傅立葉Fourier變換

1、Fourier 變換積分變換變換是數(shù)學(xué)的靈魂.我們經(jīng)常利用變換把復(fù)雜運算轉(zhuǎn)化為簡單運算.例如， 解析幾何中的坐標(biāo)變換、復(fù)變中的保角變換，四則運算中利用對數(shù)變換可將積與 商轉(zhuǎn)化為加與減：lg(ab) lg a lg b, ig a lg a ig b ,再取反對數(shù)變換復(fù)原.b積分變換 T: AB, T(f) F( ) f(t)K(t, )dt,af (t) A 象原函數(shù)，F(xiàn)( ) B 象函數(shù)，K(t,)核.它實現(xiàn)了從函數(shù)類A到函數(shù)類B的變換.在一定條件下可逆.積分變換是應(yīng)用性很強的數(shù)學(xué)工具，在數(shù)學(xué)和其它學(xué)科中均有應(yīng)用.主要應(yīng)用：a.求解線性微分方程(組)；b.信號處理.第一章 Fourier變換

2、§1.1 Four ier 積分設(shè)fT為周期函數(shù)且以T為周期，在即：,T滿足Dirichlet收斂條件, 2 210連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;20只有有限個極值點.則在，的連續(xù)點t處，有fT (t)a0(ancosn2 n 1t bn sin n t)2T苴 中2-2l T, l 一T，2，2 T2I,'an - TfT (t)cosntdt,(n0,1,2,3,)T 22 T2 .bn T22 fT(t)sinn tdt, (n 1,2,3,).1 , i i 、利用 Euler公式，轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)形式： cos -(e e ),sinj ),c0cncn(ncnfT(t)

3、a02anjbna02anjbn jn ten 12T2T2 fT (t)dt,2TT2 fT (t)cosn2anjbnjn te2t2 ,tdt j T fT(t)sin n2tdtan jbn21,2,3,).代入(1)得:cn可合寫成:TT2 fT(t)ejn tdt, 2TT2 fT(t)e jn tdt, 22n(nZ)fT(t)c。j n t cnecneFourier級數(shù)的復(fù)數(shù)形式.fT(t)Tn)eej(2).limT設(shè)f(t)為非周期函數(shù)f(t),作周期T0的函數(shù)：2T, 2.f (t) limTf"t) (2)式I /、T ( )eejf(t)2為Fourier

4、 積分公式, 它成立的條件為：f( )eej td , t (Fourier積分定理.若f(t)在)上滿足:10 f(t)在任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件;20f(t) dt收斂,即f(t)絕對可積.則在Cauchy主值意義下,廣義積分在連續(xù)點t處成立.(在間斷點t處，公式(3)右邊收斂于1-f (t 0)2f(t 0).f(t)dt0f(t)dtf(t)dtAimf(t)dtBlimB0 f (t)dt；等數(shù)學(xué))按Cauchy主值意義收斂:(C)f(t)dtlimAAf(t)dt.例如： sintdtsintdt0 sintdtcostcost發(fā)散;(C) sintdt /mAAs

5、intdtAlim0公式(3)可化為三角形式:f(t)f()ej(t)df()cos(t)df ( ) sin (t)d(關(guān)于偶、奇函數(shù))f()cos (t)df()(cos tcossin t sin )d(兩角差公式).若f(t)是奇函數(shù)，有 f (t)0 f( )sin( )d sin t d ,(Four ier正弦積分公式)；(4)若f(t)是偶函數(shù)，有 f (t)° f ( )cos( )d cos t d ,(Four ier余弦積分公式).(5)注：若f(t)僅在0,)上有定義，可采用類似于Fourier級數(shù)中的奇延拓或偶延拓方法，得到f(t)相應(yīng)的Fourier正弦

6、積分展開式或Fourier余弦積分展開§1.2 Fourier 變換1. Fourier 變換設(shè)f(t)滿足Fourier積分定理條件，則在連續(xù)點處，有f(t)f( )e j dej td記F()f(t)ej tdt Ff(t)f (t)的Fourier變換式.F()ej tdF 1F()F ()的 Fourier 逆變換f2f (t)象原函數(shù)Fourier變換核A為Fourier變換對K( ,t) e j tf (t) F F()稱當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時，由(4)式，稱Fs()Fsf(t)0 f(t)sintdt 為f (t)的Fourier正弦變換式；i2稱 f Fs Fs( )

7、0 Fs( )sin td 為 F()的 Fourier 正弦當(dāng) f(t)為偶函數(shù)時，由(5)式，稱 Fc( )Fc f (t) o f(t)cos tdt 為f (t)的Fourier余弦變換式；一，、L 12稱f(t)Fc Fc( ) 0 Fc()cos tdt為 F()的 Fourier 余弦逆變換式.，、1,0t 1 .一、一一 .一、一例1.求f (t)的Fourier正弦變換和余弦變換.0, t 11 cos解：先將f(t)進行奇延拓，得f(t)的Fourier正弦變換為Fs()再將f(t)1Fs f (t) o 堆)sintdt osin tdt);進行偶延拓，得f (t)的Fo

8、urier余弦變換為Fc()Fc f ° f(t)cos tdt1cos0tdtsin例2.求指數(shù)衰減函數(shù)f(t)0,e t0)的Fourier變換及積分表達(dá)式. 解F( ) Ff(t)f(t)ej tdt0dtj)tdtf(t) F11F()F()ejtdejtdcostsin 122Fourier0,cos0t sinf(0 0)例3.求f(t)A,0,的Fourier變換.F()f(t)etdt10dt1Ae j tdt10dt).2Asin2.單位脈沖函數(shù)及 Fourier變換在物理、力學(xué)、電工學(xué)中，常遇到單位脈沖函數(shù).這類函數(shù)與具有脈沖性質(zhì)的現(xiàn)象有關(guān).如在電流為0的電路中，

9、t 0瞬時進入一單位電量脈沖，電量函數(shù)不存在.motq(mo0,t01,t0為 q(t)-t /k q -t /k 流 電稱電流函數(shù)i(t)為Dirac函數(shù)或0,t 0(t) i(t),t 0義).R的數(shù)函數(shù)，記(物理定義或形式定Vi(t)學(xué)定義)表示定義于()上的無窮次連續(xù)可微函數(shù)的全體,作(t)1, t 0,(0, 其它0) 是一個廣義函數(shù)，(t)C*)(共腕空間)，它是的W極限:(t) w lim(t)(t)f (t)dtlirm(t)f(t)dtlim01 f(t)dt1f(f(0)f(t)t 0(01,f(t)(a)股(tt0)f(t)dtt0(x)f (xt°)dxf(x

10、 t。)f(t0) f(t)tt0x t0(t0為常數(shù)).(b)在(a)中，取f(t)1,(t)dt又稱(t)為單位脈沖函數(shù)圖形:FourierF(F(t)(t)etdtF(tt0)(tt°)etdte j t0,(t)(tt0)j t0在實際中，有些函數(shù)非絕對可積，如常數(shù)、符號函數(shù)、單位跳躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等，它們的廣義 Fourier變換存在.根據(jù) f(t) F(),可通過廣義Fourier逆變換來推導(dǎo)某些函數(shù)的廣義 Fourier變換.例1 ,證明：單位跳躍函數(shù) u(t)1, t 00, t 0的 Fourier變換為F()().證:111f(t)F 1F( ) 丁2

11、j()ej td1( "I ， Icos tsin td22 j1 1 sinx,1 1dx 20 x 221 1 sinx,1 1dx -20 x 221,0,1Fu(t) F( ) 1().Dirichlet 積分： 0 dx 二. 0 x 2同理可得：(a)令F( ) 2 (),.11j tf(t) F F( ) 2-2 ( )ej d1,即 1 F 2(),且 F1 e j tdt 2().(b)令1一f(t) 二 2(°)ejtdF( ) 2 (0),ej tej 0t ,即0ej 0t F 2 (0),且 e j(0)tdt2(0).例2.求f(t)cos 0t

12、0為常數(shù))的Fourier變換.解：F(cos 0 ttdt0t)e j tdtj(0)tdte j(0)tdtA20)0)Fsin0)0),j0)3.函數(shù)的頻譜(Fourier變換的物理意義)j 0t)ej tdt頻譜理論在無線電技術(shù)、聲學(xué)、振動學(xué)中有重要應(yīng)用, 密切關(guān)系.它與Fourier變換有(A)若f (t)是周期為T的函數(shù)，可展開成f(t)a。(an cos nt bn sin nt)a02Anbn,an jbn其第n次諧波(n 0, 1,2,3,T0堆)Asin(tdt,nntn)2n千)Ansin( ntAn:a；b；2Cn).稱An為f(t)的(振幅)頻譜，圖形A- n是頻譜圖

13、.這是離散頻譜圖.0 toCnej nt例如：周期T的矩形脈沖函數(shù)f(t)E, t0,為'Cof(t)dtCnf(t)ejn tdtjntdtE . n sin 一 n(n1,2, 3,).Fourier 級數(shù):f(t)頻譜:Ao2Co2ET時，A0頻譜圖:102(B),n二 nsin 一Tejn t2Cn2E .sin n(n 2E . nAnSin ,I.f(t)是非周期函數(shù)，滿足Fourier積分定理的條件，則有Fourier 變換F()f(t)e j tdt,f(t) 2F( )ej td在頻譜分析中，稱 F()為£。)的頻譜函數(shù)，頻譜.其圖形稱為頻譜圖.這是連續(xù)頻譜

14、圖.頻譜F()是偶函數(shù)：F()f (t) e j tdt =f (t) cos tdtf (t) sin tdt,f(t)F()f (t) costdtf (t) sintdt為偶函數(shù).例 1圖.解：頻譜函數(shù)F()f(t)e jtdt2 E e j tdt2在sin數(shù)的頻譜頻譜F()2642024CL 1.2 E - sin 2例2.作單位脈沖函數(shù)(t)的頻譜圖.解：頻譜函數(shù)：F(t)e j tdt 1頻譜:F( ) 1,(t)|F()頻譜圖:§1.3 Fourier假設(shè)以下需求 線性性質(zhì)變換的性質(zhì)Fourier變換的函數(shù)均滿足Fourier積分定理的條件.F f1(t) f2(t)

15、 Ff1(t)+Ff2(t),（象原函數(shù)）；2.1F 1 E( ) F2()f1(t)+f2 (t),（象函數(shù)）；為常數(shù)，F(xiàn)（位移性質(zhì)Ff(t to) e jF 1F(Ff(t to)e j toF 1F(解： f(t)t0Ffi(t),iFf(t),o) f(t) e j ot,f(t to)tdt1,2).（象原函數(shù)）；（象函數(shù)）；（to,f(u)uduj too)1, o,u(tF(f(t)t t, t tto),F( ) Fu(t to)3.微分性質(zhì)e j 0tu ttot u toFf(t)；o) ej td的頻譜函數(shù)Ff （t）.1Fu(t)-je j toFu(t),j tof(

16、u) e j (u to)duoF(u) ej(若 /m f(t) 0,則 Ff (t) j Ff(t),(象原函數(shù))；F ( ) F jt f(t),(象函數(shù)).證：Ff (t) f(t)ejtdt ejtdf(t) f(t)ejtt ( j ) f(t)ejtdt j FF( )& f(t)ejtdt( ejtdtF jt f(t).推論：若 Jim f(k) (t) 0, (k 0,1,2, ,n 1),則Ff(n)(t) (j )nFf(t), (象 原 函 數(shù))F(n)( )F( jt)n f (t),(象函數(shù)).(利用數(shù)學(xué)加納法可證之).d例 1 . Ft jF jt 1

17、j 丁 F1 j2 ( )2 j ()d(取 f(t) 1)Ft2 j2F( jt)2 1-d-rF12 ( )2().d廣義導(dǎo)數(shù)(t)的含義：(t)f (t)dt f (0)； f(t) C (,) .Ff(t).f(t) (t)dt f(t)d (t) f(t) (t) 同理， f(t) (n)(t)dt ( 1)nf(n)(0), 4.積分性質(zhì) t若 f(t)dt 0,則 F f (x)dxtg(t) f(x)dx ,則 g(t) f(t), g( ) 0g( ) f (x)dx 0階微分性質(zhì)得j Fg(t) ,Fg(t)1,Ff(t). j5.乘積定理Ffi(t),1,2fi(t) f

18、2(t)dtFi()F2()dFi()F2(fi(t) f2(t)dtfi(t)F2(ejtddtF2()f1(t)e j 11F2( ) F1()d6.能量積分記 F( )Ff(t),f(t)2dtF(Parseval 等證：在乘積定理中，取3(t)f2(t)f(t),可得.f(習(xí)題三.2.對稱性質(zhì)：若5(Ff(t),證明:f()2F( t)ejtdt,即FF( t).F( t)eF(t)ejtdtF( s)ej sdsj tdt右邊.3.相似性質(zhì)：若F( ) Ff(t),證明:Ff(at)1F(-).f (s) ejsads,證：Ff( at)f (at)e jtdt satf (s) e

19、jsads,jsf(s)e ads 1 f(_)§1.4卷積與相關(guān)函數(shù)卷積與相關(guān)函數(shù)是頻譜分析中的重要概念，是分析線性系統(tǒng)的有用工具.1.卷積（1）卷積概念點積：f1（t） f2（t）f1（t） f2（t）（點點相乘）.卷積：f1（t） f2（t）（f1f2）（t）f1（ ）f2（t ）d , t （,）（這里G（t）、f2（t）絕對可積，右端廣義積分收斂）性質(zhì):(a)交換律：3(t) f2(t)f2(t)f1 (t)；(b)分配律：f1 (t) f2(t)f3(t)f1(t)f2 (t)f1(t) f3(t)；(C)結(jié)合律："(t) f2(t) f3(t)九k)f3(t)

20、.(a)f1(t)f2(t)f1(M(t )d x t t xf"t x)f2(x)( dx)f2(x)f1(t x)dxf2(t)f1(t).(b)、(c)略.0, t 0例 1.設(shè) f1(t),f2(t)1, t 00, e tt 0t 0'求 f1(t)f2(t).）.要使被積函數(shù)不為0,解：f1(t) f2(t)M( )f2(t )d , t (必須 °,即0 t ,t 00d 0,fi(t)f2(t)ti e (t)d0e t(et e0) i例2.R50習(xí)題四.1(8).證明:f(t)明(tt0)f(t t。).f(t)(tt0)(t t°)f(t)t0)f(t)df(tt0 f(t2.若解fi(t)u(t)eat，f2(t)u(t)sin t,求 fi (t)fz(t).fi(t)f2(t)fi()f2(t)d ,0,fi(t)f2(t)fi( )f2