數(shù)列通項公式的求法

1、1復習提問復習提問的通項公式的定義：的通項公式的定義：1.數(shù)列數(shù)列 na數(shù)列數(shù)列 的第的第n項項 與項數(shù)與項數(shù)n的函數(shù)關系的函數(shù)關系如果可用一個公式如果可用一個公式 來表示，則來表示，則稱這個公式為數(shù)列的通項公式。稱這個公式為數(shù)列的通項公式。 na)(nfanna注意：不是任何數(shù)列都有通項公式。注意：不是任何數(shù)列都有通項公式。若有，通項公式也不一定是唯一的。若有，通項公式也不一定是唯一的。問題問題:是不是任何數(shù)列都有通項公式是不是任何數(shù)列都有通項公式?若有若有,是不是唯一的是不是唯一的?數(shù)列通項公式的求法數(shù)列通項公式的求法2dnaan) 1(1),( )(Nmndmnam2.等差數(shù)列的通項公式

2、與前等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式項和公式dnnnaaanSnn2) 1(2)(11問題：問題：知道數(shù)列的通項公式（函數(shù)的解析式）知道數(shù)列的通項公式（函數(shù)的解析式）,就可以求出數(shù)列的任何一項。哪如何求數(shù)列的就可以求出數(shù)列的任何一項。哪如何求數(shù)列的通項公式？你會求什么數(shù)列的通項公式呢？通項公式？你會求什么數(shù)列的通項公式呢？等差數(shù)列與等比數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列3) 1( 11)1 () 1( 111qqqaaqqaqnaSnnn項和公式：的通項公式與前等比數(shù)列nan3.11nnqaa),(Nmnqamnm)2( ) 1( 11nSSnSannn 的關系：項和與前的通項數(shù)列nnnSnaa . 41

3、1nnnaSS4 數(shù)列的數(shù)列的通項公式通項公式是數(shù)列的是數(shù)列的核心核心內(nèi)容之內(nèi)容之一一,它如同函數(shù)中的它如同函數(shù)中的解析式一樣解析式一樣,有了解析式有了解析式便可研究其性質(zhì)等便可研究其性質(zhì)等;而有了數(shù)列的而有了數(shù)列的通項公式通項公式便可便可求出任一項以及前求出任一項以及前n項和項和等等.因此因此,求數(shù)求數(shù)列的通項公式列的通項公式往往是往往是解題的突破口、關鍵解題的突破口、關鍵點點. 因此近年來的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)給出數(shù)因此近年來的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)給出數(shù)列的解析式（包括遞推關系式和非遞推關列的解析式（包括遞推關系式和非遞推關系式），求通項公式的問題，對于這類問系式），求通項公式的問題，對于這類問題

4、考生感到困難較大題考生感到困難較大.為了突破這一難點，為了突破這一難點，現(xiàn)將求數(shù)列通項的思想方法系統(tǒng)歸納如下現(xiàn)將求數(shù)列通項的思想方法系統(tǒng)歸納如下:數(shù)列通項公式求法數(shù)列通項公式求法5數(shù)列通項公式求法數(shù)列通項公式求法常用數(shù)學思想：常用數(shù)學思想：1化歸思想；化歸思想；2. 換元思想；換元思想；3. 方程思想方程思想6【思路分析【思路分析】 此類問題雖無固定模式此類問題雖無固定模式,但也有其規(guī)律可循但也有其規(guī)律可循,主要主要靠觀察靠觀察(觀察規(guī)律觀察規(guī)律)、比較、比較(比較已知的數(shù)列比較已知的數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列為等差或等比數(shù)列)等方法等方法. 每一項序號每一項序號

5、與與這一項這一項的的對應關系對應關系可可看成是一個序號到另一個數(shù)集的對應關系，這對考生的歸納看成是一個序號到另一個數(shù)集的對應關系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。推理能力有較高的要求。 已知數(shù)列的前幾項，求通項公式已知數(shù)列的前幾項，求通項公式 求下列數(shù)列的一個通項公式求下列數(shù)列的一個通項公式:,5555,555,55, 5)7( , 0 ,71 , 0 ,51 , 0 ,31 , 0 , 1 )6( 1337 ,1126, 917 ,710 , 1 ,32)5( ,9910,638 ,356 ,154 ,32-4 4 2 15 8 3 03 33 9,17 5 32 , 1 , 1 , 1

6、 , 1 ) 1 (，）（，）（，）（)(n 1)n ( 11為奇數(shù)為偶數(shù)nnna2 ,32 ,16 , 8 , 4 , 20 , 1 , 0 , 11, 0 , 1, 00 , 1, 0 , 1 , 0 , 1, 0 , 17 ，然后直接套用及出為等差（比）數(shù)列，求方法：若na類型一：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項：類型一：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項：ma其中一項）（公比公差qd 公式 式為整數(shù)，則通項公且公比，若為等比數(shù)列，：已知例nnaqaaaaa 512,1241748312n8 ，然后直接套用及出為等差（比）數(shù)列，求方法：若na題型二：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項：題型二：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通

7、項：ma其中一項）（公比公差qd 公式公式 為整數(shù)，則通項公式且公比，為等比數(shù)列，若例：已知nnaqaaaaa 512,1247483，然后套公式。與程組，解出的方與表示，得出與全部用，本題也可以把qaqaqaaaaa 1118743124512838374aaaaaaan，為等比數(shù)列，則分析：是整數(shù)，又與的兩根是方程與故知qxxaa 4128 051212428313353883)2(232 128 4nnnqaaqqaaaa，12n，等比5128374aaaaan9類型三：類等差數(shù)列類型三：類等差數(shù)列,方法歸納：方法歸納：累加累加 的通項公式。求數(shù)列，中，例：數(shù)列nnnnannaaaa)3

8、 , 2 , 1(2211)(1nfaann即)()2() 1 (:(的和是可求的條件nfff分析：由已知易得naann21）1(2, 32, 22, 21342312naaaaaaaann),1()1(321 21nnnaan上面各式相加得), 3 , 2 , 1(22nnnan故可求和可求和10 的通項公式為列，則數(shù)且滿足中，已知數(shù)列：例nnnnannaaaa21 11nnnnnaannnaa11)2(2nnannann) 1()2)(1(1其他解法探究：其他解法探究：是常數(shù)數(shù)列則可構(gòu)造nann) 1( 11645342312:13423121nnaaaaaaaannaannnn得分析)

9、1(21) 1(2111nnaannaann) 1(21221) 1(11nnaaaannnn，故有累乘的積是可求的，且若) 1()2() 1 (),(1nfffnfaann該題型方法歸納：該題型方法歸納：na累乘法求得11變式訓練：變式訓練：12nnaS ，求知類型四： 求解方法：可直接應用公式)2() 1( 11nSSnSannn 的通項公式。的圖象上，求數(shù)列均在函數(shù)點和為的前數(shù)列，其導函數(shù)為經(jīng)過原點的圖象例：已知二次函數(shù)nnnnaxfyNnSnSnaxxfxfy)( )(,26)(,)( 13nnaS ，求知類型四： 求解方法：可直接應用公式)2() 1( 11nSSnSannn 的通項

10、公式。的圖象上，求數(shù)列均在函數(shù)，點和為的前，數(shù)列為函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，其導例：已知二次函數(shù)nnnnaxfyNnSnSnaxxfxfy)( )(,26)()( nnSxxxfn2323)( 22，故有略解：依題意易得56)1(2) 1(3232221nnnnnSSannnn時，故當合上式時，而當1 1 11San)(56Nnnan故14 公式為的通項，則滿足項和的前已知數(shù)列nnnnanSSna1) 1(log . 12練習:不合上式，時，當由略解32) 12() 12(2121) 1(log:111112SaSSanSnSnnnnnnnnn)()2( 2) 1( 3Nnnnann故15nnnan

11、aS求通項的關系式，及與類型五：知 的通項公式求，且滿足項和的前列各項均正數(shù)的數(shù)重慶例：nnnnnnaNnaaSSSna*1),2)(1(61)07( 16nnnanaS的關系式，求通項及與類型五：知 析求解。再分得出相鄰兩項的關系式式兩式相減，子，與原關系，得另一式代替或方法總結(jié)：可考慮用 )2( 11nnnn17nnnanaS的關系式，求通項及與類型五：知 ），再求的關系式，先求出與得消（有時用nnnnnnnnaSSSanSSa11)2(解。兩項的關系式再分析求式兩式相減，得出相鄰與原關系，得另一式子，代替或方法總結(jié)：可考慮用 )2( 11nnnn 的通項公式，求且滿足項和的前各項均正數(shù)的

12、數(shù)列重慶例：nnnnnnaNnaaSSSna*1),2)(1(6 1)07( 2362nnnaaS分析：由題意得2366112111aaSan時，當212111111aSaaa故又或解得由由整理得整理得2361211nnnaaS且有300)3)(1111nnnnnnnnaaaaaaaa又 13) 1(3232nnaaannn的通項為故的等差數(shù)列，公差為是首項為故)()(1比或類等差比的關系？化為等差與找nnaa11nnnaSS的關系與可找出nnaa118 的通項公式，求數(shù)列項和的前數(shù)列福建nnnnnaNnaSaSna)(2 , 1,)07 ( 1.11變式訓練：兩式相減整理得略解：,2 21n

13、naS，而3212aa)2(32) 1( 12nnann故312nnaa232nna19類型六：等定系數(shù)法求遞推數(shù)列類型六：等定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項：的通項： 的通項公式，求數(shù)列滿足項和為的前例：數(shù)列nnnnnaNnnaSSna)( 1220 xaqxann1xan01 xana)dqxx滿足dqxx21類型六：等定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項：類型六：等定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項：滿足與若數(shù)列相鄰兩項一nnaa1)(),(為常數(shù)dq則可考慮待定系數(shù)法設則可考慮待定系數(shù)法設 xaqxann1為待定系數(shù)，其中x ()dqxx滿足構(gòu)造新的輔助數(shù)列構(gòu)造新的輔助數(shù)列 xan是首項為是首項為 xa 1公比為公

14、比為q的等比數(shù)列，求出的等比數(shù)列，求出 xan ,再進一步求通項再進一步求通項 na 的通項公式求數(shù)列，滿足項和為的前例：數(shù)列nnnnnaNnnaSSna )( 121211nnaa兩式相減整理得，且解析：由32,2312111naSanaSnnnn的等比數(shù)列，公比為是首項為故數(shù)列2121221aannnnnaa212212121故dqaann1)2(2121nnaadqxx22 歸納提高：滿足這樣的歸納提高：滿足這樣的推遞關系的推遞關系的數(shù)列數(shù)列的通項求解問題（的通項求解問題（陌生的，難陌生的，難的，不會的的，不會的），可用），可用待定系數(shù)法待定系數(shù)法轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為化為特殊數(shù)列特殊數(shù)列（等差數(shù)列或

15、等比數(shù)（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的通項問題（列）的通項問題（熟悉的，易，我熟悉的，易，我們會的們會的） ,借助等差（比）數(shù)列的借助等差（比）數(shù)列的通項公式求輔助數(shù)列的通項，從而通項公式求輔助數(shù)列的通項，從而解決問題。解決問題。數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化、化歸思想。數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化、化歸思想。23類型六：等定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項：類型六：等定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項：滿足與若數(shù)列相鄰兩項一nnaa1)(),(為常數(shù)dq則可考慮待定系數(shù)法設則可考慮待定系數(shù)法設 xaqxann1為待定系數(shù)，其中x ()dqxx滿足構(gòu)造新的輔助數(shù)列構(gòu)造新的輔助數(shù)列 xan是首項為是首項為 xa 1公比為公比為q的等比數(shù)列，求出的等比數(shù)

16、列，求出 xan ,再進一步求通項再進一步求通項 nadqaann1dqxx歸納提高：滿足這樣的歸納提高：滿足這樣的推遞關系的數(shù)列推遞關系的數(shù)列的通項的通項求解問題（求解問題（陌生的，難的，不會的陌生的，難的，不會的），可用），可用待待定系數(shù)法定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的通項問題（列）的通項問題（熟悉的，易，我們會的熟悉的，易，我們會的） ,借借助等差（比）數(shù)列的通項公式求輔助數(shù)列的通助等差（比）數(shù)列的通項公式求輔助數(shù)列的通項，從而解決問題。項，從而解決問題。數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化、化歸思想。數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化、化歸思想。24 的通項公式求數(shù)列，滿足項和為

17、的前數(shù)列nnnnnnaNnaSSna)(3223134)06(1變式探究一：變式探究一：25 的通項公式，求數(shù)列滿足項和為的前數(shù)列nnnnnnaNnaSSna)(3223134)06(12322313411aaSnnn分析：由 3223134211nnnaS且1124nnnaa兩式相減整理得1112144nnnnnaa可化為為什么類型呢？，轉(zhuǎn)化同除以14nnnnnnaa2144111其他解法探究：其他解法探究：nnnnnaaaaaa2144,2144,214411322332122nnnaa21212144321nnnna21121212121432nnna24 上面各式相加可得上面各式相加可

18、得幾個式子？26 的通項公式，求數(shù)列滿足項和為的前數(shù)列nnnnnnaNnaSSna)(3223134)06(12322313411aaSnnn分析：由 3223134211nnnaS且1124nnnaa兩式相減整理得122211nnnnaa可化為的等比數(shù)列，公比為是首項為故數(shù)列 2 2121212aannnnnnnnaa24222121直接應用。怎么辦？不是常數(shù)，不能12n構(gòu)造新數(shù)列，同除以12n1221211nnnnaa都是常數(shù)與相鄰兩項，是其、，新數(shù)列2 1 22211nnnnnnaaa變式探究一：變式探究一：27:)(22:11得由略解Nnaannn1221221111nnnnnnnna

19、aaannann1) 1(12nnna2變式：變式：28探究歸納探究歸納,總結(jié)提升總結(jié)提升:29nnnnnnnaznxaznxazxnaqzxnaAAnqaa列，構(gòu)造得等比數(shù)、然后展開對比系數(shù)確定為常數(shù)）設、若數(shù)列相鄰兩項滿足二qBA),() 1(qB( B)(11 的通項公式。上，求數(shù)列在直線點中，在數(shù)列山東nnnnaxyNnaanaa )(2,(, 2)06(11變式探究探究歸納：探究歸納：修改修改30nnnnnnnaznxaznxazxnaqzxnaAAnqaa，構(gòu)造得等比數(shù)列、然后展開對比系數(shù)確定設為常數(shù)）、若數(shù)列相鄰兩項滿足二qBA ),() 1( qB( B)(11 的通項公式。（

20、修改）上，求數(shù)列直線在點中，在數(shù)列山東nnnnaxyNnaanaa )(2,(, 2)06(111, 1zx展開后對比系數(shù)可得) 1(21) 1(1則nanann, 21naann分析：易得的等比數(shù)列，公比為是首項為故 2 41111anan1224111nanannnn)(2) 1(1zxnazxnann可設變式探究探究歸納：探究歸納：31nnnnaa21222122321, 21naann分析：易得方法二方法二：:2 1可得等式兩邊同除以n11112222nnnnnnaa111222nnnnnnaa各式相加可得，,2122,2222212211322332122nnnnnnaaaaaann

21、212221S3221nnnn1132212121212121S21nnnnn12211Snnnannnnna2122121nann 的通項公式。（修改）上，求數(shù)列直線在點中，在數(shù)列山東nnnnaxyNnaanaa )(2,(, 2)06(11累加由由得得其他解法探究：其他解法探究：32變式訓練：變式訓練：nnnna2) 1(461答案33各式相加可得，,2144,2244214411322332122nnnnnnaaaaaannnnaa21222124321:24:11得由略解nnnnaa111111244244nnnnnnnnnnnaanaa變式訓練：變式訓練：n

22、n212221S32令nnnna2) 1(461答案錯位相減求和法錯位相減求和法34 的通項公式求，且滿足已知數(shù)列例nnnnannaaaa：121211)(2) 1() 1(221zynxnaznynxann分析：設zyxnyxxnaann)2(221展開整理可得對比系數(shù)可得：與1221nnaann1121zyxyxx311zyx)3(23) 1() 1(221nnannann故有的等比數(shù)列，公比為是首項為故知 2 6312annannnnnna2326312得由等比數(shù)列通項公式可3232nnann變式探究：？CBnAnqaann呢21)() 1() 1(221zynxnaqznynxann方

23、法：設探究歸納：該類型可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列：探究歸納：該類型可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列：35 的通項公式。求數(shù)列滿足例：已知數(shù)列nnnnnaNnaaaaaa)(23, 3, 11221的兩根是方程與023212 ttnnnnaaaa22112可得是故21nnaa121nnaa），（即取12yx常數(shù)數(shù)列122121aaaann) 1(211nnaa122211nnnnaannnaaa2312即由變式探究變式探究：若已知數(shù)列相鄰三項的遞推關系式若已知數(shù)列相鄰三項的遞推關系式,又又如何求其通項公式呢如何求其通項公式呢?nnnnnnnxyaayxaxaayxaa12112)()(設2112232312yxyxxyy

24、xaaannn或?qū)Ρ认禂?shù)得與02312nnnaaa可化為36（三）若數(shù)列相鄰三項的關系滿足若數(shù)列相鄰三項的關系滿足012nnnCaBaa, 0 2有解且方程CBttCyxByxyx,則有與若設解為則可得則可得)(112nnnnxaayxaa，且若0012yxaa為公比的輔助等比數(shù)列則可構(gòu)造以 y,1nnxaa轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為相鄰兩項的類型相鄰兩項的類型再分析求解再分析求解問題：問題：知道連續(xù)三項滿足這樣的遞推關系的知道連續(xù)三項滿足這樣的遞推關系的數(shù)列的通項，在什么條件下，你才會求其通數(shù)列的通項，在什么條件下，你才會求其通項公式呢？項公式呢？有解即方程02CBtt0)()(12112nnnnnnnx

25、yaayxaxaayxaa設有解對比系數(shù)得與CxyByxCaBaannn012探究歸納：探究歸納：37 的通項公式。求數(shù)列滿足例：已知數(shù)列nnnnnaNnaaaaaa )(23, 3, 1122121yx，即取的等比數(shù)列，公比為是首項為則 2 2121aaaannnnnaa21則122221)21 (21222)()()(11212312nnnnnnnnaaaaaaaa,21211nnnnnaaaa則有由上面過程知都取與,1221yxyx兩種情況一起考慮，兩種情況一起考慮，即即累加累加方程思想方程思想121nnnaa，可得消去)(22311212nnnnnnnaaaaaaa可得解析：由則可得到

26、兩個等比數(shù)列，分別求其通項則可得到兩個等比數(shù)列，分別求其通項, 再由方程組求出再由方程組求出 na),(有兩組解即、有兩異根yxyx注：若注：若 02CBtt解法探究：解法探究：38 的通項公式求數(shù)列滿足已知數(shù)列例nnnnnaaaaaaa265, 2, 1:1221zyzxyaayxannn12)()(112zxaayzxaannnn設對比系數(shù)可得與26512nnnaaa223132265zyxzyxzyzyxyx或解得為等比數(shù)列12) 12(3121112nnnnnnaaaaaa分別得到：分別得到nnnnnaaaa是等比數(shù)列又有23)23(2231112nnnnnn

27、aaaaaa22321231111nnnnnnaaaa由由得得12311nnna有解0652 tt變式探究：39 ), 4 , 3(,0, )08(212212nqxpxxqpxpxxqpxxqpnnnn滿足數(shù)列的兩個實根，是方程為實數(shù)、設廣東理 的通項公式求數(shù)列；證明：nxqp)2( ,) 1 ( nnSnxqp項和的前，求，若 411 )3(練習【解析】（1）由求根公式，不妨設 2244,22ppqppq224422ppqppqp224422ppqppqq11,(),()nnnnnxn111111( )2( )( )3(3)( )2222nnnnnn nS(2)(3)40類型七：特征根法求

28、數(shù)列通。類型七：特征根法求數(shù)列通。 na011DCaBaaAannnn)0(A0)(2DxCBAx（條件：條件：若若的的相鄰兩項關系式可化為相鄰兩項關系式可化為：可用這種方法；可用這種方法；(其中方程其中方程該數(shù)列的特征根）該數(shù)列的特征根）的根稱為的根稱為征根的一元二次方程求出特得到都為與可視xxaann 1一元二次方程有兩根、一根、沒有實一元二次方程有兩根、一根、沒有實數(shù)根三種情況，下面分三情況探究：數(shù)根三種情況，下面分三情況探究：412x21xaxabnnn nbnbna(一一)若有若有兩特根兩特根與與，可令，可令構(gòu)造等比數(shù)列構(gòu)造等比數(shù)列,則可則可進而求出進而求出等比數(shù)列通項公式求出等比數(shù)

29、列通項公式求出 , 2 , 1,123,53)08( :11naaaaannnn的首項已知數(shù)列陜西例 的通項公式求數(shù)列na特征根為特征根為0與與1略解：可得該數(shù)列特征根為略解：可得該數(shù)列特征根為0與與1nnnaab1可設nnnnnnnnnnbaaaaaaaab3113112311231111則nnnnaab132233nnna1x(一一)有兩特征根有兩特征根42 的通項公式求且滿足數(shù)列重慶nnnnnnanaaaaaa).1(0521681)05(111練習練習(改編改編)45210521682xxxxx或43 的通項公式求且滿足數(shù)列重慶nnnnnnanaaaaaa).1(0521681)05(

30、111練習練習nnnaaa8165245211，且條件可化為與分析：易得有兩特征21452361512218165245816522145,2145111nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabaab則可設 的等比數(shù)列，公比為是首項為，故即 2 21211bbbbnnn8210221452221121nnnnnnnnaaab故有(改編改編)45210521682xxxxx或44構(gòu)造輔助數(shù)列構(gòu)造輔助數(shù)列 ,分析分析0 x01xabnn nbnbna（二）有（二）有一根一根時時,可令可令 易得易得 是是等差等差數(shù)列，求數(shù)列，求進而求出進而求出 nb 的通項公式求na 的關系與nnbb1)

31、(2121)08(11Nnaaaannn且滿足數(shù)列佛山一模例：唯一特征根唯一特征根1解：依題意可得該數(shù)列有惟一特征根為解：依題意可得該數(shù)列有惟一特征根為111nnab可設21b則nnnnnnnbaaaaab11111212111111且 ) 1)(1(2121nbbbnn的差數(shù)列，公差為是首項為故1) 1(11nnanabnnn即該題也可以先求出前幾項，該題也可以先求出前幾項，再猜想歸納出其通項，但要特別注意要用數(shù)學歸納法證明。再猜想歸納出其通項，但要特別注意要用數(shù)學歸納法證明。45)(34, 1. 111Nnaaaaannnn且滿足數(shù)列 的通項公式求na 課堂練習課堂練習:2341xxxxx

32、aann得都為與視121 ,2111ababnn則分析：可設21)2(2323412111nnnnnnnnaaaaaaab112111nnnnbbba 的等差數(shù)列，公差為是首項是111bbnnaannbnnn1221) 1)(1(1故有46（三）沒有特征根，則可由遞推關系式得（三）沒有特征根，則可由遞推關系式得出若干項可判斷出若干項可判斷 na是是周期數(shù)列周期數(shù)列 的通項公式求且滿足例：數(shù)列nnnnnaNnaaaaa).(12111231).(12211aaNnaaannn分析：由)()2( 23) 12( 1 Nkknknan由遞推性可得無實根得都為與視121xxxxaann112223aa

33、a47其他方法：有構(gòu)造常數(shù)數(shù)列，取對數(shù)（注意其他方法：有構(gòu)造常數(shù)數(shù)列，取對數(shù)（注意真數(shù)大于零），取倒數(shù)，歸納法（注意要用真數(shù)大于零），取倒數(shù)，歸納法（注意要用數(shù)學歸納法證明）數(shù)學歸納法證明） 的通項公式為則數(shù)列，的正項數(shù)列，且是首項為若nnnnnnaaanaana01 1 . 112210121211nnnnnnaaaana的降冪處理分析：先按左邊能否因式分式？左邊能否因式分式？0)(111nnnnaanaan01nnaa又nnnaan1) 1(是常數(shù)數(shù)列nnanaanann1111故有，可用什么方法處理？若1) 1(11nnaanaannnnn累乘法48 的通項公式，求且滿足數(shù)列nnnnaa

34、anana6) 1() 1() 1(. 2211 11an時，易得當時，原式可化為當2n) 1() 1() 1(1nanannn對應在一起與與nnan，an) 1() 1(111111nnanann兩邊同除) 1)(1(nn以n兩邊再除以觀察分析可知nnnnannann) 1(1) 1() 1(11) 1(1) 1() 1(1nnnnannann) 1(1) 1(1) 1(1nnnannnann是常數(shù)數(shù)列)2() 1(1) 1(nnnnan212) 1(1) 1(2annnan)2)(12(nnnan)(12(11Nnnnaan合上式，故變式探究：變式探究：49 的通項公式為則數(shù)列，項和，前中

35、，練習：已知數(shù)列nnnnaannSnaa21 61111)2)(1(2,) 1(221nnnnnnannSannSannS且有nnnnnananaSS) 1()3(,111兩式相減得nnannann)2)(1()3)(2(1為常數(shù)數(shù)列)2)(1(nann)2)(1(1132)2)(1(1nnaaannnn思想方法：配湊法構(gòu)造化歸成特殊數(shù)列，借助特殊數(shù)思想方法：配湊法構(gòu)造化歸成特殊數(shù)列，借助特殊數(shù)列的通項公式的求法，從而解決問題。列的通項公式的求法，從而解決問題。50 的表達式的等比數(shù)列，求，公比為是首項為滿足已知數(shù)列例nnnnaaaaaaaaa311,:12312111123121311233113111)()()(nnnnnaaaaaaaa51 的通項公式。，求數(shù)列的圖象上，其中在函數(shù)，點已知山東例nnnanxxxfaaa, 3 , 2 , 12)( ,2)( :2112121) 1(12nnnnnaaaaa分析：依題意可得的等比數(shù)列公比為是首項為而21) 1(log1