最新1992考研數(shù)三真題及解析

1、學習-好資料更多精品文檔1992年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題、填空題(本題共5小題，每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1)設商品的需求函數(shù)為 Q =100 _5P ,其中Q, P分別表示為需求量和價格,如果商品需求彈性的絕對值大于1,則商品價格的取值范圍是°° (x _2)2n級數(shù)a (4的收斂域為nn 4 n4交換積分次序 f dyf (x, y)dx =設A為m階方陣，B為n階方陣，且A=a, B =b,C =IB將C,C,E,E, I, N,S等七個字母隨機地排成一行，那么，恰好排成英文單詞 SCIENCE的概率為二、選擇題(本題共5小題，每

2、小題3分，滿分15分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)設 F(x)xf(t)dt,其中f(x)為連續(xù)函數(shù)，則limF(x)等于X a aX >a(A) a2(B)a2f(a)不存在(D)(C) 0當Xr 0時，下面四個無窮小量中，哪一個是比其他三個更高階的無窮小量(A) x2(B)1 COSX(C) 、1 - X2 -1(D)x- tan x設A為m n矩陣，齊次線性方程組(A) A的列向量線性無關(C) A的行向量線性無關設當事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，則Ax = 0僅有零解的充分條件是(B)(D)A的列向量線性相關

3、A的行向量線性相關()(A) P(C) _ P(A) P(B) -1(B)P(C) _ P(A) P(B) -1(C) P(C)二 P(AB)(D)P(C) = P(AU B)設n個隨機變量X11X2|,Xn獨立同分布，D(X1-2J=-x Xi,n y()S是二的最大似然估計量)(D) S與X相互獨立設函數(shù)In cos(x -1)1 s in x21,x =1,問函數(shù)X =1.(x)在X = 1處是否連續(xù)？若不連續(xù)，修1 n _s2(XjX)2,則n - 1 i 4(A) S是二的無偏估計量(B)(C) S是二的相合估計量(即一致估計量三、(本題滿分5分)改函數(shù)在x =1處的定義使之連續(xù)四、

4、(本題滿分5分)計算I五、(本題滿分5分)-2設z=sin(xy):(xd),求 Z ,其中(u,v)有二階偏導數(shù)y ccy六、(本題滿分5分)X2 求連續(xù)函數(shù)f(x),使它滿足f(X) 2.° f (t)dt =x .七、(本題滿分6分)ji41 2x求證：當 x_1 時，arctanx arccos 22 1+x2八、(本題滿分9分)設曲線方程y二(x _0).(1) 把曲線y =e", x軸，y軸和直線x = (0)所圍成平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體體積7();求滿足V(a) = * lim 一 V ( J的a.(2) 在此曲線上找一點，使過該點的

5、切線與兩個坐標軸所夾平面圖形的面積最大，并求出該面積.九、(本題滿分7分)設矩陣A與B相似,其中-_-20 01-1 0 01A =2x2,B =0 2 03 1 1 一0 0 y求x和y的值.求可逆矩陣P,使得PAP=B.十、（本題滿分6分）已知三階矩陣B = 0,且B的每一個列向量都是以下方程組的解為 2x2 -2x3 = 0, 2xi - X2 * X3 二 0,3xiX2 _X3 = 0.（1）求九的值；（2） 證明B =0.十一、（本題滿分6分）（A 0）設A、B分別為m n階正定矩陣，試判定分塊矩陣 C=是否是正定矩陣.3 b丿十二、（本題滿分7分）假設測量的隨機誤差 X L N（

6、0,102）,試求100次獨立重復測量中，至少有三次測量誤差 的絕對值大于19.6的概率：，并利用泊松分布求出:-的近似值（要求小數(shù)點后取兩位有效數(shù) 字）.附表1234567e0.3680.135 0.0500.0180.007 0.002 0.001十三、（本題滿分5分）一臺設備由三大部分構(gòu)成，在設備運轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應為0.10,0.20 和0.30.假設各部件的狀態(tài)相互獨立，以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求X的數(shù)學期望EX和方差DX .十四、（本題滿分4分）設二維隨機變量（X,Y）的概率密度為e"f(x，八 00 x y,其他，（1）求隨機變量 X的密度fx（x）;

7、 （2） 求概率PX 1.1992年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題解析一、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.)(1)【答案】(10,20【解析】根據(jù) Q(P) =100-5P _0,得價格P乞20,又由Q=100-5P得Q(P) = -5,按照經(jīng)濟學需求彈性的定義，有P邊Q(P)5P100 5P5P5P100 5P100 5P令1,解得P 10.所以商品價格的取值范圍是(10,20.(2)【答案】(0,4)【解析】因題設的幕級數(shù)是缺項幕級數(shù),故可直接用比值判別法討論其收斂性首先當x-2=0即*=2時級數(shù)收斂當x = 2時，后項比前項取絕對值求極限有當(X "2)li

8、mn_ac(X_2)2(n 1(n 1)4n 1n4n(x-2)2n<1 ,即當 Oc|x2 c2二又當x =0和x =4時得正項級數(shù)所以正項級數(shù)丄是發(fā)散的.n 二 n綜合可得級數(shù)的收斂域是（0, 4）.lim 旦二口4 J n 140 ： x 2或2 x 4時級數(shù)絕對收斂:1 : 1'、-,由p級數(shù)：V 亠當p 1時收斂；當P豈1時發(fā)散. n4 n-P注：本題也可作換元（x-2）2二t后,按如下通常求收斂半徑的辦法討論幕級數(shù):t"亠的收心n4【相關知識點】收斂半徑的求法：如果P = liman卅n_咨an斂性.,其中an,an .1是幕級數(shù),則這幕級數(shù)的收斂半徑兩項的

9、系數(shù)'二anxn的相鄰n =0【答案】【解析】0,亍=0,P = -He1x2- 22 左W心加中叫f (x, y)dy這是一個二重積分的累次積分，改換積分次序時，先表成：原式二f(x,y)dxdy.D由累次積分的內(nèi)外層積分限確定積分區(qū)域D : D=(x,y) 0乞 y,. y 乞 x,2- y2,即D中最低點的縱坐標 y =0,最高點的縱坐標y =1, D的左邊界的方程是 y ,即y =x2的右支，D的右邊界的方程是 x2-y2 即x22的右半圓,從圖形可見D = D1D2,且從而畫出D的圖形如圖中的陰影部分U =(x,y)O 沁叮,0 曲乞 x2,D2二(x, y) 1一 x一 一

10、 2,0 一 y 一, 2 - x2.1u-21x2Q J2_x2所以 0 dy y f (x, y)dx = 0 dx 0 f (x, y)dy、dx 0 f (x, y)dy.【答案】(1)mnab【解析】由拉普拉斯展開式mnmn=(1)mn A|B =(1)mnab.【相關知識點】兩種特殊的拉普拉斯展開式：設A是m階矩陣，B是n階矩陣，則A OA *O A* Amn* B=O B=ABJB *=B O=(耳卜B【答案】 一1260【解析】按古典概型求出基本事件總數(shù)和有利的基本事件即可,將給出的七個字母任意排設所求概率為 P(A),易見,這是一個古典型概率的計算問題成一行，其全部的等可能排

11、法為7!種，即基本事件總數(shù)為 n = 7!,而有利于事件 A的樣本點212 1數(shù)為2! 2!,即有利事件的基本事件數(shù)為4,根據(jù)古典概型公式 P(A).7!1260二、選擇題(本題共5小題，每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(B),又分子分母在點0處導數(shù)都存在【解析】方法1: lim F(x)為“ 0 ”型的極限未定式XT0所以可應用洛必達法則.lim F(x)xa2二 lim xx 舊 x axf (t)dt 二 a a2 limx )axa f(t)dtx a=limx )aa2f (x)1=a2f (a).故應選(B).方法2:特殊值法.x2x2取 f (x) = 2 ,則 lim

12、F (x) = lim2dt = 2a .xx x _ a a顯然(A),(C),(D) 均不正確,故選(B).【相關知識點】對積分上限的函數(shù)的求導公式：i：(t)若 F(t)f(x)dx, ： (t), :(t)均一階可導，則(t)F(t) J '(t) f(t) f(t)l.【答案】(D)1 1. 【解析】由于 X 0 時，1-cosx X2, 1 - X2 -1X2 ,故 X2 ,1 COSX,訂X2 _12 2是同階無窮小，可見應選(D).【答案】(A)【解析】齊次方程組 Ax = 0只有零解二r( A)二n.由于r(A)=A的行秩=A的列秩，現(xiàn)A是m n矩陣，r(A) = n

13、,即A的列向量線性無關.故應選(A).【相關知識點】對齊次線性方程組Ax = 0,有定理如下：對矩陣A按列分塊，有A二r,-,：、，則Ax = 0的向量形式為Xr'1 X22 7( - XJn =0.那么，Ax=o有非零解：=冷線性相關u r ： 1,： 2,川,：n : nU r A : n.【答案】(B)【解析】依題意：由“當事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生”得出 AB C,故P( AB)乞P(C);由概率的廣義加法公式 P( AU B)二P(A) P(B) - P(AB)推出P(AB)二P(A) P(B)-P(AUB)；又由概率的性質(zhì) P(AUB)空1,我們得出P(C) _ P

14、(AB)二 P(A) P(B) _ P(AUB) _ P(A) P(B) _1,因此應選(B).【答案】(C)【解析】根據(jù)簡單隨機樣本的性質(zhì)，可以將X1,X2l(,Xn視為取自方差為 二2的某總體X的簡單隨機樣本，X與S2是樣本均值與樣本方差.2 2 2由于樣本方差S是總體方差的無偏估計量 ，因此ES = 一：； ,ES =匚,否則若ES=T , 則(ES)2 =；丁2, DS 二 ES2 - (ES)2 =0.故不能選(A).對于正態(tài)總體，S與X相互獨立，由于總體 X的分布未知，不能選(D).同樣因總體分 布未知，也不能選(B).綜上分析，應選(C).進一步分析，由于樣本方差S2是二2的一致

15、估計量 其連續(xù)函數(shù) sY 一定也是二的一致估計量.三、(本題滿分5分)【解析】函數(shù)f(x)在x = Xo處連續(xù)，則要求lim f(x)二f(Xo). x_x)方法1：利用洛必達法則求極限lim f (x),因為lim f (x)為“ 0 ”型的極限未定式，又分子分 j1I0母在點0處導數(shù)都存在，所以連續(xù)應用兩次洛必達法則，有si n(x-1)lim f (x)二 limX 1'， X 1.1 -si n21ln cos(x1)cos(x1)2. tan(x1)limlim兀x cos2X nx - x dcos2 242 . JI2cos2(x-1)lim：. J1(_sin)2 2而

16、fT故lim f (x)=1,所以f (x)在x=1處不連續(xù)4若令f(1)2,則函數(shù)f (x)在X=1處連續(xù).方法2:利用變量代換與等價無窮小代換,Xr 0 時,COSX -1|_1工 X2 ； |n(1x)Ux.求極限即,令x+t,則有l(wèi)n cos(x -1) lim f (x) =lim x_1 /X_1.1 -si n2ln cost =limt0,二 t1 - cos2ln1 (cost -1)1-cos 勺2=limt0cost -12t24=limt7 二-t222t28以下同方法1.四、(本題滿分5分)【解析】用分部積分法I = - arccot exde-earccot e-x

17、Xe2 x1 edx2x-e arccot ex - (1e2x)dx1 +e1二 -earccotexx ln(1 e2x) C , 其中 C 為任意常數(shù).注：分部積分法的關鍵是要選好誰先進入積分號的問題，如果選擇不當可能引起更繁雜的計算，最后甚至算不出結(jié)果來.在做題的時候應該好好總結(jié)，積累經(jīng)驗.【相關知識點】分部積分公式：假定u二u(x)與v = v(x)均具有連續(xù)的導函數(shù)，則uvdx 二 uv_ u vdx, 或者 judv = uv jvdu.五、(本題滿分5分)【解析】這是帶抽象函數(shù)記號的復合函數(shù)的二階混合偏導數(shù)，重要的是要分清函數(shù)是如何復合的由于混合偏導數(shù)在連續(xù)條件下與求導次序無關

18、,所以本題可以先求 ,再求厶(遷)excy ex1由復合函數(shù)求導法，首先求zx,由題設zx = y cos(xy)川J 2,y再對y求偏導數(shù)，即得11Zxy =cos(xy)xysin(xy) ( ) -( 2)y 2 2yy/ 、x1/ 、x+-徭Ay y-4；2y y= cos(xy) -xysin(xy) ':12xx1= cos(xy) xysin(xy) -二 爲一飛 22；yyy【相關知識點】多元復合函數(shù)求導法則：如果函數(shù)U二(x, y), v='- (x, y)都在點(x, y)具有對x及對y的偏導數(shù)，函數(shù)z二f (u,v)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合

19、函數(shù)=f ( (x, y)(x, y)在點(x, y)的兩個偏導數(shù)存在，且有-：z:z ；:u=x.x:y-：z -：u=r.:u : y:z -：vuf1 ：:y六、(本題滿分5分)【解析】兩端對 x求導,得f (x) 2f(x) =2x.記P(x) =2,Q(x) =2x,有通解f (x)二 e Pgdx( Q(x)e P°°dXdx C)二 e'x( 2xe2xdx C)二 Ce"x x* ,其中C為任意常數(shù)111由原方程易見f (0) =0,代入求得參數(shù)C.從而所求函數(shù)f (x)e"2x x .222【相關知識點】一階線性非齊次方程y &

20、#39; P(x)y二Q(x)的通解為-P(x)dx=e! Q(x)eP(x)dxdx+C其中C為任意常數(shù)七、(本題滿分6分)1【解析】方法1 :令f(x)"rctanxhrccos2x 二1 x4,則f (x)二2 22Ux)(1x),0(x.1).2 2 2 21 x 2 (x -1)(1 x )因為f (x)在1,=)連續(xù),所以f (x)在1,=)上為常數(shù),因為常數(shù)的導數(shù)恒為0.1 2 X 3T 故 f(x) = f(1)=O,即 arctanx arccos21 x242 x二 ,則f(x)在1,x上連續(xù)，在(1,x)內(nèi)可導,1 x24、 1 方法 2：令 f(x)二arct

21、anxarccos由拉格朗日中值定理知，至少存在一點(1,x),使得2f(x)-f(1)= f ( )(x-1).由復合函數(shù)求導法則，得f (x)12 (1 X2)(1 X2)1 x22 (x2 -1)(1 x2)2三 0(x1),2x1 x2'g(x)l譽f(u)g(X)或dy dy du=dx du dx1所以 f (x)二 f (1).由 f (1) =0 可得，當 x _ 1 時，arctanxarccos-2【相關知識點】復合函數(shù)求導法則如果u =g(x)在點x可導，而y = f (x)在點u =g(x)可導，則復合函數(shù) y =在點x可導,且其導數(shù)為V(),并求出極限lim

22、V().問題八、(本題滿分9分)【解析】對于問題(1),先利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的公式求 (2)是導數(shù)在求最值中的應用，首先建立目標函數(shù)，即面積函數(shù)，然后求最大值(1)將曲線表成y是x的函數(shù)，套用旋轉(zhuǎn)體體積公式V( )0 y2dx =： .0egdx = 2(1-e),V(a)=邪1 一e ),兀亠兀1由題設知一(1-e),得a In 2.242 過曲線上已知點(X0,y°)的切線方程為y - y° = k(x-X。)，其中當y(x°)存在時,k = y (xo).設切點為(a,e)，則切線方程為y=：-e(x-a).令 x=0,得 y=e(1 a),令 y =0,得

23、 x = 1 a.由三角形面積計算公式，有切線與兩個坐標軸夾的面積為S = 1 (1 a)2e.21 1因 SJ(1 a)e(1 a)2e(1 - a2)e,令 S” = 0,得印=1,a2=1(舍去).由于當a .1時，S0；當a 1時，S，0.故當a =1時，面積S有極大值，此問題中即為最 大值.1故所求切點是(1 e J)，最大面積為S22=2e.2【相關知識點】由連續(xù)曲線y二f (x)、直線x二a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋b 2轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積為：Vf (x)dx.La九、(本題滿分7分)【解析】因為 AL B，故可用相似矩陣的性質(zhì)建立方程組來求解參數(shù)x和y的值.若P

24、 AP二上,則上是A的特征向量.求可逆矩陣P就是求A的特征向量(1)因為AL B，故其特征多項式相同，即hEA = XEB ,即2c 2) (x 1)， (x -2)1)( -2)C - y).由于是的多項式，由的任意性,令，=0,得 2(x'2) =2y.令' =1,得 3 (-2) =-2(1-y).由上兩式解出y - -2與x = 0.由(1)知 200.311一 .0因為B恰好是對角陣，所以馬上可得出矩陣A的特征值，矩陣A的特征值是1 二 T, 2=2, 13 - -2 .1 0當人=一1 時，由(一EA)x = 0, -2-1._3 _10100-2 T012-200

25、0j得到屬于特征值，=-1的特征向量 r二(0, -2,1)T .0100_2t01-1100040當為=2 時，由（2E_A）x = 0, _22七 -1得到屬于特征值衆(zhòng)=2的特征向量：2 =(0,1,1)T 000111當為=-2 時，由（2EA）x=0,222T010-3-13000得到屬于特征值，=-2的特征向量：飛=（1,0,-1）丁.1 10 ,有 PAP = B.-10 0那么令 P =（_!,口2,口3）= -2 1-1 1十、(本題滿分6分)【解析】對于條件AB=0應當有兩個思路：一是B的列向量是齊次方程組 Ax = 0的解；另 一個是秩的信息即r(A) r(B)乞n.要有這

26、兩種思考問題的意識 .廣12-2、(1)方法1：令A= 2 1 人,對3階矩陣 A,由AB=0, BH0知必有 A=0,否則A<3 1 一1丿可逆,從而B =A(AB) =A0 =0,這與B = 0矛盾.故12-2A = 2-1=0,2 1-1用行列式的等價變換，將第三列加到第二列上,再按第二列展開，有-2九=5（幾一1） = 0 .-1解出=1 .方法2：因為B = 0,故B中至少有一個非零列向量.依題意，所給齊次方程組 Ax二0有非零 解，得系數(shù)矩陣的列向量組線性相關 ，于是1 2 -2A = 2-1 丸=0,3 1-1以下同方法一.(2)反證法：對于 AB=0,若B0,則B可逆,那

27、么A=(AB)B，=0B=0.與已知條件A0矛盾.故假設不成立，B =0.【相關知識點】對齊次線性方程組Ax = 0,有定理如下：對矩陣A按列分塊，有A二r2,|H,n ,則Ax = 0的向量形式為Xv:>1 X22 丨 1( Xn-“ = 0.那么,AX=0有非零解 =2,川n線性相關U r ： 1,： 2,川,：n ： n= r A : n.對矩陣B按列分塊,記B=(r23),那么AB 二 AG23)=(Ar AzAQ =(0,0,0)因而 A = 0 i =(1,2,3),即：j 是 Ax = 0 的解.十一、(本題滿分6分)【解析】在證明一個矩陣是正定矩陣時，不要忘記驗證該矩陣是

28、對稱的方法1:定義法.因為A、B均為正定矩陣，由正定矩陣的性質(zhì)，故人丁二A, 二B ,那么'A 0 'Tf .T小、A10A 0 'CT =T=<0B<0 B丿<0B,=C ,即C是對稱矩陣設 m n維列向量 ZT =(Xt,Yt),其中 XT =(x1,x2,|l|,Xm),YT =(如,y2,川,yn), 若Z =0,則X,Y不同時為0,不妨設X=0,因為A是正定矩陣，所以XtAX 0 . 又因為B是正定矩陣，故對任意的n維向量丫，恒有YTAY _ 0 .于是ZTCZ =(Xt,Yt) !|A 叫X= XtAX +YtAYa0,0 bJ(y丿即zt

29、cz是正定二次型，因此C是正定矩陣.方法2:用正定的充分必要條件是特征值大于0,這是證明正定時很常用的一種方法因為A B均為正定矩陣，由正定矩陣的性質(zhì)，故A, B ,A 0、1'A0、'A 0、衛(wèi)B>Bl<0B那么CT=C ,即C是對稱矩陣設A的特征值是1,'2,山，m, B的特征值是叫2,川，九由A, B均正定,知0宀 0 （i =1,2J|I, m, j =1,2川|, n）.因為丸 Em A 0hE -C =九 Em - A hEn-B0人 En _ Bmn二- l I H '- m L 1 H I '- "m，于是,矩陣C的

30、特征值為idllm,1（宀.因為C的特征值全大于0,所以矩陣C正定.十二、（本題滿分7分）【解析】設事件 A= “每次測量中測量誤差的絕對值大于19.6 ”，因為 X L N（0,102）,即EX =0,DX =；丁2 =102.根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)則有：, Dx 卩 19 6-1p = P（A） = PX >19.6 = P2 >U a a J c |X -0|19.6-0 c IX I=PP1.96I 1010 J I 10 Jx1=1P -1.961.96 =1 一 （1.96）：（一1.96）丨I10J=1 一：（1.96） -（1 一：（1.96） =2-2：（1.96）

31、= 2（1 _門（1.96） =0.05.設Y為100次獨立重復測量中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)，則Y服從參數(shù)為n =100, p= 0.05 的二項分布.根據(jù)二項分布的定義，pY = k=C：pk(1p)n°(k= 0,1,2IH),則至少有三 次測量誤差的絕對值大于 19.6的概率為：:=PY - 3 = 1 _ PY : 3 = 1 _ PY = 0 _ PY = 1 - PY = 20 0 100 1 1 100 1 2 2 100 2 =1 - Go。0.05 (1 - 0.05)- C100 0.05 (1 - 0.05) 一 C100O.O5 (1 - 0.05)-100991

32、00 漢 99982=1一0.95 一100 0.950.050.950.052.2根據(jù)泊松定理，對于成功率為 p的n重伯努利試驗，只要獨立重復試驗的次數(shù)n充分大,而p相當小(一般要求n _ 100, p乞0.1),則其成功次數(shù)可以認為近似服從參數(shù)為的泊松分布，具體應用模式為若 Y J B(n, p),則當n充分大，p相當小時當丫近似服從參數(shù)為=np的泊松分布，即PY =k,C：pk(1- p嚴曲ep(k =0,1,2|(). k!設丫為100次獨立重復測量中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則丫服從參數(shù)為n = 100, p = 0.05的.項分布.故，=PY _3 =1 _PY : 3 =1 _ PY =

33、0 _ PY =1 _PY =2.1 (-)0-1 0!.(/.).( Z-)eee一二 1 e_ (一e1! 2! 2丄5 一-52、(1 5 孑787.十三、(本題滿分5分)【解析】令隨機變量X；1,i 0,第i個部件需調(diào)整，第i個部件不需調(diào)整，= 1,2,3.依題意X1.X2.X3相互獨立，且X1,X2, X3分別服從參數(shù)為0.1,020.3的0-1分布，即由題意知X =X1 X2 X3,顯然X的所有可能取值為0,1,2,3,又Xl X2, X3相互獨立所以(1) PX =0 =PX, X2 X3 =0 = PX, =0,X2 =0,X3 =0 二 PXi =0PX2 =0PX3 =0 =0.9 0.8 0.7 =0.504,PX =1 =PX, X2 X3 =1= PX, =1,X2 =0,x3 =0PXj =0,X2 =1,x3 =0 - PXj =0,X2 =0, x3 =1= PXj =1PX2 =0PX3 =0PXj =0PX2 =1PX3 =0 PXj =0PX2 =0