2018版高中數學蘇教版必修五學案：2.3.1等比數列的概念

1、 2. 3.1 等比數列的概念 【學習目標】1通過實例，理解等比數列的概念并學會簡單應用 2 掌握等比中項的概念并會應 用.3掌握等比數列的通項公式并了解其推導過程. 西問題導學 - 知識點一等比數列的概念 思考 觀察下列 4 個數列， 歸納它們的共同特點. 1,2,4,8,16，; 1,1,1,1,； 梳理等比數列的概念和特點. (1) _ 定義：如果一個數列從第 _ 項起，每一項與它的 一項的 _ 都等于 _ 常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的 _ ，通常 用字母 q 表示(q豐0). an an +1 * 遞推公式形式的定義： =q(n1)(或 一=q， n N ).

2、 an1 an 等比數列各項均 _ 為 0. 知識點二等比中項的概念數列 等比數列 1 1 丄 4， 8， 16, 一 1,1, 1,1, 思考 在 2,8 之間插入一個數，使之成等比數列這樣的實數有幾個? 梳理 等差中項與等比中項的異同，對比如下表: 對比項 等差中項 等比中項 定義 右 a, A, b 成等差數列，則 A 叫做 a 與 b的等差中項 若 a, G, b 成等比數列，則 G 叫做 a 與 b 的等比中項 定義式 A a= b A G b a G 公式 a + b A= 2 G = ab 個數 a 與 b 的等差中項唯一 a 與 b 的等比中項有兩個，且互為相反 數 備注 任意

3、兩個數 a 與 b 都有等差中項 只有當 ab0 時，a 與 b 才有實數等比 中項 類型一等比數列的判定 例 i 判斷下列數列是不是等比數列. (1)0,1,2,4 ; (2)1,1,1,1 ; (3)0.1,0.01,0.001,0.000 1 ; (4)3, - 3 3, 9, 9 .3.反思與感悟 (1)等比數列任一項均不為 0.(2)等比數列的公比可以是任意非零常數. 跟蹤訓練 1 根據下列條件，寫出等比數列的前 4 項. (1)ai= 1, q = 2; (2)ai = 1, q = 2; (3)ai= 1, q= 2; (4)ai= 1, q= 2. 類型二證明等比數列 7 11

4、 * 例 2 已知數列an滿足 a1 = 7且 an+1 = ：an +1, n N . 8 2 3 2 求證：an 3是等比數列. 反思與感悟 判斷一個數列是否為等比數列的方法是利用定義, 1 * 跟蹤訓練 2 已知數列an的前 n項和為 Sn,且 Sn= 3(an 1)(n N ). (1)求 a1, a2； 證明：數列an是等比數列.an+1 即石=q(與n無關的常數) 當堂訓練 - 1 .在等比數列an中，ai = 8, a4= 64,則 a3= _ 2 若等比數列的首項為 4，公比為 2,則這個數列的第 6 項為 _ 3. 已知等比數列an滿足 ai+ a2= 3, a2+ a3=

5、6，則公比 q= _ . 4. 45 和 80 的等比中項為 _ . p-規(guī)律與方法 - 1 .等比數列的判斷或證明 an+1 （1）利用定義： =q（與 n無關的常數）. an 利用等比中項：an+1= anan +2（n N ）. 2 .兩個同號的實數 a、b 才有等比中項，而且它們的等比中項有兩個 （ ab）,而不是一個（，ab）, 這是容易忽視的地方. 問題導學 知識點一 思考 從第 2 項起，每項與它的前一項的比是同一個常數. 梳理 (1)二前比同一個公比 不能 知識點二 思考 設這個數為 G.則G= 8, G2= 16, G= 4所以這樣的數有 2 個. 2 G 題型探究 1 例

6、1 解(1)6 無意義，不是等比數列. (2) 每項與前一項的比均為 1，是等比數列. 001 = .1 需1,冊=，是等比數列. 3 3 9 一 9、.；3 (4) 于 =一 V3, 3羽=- V3 9 =一 需，是等比數列. 跟蹤訓練 1 解 (1)a1 = 1, a2= a1 x 2 = 2, a3= a22 = 4, a4= a3X 2= 8. (2)a1= 1, a2= a1 x 2= 2, a3 = a2 2 = 4, a4= a3 2 = 8. (3) a1= 1, a2= a1 x ( 2) = 2, a3= a2x ( 2) = 4, a4= a3x ( 2) = 8. (4

7、) a1= 1, a2= a1 x ( 2) = 2, a3= a2X ( 2) = 4, a4= a3x ( 2) = 8. 1 1 例 2 證明/ an+ 1= 2an+ 3. 2 1 12 1 1 1 2 an+1- 3 = 2an+ 3 3= 2an 3 = 2(an 3), 2 7 2 _5_ .a 1 工 0, 1 3 8 3 24 2 1 -an 3是公比為 2 的等比數列.答案精析 an+1 1, n N*, 2， ， 1 1 跟蹤訓練 2 解 .a1= Si = i（ai 1）,二 ai= -. 3 2 1 又 a1+ a2= 3 = 3（a2 1）, 證明 / Sn= （a