稱變換應(yīng)用時有下面兩種情況：圖形中有軸對稱圖形條件時，可考慮用此變換；圖形中有垂線條件時，可考慮用此變換重、難點重點：理解軸對稱的概念，并且熟悉掌握軸對稱的性質(zhì)以及作圖，同時理解軸對稱變換的概念，能很好的做出軸對稱變換的圖形，并能很好的利用軸對稱的知識來解決題目 難點：運用軸對稱變換來解決實際題目，以及軸對稱的生活中的實際運用例題精講板塊一、軸對稱與軸對稱圖形的認(rèn)識【例 1】 下列”表情”中屬于軸對稱圖形的是()A B C D【解析】 C【鞏固】(08年廣東省)下列

5、圖形中是軸對稱圖形的是 ( )【解析】 C 【例 2】 (09湖南株洲)下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的是( )A B C D【解析】 【鞏固】(2004瀘州)下列各種圖形不是軸對稱圖形的是( )【解析】 C【鞏固】(2003吉林)下面四個圖形中，從幾何圖形的性質(zhì)考慮，哪一個與其他三個不同？請指出這個圖形，并簡述你的理由答：圖形_；理由是_【解析】 ;四個圖形中，只有圖不是軸對稱圖形【例 3】 如圖，它們都是對稱圖形，請觀察并指出哪些是軸對稱圖形，哪些圖形成軸對稱【解析】 軸對稱圖形：1，3，4，6，8，10成軸對稱的圖形有：2，5，7，9【例 4】 (09黑龍江哈爾濱)下列圖形中，既是軸對稱

6、圖形，又是中心對稱圖形的是( )【解析】 D【鞏固】(2004北京)下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )A等腰三角形 B等腰梯形C正方形 D平行四邊形【解析】 C【例 5】 (2003四川)我國主要銀行的商標(biāo)設(shè)計基本上都融入了中國古代錢幣的圖案，下列我國四大銀行的商標(biāo)圖案中是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形的是( )【解析】 C【例 6】 (2003北京市海淀區(qū))羊年話”羊”字象征著美好和吉祥，下列圖案都與”羊”字有關(guān)，其中是軸對稱圖形的個數(shù)是( )A1； B2； B3； D4【解析】 B【鞏固】(08山東省青島市)下列圖形中，軸對稱圖形的個數(shù)是( )ABCD如圖所示的圖案是我國幾

7、家銀行標(biāo)志，其中軸對稱圖形有( )A個B個C個D個【解析】 B；【例 7】 (上海)正六邊形是軸對稱圖形，它有 條對稱軸【解析】 點撥：可以畫出例圖進(jìn)行分析，明確正邊形有條對稱軸【鞏固】(2003河北省)下列圖案中，有且只有三條對稱軸的是( )【解析】 D 【鞏固】(08蘇州)下列圖形中，軸對稱圖形的是下列圖形中對稱軸最多的是( )A圓B正方形C等腰三角形D線段【解析】 D；【例 8】 作出下圖所示的圖形的對稱軸： 【解析】 答案見右上圖【鞏固】作出下圖所示的成軸對稱圖形的對稱軸： 【解析】 答案見右上圖【例 9】 求作線段的垂直平分線【解析】 略【例10】 已知：如圖，及兩點、求作：點，使得

8、，且點到兩邊所在的直線的距離相等【解析】 因為是兩邊所在的直線，所以有兩個答案答案一：內(nèi)角平分線與線段的垂直平分線的交點答案二：外角平分線與線段的垂直平分線的交點【例11】 (2003長沙)如圖，請根據(jù)小文在鏡中的像寫出他的運動衣上的實際號碼：_【解析】 108【例12】 (2004河南)如圖，直線是四邊形的對稱軸，若，有下面的結(jié)論： ，其中正確的結(jié)論有_【解析】 【鞏固】(2003安徽)如圖，是四邊形的對稱軸，如果，有下列結(jié)論： 其中正確的結(jié)論是_(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)【解析】 、【例13】 (2003南寧市)尺規(guī)：把右圖(實線部分)補成以虛線L為對稱軸的軸對稱圖形，你會得到一只

9、美麗蝴蝶的圖案(不用寫作法、保留作圖痕跡) 【解析】 答案見右上圖板塊二、軸對稱的應(yīng)用【例14】 如圖，和關(guān)于直線對稱，且，求的度數(shù)和的長【解析】 和關(guān)于直線成軸對稱 ，；又 ，【例15】 如圖，有一塊三角形田地，作的垂直平分線交于，交于，量得的周長為，請你替測量人員計算的長【解析】 垂直平分 ， ， ， 【鞏固】如圖，中，邊的垂直平分線交于，交于，厘米，的周長是18厘米，則等于多少厘米？【解析】 垂直平分 ， 的周長為 【例16】 如圖，已知，為的垂直平分線，求的度數(shù)【解析】 垂直平分 【例17】 (2004陜西)已知：如圖，在中，平行于軸，點的坐標(biāo)是畫出關(guān)于軸對稱的；求以點、為頂點的四邊形

10、的面積【解析】 畫圖正確 過點作，交的延長線于點，則 ， 在中， BDAB·cosABD2×1 ADAB·sinABD=2× 又知點B的坐標(biāo)為(-3，1) 可得點A的坐標(biāo)為 軸，軸 AB與不平行 以點為頂點的四邊形是等腰梯形 由點A、B的坐標(biāo)可求得 梯形的面積(AA+BB)·AD×(8+6)×=7板塊三、軸對稱在幾何最值問題中的應(yīng)用【例18】 已知點在直線外，點為直線上的一個動點，探究是否存在一個定點，當(dāng)點在直線上運動時，點與、兩點的距離總相等，如果存在，請作出定點；若不存在，請說明理由【解析】 點與點重合，或者點是點關(guān)于直

11、線的對稱點【例19】 如圖，在公路的同旁有兩個倉庫、，現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到、兩倉庫的距離和最短，這個中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在公路旁的哪個位置比較合理？ 【解析】 答案見右上圖【鞏固】若此題改成，在上找到、兩點，且，在的左邊，使四邊形的周長最短 【解析】 見右上圖【例20】 (”五羊杯”邀請賽試題)如圖，角內(nèi)有點，在角的兩邊有兩點、(均不同于點)，求作、，使得的周長的最小 【解析】 見右上圖【鞏固】如圖，、為的邊、上的兩個定點，在上求一點，使的周長最短 【解析】 見右上圖【例21】 (2000年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽)如圖，設(shè)正的邊長為2，是邊上的中點，是邊上的任意一點，的最大值和最小值分別記為和求的值 【解

12、析】 作點關(guān)于的對稱點，連接、 由點、關(guān)于對稱可知， 故當(dāng)且僅當(dāng)、共線時，等號成立，故另外兩個臨界位置在點和點處當(dāng)點位于點處時，；當(dāng)點位于點處時，故， 本題也可作點關(guān)于的對稱點，連接、【例22】 已知如圖，點在銳角的內(nèi)部，在邊上求作一點，使點到點的距離與點到的邊的距離和最小【解析】 見右上圖【例23】 已知：、兩點在直線的同側(cè)， 在上求作一點，使得最小 【解析】 見右上圖【鞏固】已知：、兩點在直線的同側(cè)，在上求作一點，使得最大 【解析】 見右上圖【例24】 (07年三帆中學(xué)期中試題)如圖，正方形中，是上的一點，且，是上的一動點，求的最小值與最大值 【解析】 找點關(guān)于的對稱點，由正方形的性質(zhì)可知

13、，就是點關(guān)于的對稱點，連接、，由可知，當(dāng)且僅當(dāng)、三點共線時，的值最小，該最小值為當(dāng)點在上移動時，有三個特殊的位置我們要考察： 與的交點，即取最小值時； 當(dāng)點位于點時，； 當(dāng)點位于點時，故的最大值為【鞏固】例題中的條件不變，求的最小值與最大值【解析】 當(dāng)時，有最小值為0，此時點位于的垂直平分線與的交點處 ，當(dāng)點與點重合時，等號成立，此時有最大值2【鞏固】(黑龍江省中考題)如圖，已知正方形的邊長為8，在上，且，是上的一個動點，則的最小值是 【解析】 連接交于，此點即為所求所以根據(jù)勾股定理，【例25】 (2004鄲縣改編)某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線上連接一個分支線路同時向新落成的、兩個居民小區(qū)送電，

14、分支點為，已知居民小區(qū)、到主干線的距離分別為千米，千米，且千米 居民小區(qū)、在主干線的兩旁如圖所示，那么分支點在什么地方時總線路最短？最短線路的長度是多少千米？ 如果居民小區(qū)、在主干線的同旁，如圖所示，那么分支點在什么地方時總線路最短？此時分支點與距離多少千米？ 【解析】 連結(jié)，與的交點就是所求的分支點，分支點開在此處總線路最短，如圖，因為，所以所以由勾股定理，得，所以分支點在線段上距點千米處，最短線段的長度為千米； 如圖，作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)交直線于點，此處即為分支點，由圖可知，的長度為千米點撥：在解本題時，應(yīng)注意線段最短，在第問中也可以先畫A點的對稱點A2【例26】 (09山東臨沂)如

15、圖，是公路(為東西走向)兩旁的兩個村莊，村到公路的距離，村到公路的距離，村在村的南偏東方向上 求出，兩村之間的距離； 為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公共汽車站，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點的位置(保留清晰的作圖痕跡，簡明書寫作法)北東BACD l BACDlNMOP【解析】 方法一：設(shè)與的交點為，根據(jù)題意可得和都是等腰直角三角形，兩村的距離為方法二：過點作直線的平行線交的延長線于易證四邊形是矩形， 在中，由，可得兩村的距離為 作圖正確，痕跡清晰作法：分別以點為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于兩點，作直線；直線交于點，點即為所求家庭作業(yè)【習(xí)題1】 (08蘇州)下列圖形中，軸對稱圖形的是【解析】 D【習(xí)題2】 (09湖南株洲)下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的是( )A B C D(08山東煙臺)下列交通標(biāo)志中，不是軸對稱圖形的是( )(08年廣東省)下列圖形中是軸對稱圖形的是 ( )【解析】 ；【習(xí)題3】 如圖，中，為的平分線，是的中點，求的度數(shù)【解析】 平分 垂直平分 ， 【習(xí)題4】 (四川省競賽題)如圖，在等腰中，的上一點，滿足，在斜邊 上求作一點使得長度之和最小【解析】 見右上圖【習(xí)題5】 在正方形中，在上，在上，求和的長度之和的最小值 【解析】 當(dāng)、三點共