柳卡圖解決多次相遇與追及問(wèn)題

1、數(shù)海拾貝我不知道世人怎樣看我， 但我自己以為我不過(guò)像一個(gè)在海邊玩耍的孩子，不時(shí)為發(fā)現(xiàn)比尋常更為美麗的一塊卵石或一片貝殼而沾沾自喜，至于展現(xiàn)在我面前的浩翰的真理海洋，卻全然沒(méi)有發(fā)現(xiàn)。-牛頓（英國(guó)）柳卡圖解決多次相遇與追及問(wèn)題解多次相遇問(wèn)題的工具一一柳卡柳卡圖，不用基本公式解決， 快速的解法是直接畫(huà)時(shí)間 -距離圖，再畫(huà)上密密麻麻的交叉線, 按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相遇的次數(shù)相遇的地點(diǎn)”，以及 由相遇的地點(diǎn)求出全程 ”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè) 物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少？（下面的例題基本都是先求得時(shí)間，然后畫(huà)出準(zhǔn)確的柳卡圖，若用比例的方法

2、更快更方便，本講暫不用比例來(lái)解答，有興趣的同學(xué)可以自己 畫(huà)畫(huà)看）如果不畫(huà)圖，單憑想象似乎對(duì)于像我這樣的一般人兒來(lái)說(shuō)不容易?！纠?】 每天中午有一條輪船從哈佛開(kāi)往紐約，且每天同一時(shí)刻也有一艘輪船從紐約開(kāi) 往哈佛輪船在途中均要航行七天七夜試問(wèn)：某條從哈佛開(kāi)出的輪船在到達(dá)紐約前（途 中）能遇上幾艘從紐約開(kāi)來(lái)的輪船？解答：（這題不是我解答的）這就是著名的柳卡問(wèn)題下面介紹的法國(guó)數(shù)學(xué)家柳卡斯圖姆給出的一個(gè)非常直觀巧妙的解法.他先畫(huà)了如下一幅圖：這是一張運(yùn)行圖.在平面上畫(huà)兩條平行線，以一條直線表示哈佛，另一條直線表示紐 約那么，從哈佛或紐約開(kāi)出的輪船，就可用圖中的兩組平行線簇來(lái)表示.圖中的每條線段分別表示每

3、條船的運(yùn)行情況.粗線表示從哈佛駛出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點(diǎn)即為與對(duì)方開(kāi)來(lái)輪船相遇的情況.從圖中可以看出，某天中午從哈佛開(kāi)出的一條輪船（圖中用實(shí)線表示） 會(huì)與從紐約開(kāi)出的15艘輪船相遇（圖中用虛線表示）而且在這相遇的15艘船中，有1艘是在出發(fā)時(shí)遇到（從紐約剛到達(dá)哈佛），1艘是到達(dá)紐約時(shí)遇到（剛好從紐約開(kāi)出），剩下13艘則在海上相遇；另外，還可從圖中看到，輪船相遇的時(shí)間是每天中午和子夜.如果不仔細(xì)思考，可能認(rèn)為僅遇到7艘輪船這個(gè)錯(cuò)誤，主要是只考慮以后開(kāi)出 的輪船而忽略了已在海上的輪船.【例 2 】 甲、乙兩人在一條長(zhǎng) <?xml:namespace prefix = st1 /

4、><?xml:namespace prefix= st1/><?xml: namespaceprefix = st1 /><?xml: namespaceprefix = st1/><?xml: namespace prefix = st1 />的直路上來(lái)回跑步，甲的速度是每秒，乙的速度是每秒0.6米如果他們同時(shí)分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？解答：甲行一個(gè)全程用30勻=30秒，乙行一個(gè)全程用30弋.6=50秒，然后畫(huà)出下面柳卡圖：i甲，甲，乙】甲，乙20甲.從圖上看出，甲乙分別從兩端出發(fā)，150秒后又回到來(lái)位置，

5、所以可以看成150秒一個(gè)周期, 甲乙在1個(gè)周期里共相遇了 5次，10 >60出50=4個(gè)周期，共相遇了 4 X5=20次。【例3】 A、 B兩地相距，甲從 A地、乙從 B地同時(shí)出發(fā)，在 A、 B兩地間往返鍛 煉乙跑步每分鐘行，甲步行每分鐘行在30分鐘內(nèi)，甲、乙兩人第幾次相遇時(shí)距B地最近（從后面追上也算作相遇 ）？最近距離是多少？解答：知道了兩地的距離，需要求出每個(gè)人走一個(gè)全程所用的時(shí)間，方便畫(huà)出柳卡圖。乙行一個(gè)全程用1000 150=6又2/3分，甲行一個(gè)全程用 1000為0=16又2/3分。0246810121416 1S 20222426303230分鐘內(nèi)，兩人一共合行（150+60 ） X30 1000=6.3個(gè)全程。畫(huà)出圖后，可以很清楚的可 以看到第3次相遇離B地最近。下面只要求的第三次相遇點(diǎn)距離B地多少千米即可。第三次相遇兩人共行了3個(gè)全程，1000 X3- （150+60 ） =14又2/7分鐘，這時(shí)甲行了 60 X14又2/7=6000/7 米，距離乙地還有 1000- 6000/7=142又6/7米。【鞏固】A、 B兩地相距甲、乙兩人同時(shí)由A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí)甲步行，每分鐘走；乙跑步，每分鐘行則甲、乙二人第幾次迎面相遇時(shí)距B地最近？解答：甲走一個(gè)全程需要 950 20=23.75分鐘，乙行一個(gè)全程需要 950 +150=6又1/3分