系統(tǒng)辨識自適應控制

1、1.1討論系統(tǒng)方程為：（信噪比）至少30%為零均值白噪聲， 0.80.6 0.5 (0k3000.3 (k300)要求對系統(tǒng)參數(shù)辨識進行討論（1） 定常系統(tǒng) a=0.8,b=0.5參數(shù)遞推估計（2） 時變系統(tǒng)取不同值是的不同結(jié)果并討論。（1）取初值P(0)=106I、（0）=0選擇方差為1的白噪聲作為輸入信號u（k），L=300，采用RLS算法進行參數(shù)估計，代碼及仿真結(jié)果圖如下：clear all;close all;a=1 0.8'b=0.5'd=1; %對象參數(shù)na=length(a)-1;nb=length(b)-1; %na、nb為A、B階次 L=300; %仿真長度u

2、k=zeros(d+nb,1); %輸入初值：uk(i)表示u(k-i)yk=zeros(na,1); %輸出初值u=randn(L,1); %輸入采用白噪聲序列xi=sqrt(0.1)*randn(L,1); %白噪聲序列 theta=a(2:na+1);b; %對象參數(shù)真值thetae_1=zeros(na+nb+1,1); %thetae初值P=106*eye(na+nb+1);for k=1:L phi = -yk;uk(d:d+nb); %´此處phi為列向量 y(k)=phi'*theta + xi(k); %采集輸出數(shù)據(jù) %遞推最小二乘法 K=P*phi/(1+

3、phi'*P*phi); thetae( : ,k)=thetae_1 + K*(y(k)-phi'*thetae_1); P=(eye(na+nb+1)-K*phi')*P; %更新數(shù)據(jù) thetae_1 = thetae( : ,k); for i=d+nb:-1:2 uk(i)=uk(i-1); end uk(1)=u(k); for i=na:-1:2 yk(i)=yk(i-1); end yk(1)=y(k);endplot(1:L,thetae); %line(1,L,theta,theta);xlabel('k');ylabel('

4、參數(shù)估計a、b');legend('a_1','b_0');axis(0 L -2 2);圖1-1 遞推最小二乘法的參數(shù)估計結(jié)果（2）取初值P(0)=106I、（0）=0選擇方差為1的白噪聲作為輸入信號u（k），取分別為0.91,0.95,0.98,1.00時，L=600，采用FFRLS算法進行參數(shù)估計，代碼及仿真圖如下所示：clear all;close all;a=1 0.8'b=0.5'd=1; %對象參數(shù)na=length(a)-1;nb=length(b)-1; %na、nb為A、B階次 L=600; %仿真長度uk=zeros

5、(d+nb,1); %輸入初值：uk(i)表示u(k-i)yk=zeros(na,1); %輸出初值u=randn(L,1); %輸入采用白噪聲序列xi=sqrt(0.1)*randn(L,1); %白噪聲序列 thetae_1=zeros(na+nb+1,1); %thetae初值P=106*eye(na+nb+1);lambda=0.98; %遺忘因子范圍0.9 1for k=1:L if k=301 a=1 0.6'b=0.3' %對象參數(shù)突變 end theta( : ,k)=a(2 : na+1);b; %對象參數(shù)真值 phi = -yk;uk(d:d+nb); %&

6、#180;此處phi為列向量 y(k)=phi'*theta( : ,k) + xi(k); %采集輸出數(shù)據(jù) %遺忘因子遞推最小二乘法·¨ K=P*phi/(lambda+phi'*P*phi); thetae( : ,k)=thetae_1 + K*(y(k)-phi'*thetae_1); P=(eye(na+nb+1)-K*phi')*P/lambda; %更新數(shù)據(jù) thetae_1 = thetae( : ,k); for i=d+nb:-1:2 uk(i)=uk(i-1); end uk(1)=u(k); for i=na:-1:2

7、 yk(i)=yk(i-1); end yk(1)=y(k);endsubplot(1,2,1)plot(1:L,thetae(1:na,:);hold on;plot(1:L,theta(1:na,:),'k:');xlabel('k');ylabel('參數(shù)估計a');legend('a_1');axis(0 L -2 2);subplot(1,2,2)plot(1:L,thetae(na+1:na+nb+1,:);hold on;plot(1:L,theta(na+1:na+nb+1,:),'k:');xla

8、bel('k');ylabel('參數(shù)估計b');legend('b_0');axis(0 L -0.5 2);圖1-2-1 遺忘因子遞推最小二乘法的參數(shù)估計結(jié)果（=0.91）圖1-2-2 遺忘因子遞推最小二乘法的參數(shù)估計結(jié)果（=0.95）圖1-2-3遺忘因子遞推最小二乘法的參數(shù)估計結(jié)果（=0.98）圖1-2-4 遺忘因子遞推最小二乘法的參數(shù)估計結(jié)果（=1）由以上可以看出，技術(shù)對于參數(shù)突變的系統(tǒng)，采用FFRLS算法也能夠有效地進行參數(shù)估計。當取遺忘因子=1時，F(xiàn)FRLS將退化為普通的RLS算法，仿真結(jié)果如圖1-2-4所示?？梢钥闯?，RLS對于參數(shù)

9、時變系統(tǒng)，即使增加數(shù)據(jù)長度，也不能有效地跟蹤參數(shù)的變化。2.2已知系統(tǒng)方程為：其中e（k）為白噪聲，在輸入信號為方波時，分析：1. 系統(tǒng)開環(huán)響應情況；2. 在PID控制下，系統(tǒng)閉環(huán)響應；3. 在最小方差控制下，系統(tǒng)閉環(huán)響應。解：（1）系統(tǒng)處于開環(huán)情況下，系統(tǒng)的輸入u(k)即為方波信號期望輸出為方波，搭建Simulink系統(tǒng)方框圖如下：圖中；Discrete Filter1模塊表示輸入白噪聲的傳遞函數(shù)C（z）A(z)；Discrete表示輸入輸出開環(huán)傳遞函數(shù)B（z）A(z)；信號發(fā)生器發(fā)出方波信號。最終仿真結(jié)果為： 表明，在開環(huán)情況下，系統(tǒng)輸出震蕩極大且嚴重偏離期望輸出值。（2）當系統(tǒng)施加PID

10、控制時，使用Simulink搭建系統(tǒng)仿真模塊如下：圖中模塊搭建仿照PID閉環(huán)控制方框圖搭建，圖中三個增益分別為：Pi、Ki、Kd；因此在仿真過程中只需要對這三個參數(shù)進行調(diào)節(jié)。最終的仿真結(jié)果如下?？梢钥闯觯┘覲ID控制以后系統(tǒng)的輸出得到明顯改善，實際輸出在期望輸出的周圍波動。誤差明顯減少。（3） 對系統(tǒng)施加最小方差控制。由于系統(tǒng)已知即：系統(tǒng)階次和系統(tǒng)參數(shù)A(z-1)、B（z-1）、C（z-1）皆為已知，則最小方差控制：由上式得：最小方差控制預測方程為：預測誤差為:控制律為：由此搭建Simulink仿真圖形可得：輸入方波信號得仿真結(jié)果如下：從響應圖中可以看出普通PID設計系統(tǒng)很快就達到了穩(wěn)定，并

11、且系統(tǒng)調(diào)整明顯能很快的達到收斂，但它使輸入信號的幅值有所減小。采用最小方差調(diào)節(jié)器構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)后，穩(wěn)定后響應的偏差減小，并且使控制過程得到了很大的改善，讓系統(tǒng)很快就達到穩(wěn)定。3.3進行基于波波夫穩(wěn)定性理論的MRAS設計及算法仿真在應用波波夫超穩(wěn)定性理論設計自適應系統(tǒng)時,可遵循以下步驟：（1）把模型參考自適應系統(tǒng)等效成非線性時變反饋系統(tǒng)；（2）按照超穩(wěn)定性理論,分別使等效反饋方塊滿足波波夫積分不等式和使等效前向方塊G(s)為正實傳遞函數(shù)；（3）確定合適的自適應控制規(guī)律。如果前向方塊傳遞函數(shù)分子與分母的階差超過1,就不滿足嚴格正實條件,則要在前向方塊串聯(lián)一個補償器,使原來的前向方塊和補償器串聯(lián)后的方

12、塊的階差等于1,即為嚴格正實傳遞函數(shù)。再在此基礎上確定自適應控制規(guī)律。例如在右圖所示自適應控制系統(tǒng)中，自適應控制律參考模型：可調(diào)系統(tǒng)：為線性補償器，為調(diào)節(jié)器，可按以下步驟利用超穩(wěn)定性理論設計自適應控制器：（1）將模型參考自適應控制系統(tǒng)化成一個前向線性模塊和一個非線性的反饋方塊。由參考模型：，可調(diào)系統(tǒng)：，得，模型微分方程為：可調(diào)系統(tǒng)微分方程為：其中 （1）先將模型微分方程化為狀態(tài)方程，令狀態(tài)變量：則有如下關系：寫成狀態(tài)空間方程組形式為：令參考模型可寫成： （2）同理將可調(diào)系統(tǒng)寫成狀態(tài)空間方程組形式：根據(jù)式（1），令則可調(diào)系統(tǒng)變?yōu)椋?（3）用狀態(tài)方程表達的MRAC系統(tǒng)可用下圖所示。用狀態(tài)方程表達的

13、MRAC系統(tǒng)此時廣義狀態(tài)誤差為： （4）對式（4）兩邊求導得： （5）為使前向模塊嚴格正實，在前面串入一個線形補償器。使 （6）采用PI型調(diào)節(jié)規(guī)律： （7）其中，和是和同維的矩陣。將上式帶入式（5）得到 （8） （9）等價的MRAC系統(tǒng)如下圖所示。等價MRAC系統(tǒng)（2）使反饋方框滿足波波夫積分不等式，設計一部分自適應律?，F(xiàn)在使?jié)M足波波夫不等式： （10）其中是任意一個正數(shù)。將式（9）帶入上式得： （11）將上式分解為： （12） （13）將和分解為列向量： （14） （15）假設可表示為 （16）將式（14）（15）（16）代入（12）得： （17）使上式成立的充分條件是求和符號中的每一項滿足

14、同樣不等式，即： （18）我們令 （19）把看成一個系統(tǒng)的脈沖響應矩陣，則表示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。式（18）中可以看成同一系統(tǒng)在時的輸出，它等價于某一有限常數(shù)向量為輸入信號時的作用的結(jié)果 （20）將式（19）（20）代入式（18）： （21）當為一個正定積分核時，上式右一項大于等于零。即假設成立。則有 （22）為了使式（13）成立，可選 （23） （24）則成立。所以 （22）是一個所需方案。（3）使前向模塊為嚴格正實的，決定第一部分自適應律。 （23）必須嚴格正實。找到對稱正定陣和，使 （24）滿足上式的解必然能是式（23）嚴格正實。為了使參數(shù)得到收斂，除了外，還應該 （25）且要求和線性獨立，即參考模型完全可控、的每個分量線性獨立，且都要包含有多于個不同頻率的正弦信號所組成。（4）確定和，做出自適應系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。MARC系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖由式（24）可知，的取法不是唯一的。設補償器由系統(tǒng)狀態(tài)空間描述得，設，若選，則Q顯然為正定對稱陣。根據(jù)式（24），可求得。因此，從而得的選?。哼x取方法不同，將得到不同類型的自適應規(guī)律，如比例式自適應控制、繼電式自適應控制。只要所選取的滿足非負定條件。如1)比