培優(yōu)提升立體幾何2

1、第五講 立體幾何【例 1】 如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體上放一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的小正方體，求這個(gè)立體圖形的表面積【解析】 我們把上面的小正方體想象成是可以向下“壓縮”的，“壓縮”后我們發(fā)現(xiàn)：小正方體的上面與大正方體上面中的陰影部分合在一起，正好是大正方體的上面.這樣這個(gè)立體圖形的表面積就可以分成這樣兩部分：上下方向：大正方體的兩個(gè)底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方體的四個(gè)側(cè)面，大正方體的四個(gè)側(cè)面上下方向：(平方分米)；側(cè)面：(平方分米)，(平方分米)這個(gè)立體圖形的表面積為：(平方分米)【例 2】 (2008年“希望杯”五年級(jí)第2試)如圖，棱長(zhǎng)分別為厘米、厘米、厘米、厘米的四個(gè)正方體緊貼

2、在一起，則所得到的多面體的表面積是_平方厘米【解析】 (法1)四個(gè)正方體的表面積之和為：(平方厘米)，重疊部分的面積為：(平方厘米)，所以，所得到的多面體的表面積為：(平方厘米)(法2)三視圖法從前后面觀察到的面積為平方厘米,從左右兩個(gè)面觀察到的面積為平方厘米，從上下能觀察到的面積為平方厘米表面積為(平方厘米)【例 3】 把19個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體重疊在一起，按右圖中的方式拼成一個(gè)立體圖形.，求這個(gè)立體圖形的表面積【解析】 從上下、左右、前后觀察到的的平面圖形如下面三圖表示因此，這個(gè)立體圖形的表面積為：2個(gè)上面?zhèn)€左面?zhèn)€前面上表面的面積為：9平方厘米，左表面的面積為：8平方厘米，前表面的面積為

3、：10平方厘米因此，這個(gè)立體圖形的總表面積為：(平方厘米) 上下面 左右面 前后面【鞏固】用棱長(zhǎng)是1厘米的立方塊拼成如右圖所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米?【解析】 該圖形的上、左、前三個(gè)方向的表面分別由9、7、7塊正方形組成該圖形的表面積等于個(gè)小正方形的面積，所以該圖形表面積為46平方厘米【例 4】 有30個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式，然后把露出的表面涂成紅色求被涂成紅色的表面積【解析】 (平方米)【例 5】 棱長(zhǎng)是厘米（為整數(shù)）的正方體的若干面涂上紅色，然后將其切割成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體至少有一面紅色的小正方體個(gè)數(shù)和表面沒有紅色的小正方體個(gè)數(shù)的比為，此時(shí)的

4、最小值是多少?【解析】 切割成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體共有個(gè)，由于其中至少有一面是紅色的小正方體與沒有紅色面的個(gè)數(shù)之比為，而，所以小正方體的總數(shù)是25的倍數(shù)，即是25的倍數(shù)，那么是5的倍數(shù)當(dāng)時(shí)，要使得至少有一面的小正方體有65個(gè)，可以將原正方體的正面、上面和下面涂色，此時(shí)至少一面涂紅色的小正方體有個(gè)，表面沒有紅色的小正方體有個(gè)，個(gè)數(shù)比恰好是，符合題意.因此，的最小值是5【例 6】 有64個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的同樣大小的小正方體，其中34個(gè)為白色的，30個(gè)為黑色的現(xiàn)將它們拼成一個(gè)的大正方體，在大正方體的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【解析】 要使大正方體的表面上白色部分最多，相當(dāng)于要使大正方體表

5、面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方體盡量不露出來在整個(gè)大正方體中，沒有露在表面的小正方體有(個(gè))，用黑色的；在面上但不在邊上的小正方體有(個(gè))，其中個(gè)用黑色這樣，在表面的個(gè)的正方形中，有22個(gè)是黑色，(個(gè))是白色，所以在大正方體的表面上白色部分最多可以是74平方厘米【例 7】 三個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體，棱長(zhǎng)總和是288厘米，每個(gè)長(zhǎng)方體相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)恰是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，給這三個(gè)長(zhǎng)方體涂色，一個(gè)涂一面，一個(gè)涂?jī)擅?，一個(gè)涂三面涂色后把三個(gè)長(zhǎng)方體都切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，只有一個(gè)面涂色的小正方體最少有多少個(gè)？【解析】 每個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和是厘米，所以，每個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的和是厘米因?yàn)?/p>

6、，每個(gè)長(zhǎng)方體相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)恰是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以，每個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是9厘米、8厘米、7厘米要求切割后只有一個(gè)面涂色的小正方體最少有多少個(gè)，則需每一個(gè)長(zhǎng)方體按題意涂色時(shí)，應(yīng)讓切割后只有一個(gè)面涂色的小正方體最少所以，涂一面的長(zhǎng)方體應(yīng)涂一個(gè)面，有個(gè)；涂?jī)擅娴拈L(zhǎng)方體，若兩面不相鄰，應(yīng)涂?jī)蓚€(gè)面，有個(gè)；若兩面相鄰，應(yīng)涂一個(gè)面和一個(gè)面，此時(shí)有個(gè)，所以涂?jī)擅娴淖钌儆?05個(gè)；涂三面的長(zhǎng)方體，若三面不兩兩相鄰，應(yīng)涂?jī)蓚€(gè)面、一個(gè)面，有個(gè)；若三面兩兩相鄰，有個(gè)，所以涂三面的最少有146個(gè)那么切割后只有一個(gè)面涂色的小正方體最少有個(gè)【例 8】 把一個(gè)大長(zhǎng)方體木塊表面上涂滿紅色后，分割成若干個(gè)同樣

7、大小的小正方體，其中恰好有兩個(gè)面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，那么至少要把這個(gè)大長(zhǎng)方體分割成多少個(gè)小正方體？【解析】 設(shè)小正方體的棱長(zhǎng)為1，考慮兩種不同的情況，一種是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高中有一個(gè)是1的情況，另一種是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都大于1的情況當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高中有一個(gè)是1時(shí)，分割后只有一層小正方體，其中有兩個(gè)面涂上紅色的小正方體是去掉最外層一圈的小正方體后剩下的那些因?yàn)橛袃蓚€(gè)面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，設(shè)，那么分成的小正方體個(gè)數(shù)為，為了使小正方體的個(gè)數(shù)盡量少，應(yīng)使最小，而兩數(shù)之積一定，差越小積越小，所以當(dāng)時(shí)它們的和最小，此時(shí)共有個(gè)小正方體當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都大于1時(shí)，有兩個(gè)面

8、涂上紅色的小正方體是去掉8個(gè)頂點(diǎn)所在的小正方體后12條棱上剩余的小正方體，因?yàn)橛袃蓚€(gè)面涂上紅色的小正方體恰好是100塊，所以長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高之和是由于三個(gè)數(shù)的和一定，差越大積越小，為了使小正方體的個(gè)數(shù)盡量少，應(yīng)該令，此時(shí)共有個(gè)小正方體因?yàn)?，所以至少要把這個(gè)大長(zhǎng)方體分割成108個(gè)小正方體【例 9】 把正方體的六個(gè)表面都劃分成9個(gè)相等的正方形用紅、黃、藍(lán)三種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形染不同的顏色，那么，用紅色染的正方形最多有多少個(gè)？【解析】 一個(gè)面最多有5個(gè)方格可染成紅色（見左下圖）因?yàn)槿居?個(gè)紅色方格的面不能相鄰，可以相對(duì)，所以至多有兩個(gè)面可以染成5個(gè)紅色方格 其余四個(gè)面中，每

9、個(gè)面的四個(gè)角上的方格不能再染成紅色，至多能染4個(gè)紅色方格（見上中圖）因?yàn)槿居?個(gè)紅色方格的面也不能相鄰，可以相對(duì)，所以至多有兩個(gè)面可以染成4個(gè)紅色方格最后剩下兩個(gè)相對(duì)的面，每個(gè)面最多可以染2個(gè)紅色方格（見右上圖）所以，紅色方格最多有（個(gè)）（另解）事實(shí)上上述的解法并不嚴(yán)密，“如果最初的假設(shè)并沒有兩個(gè)相對(duì)的有5個(gè)紅色方格的面，是否其他的四個(gè)面上可以出現(xiàn)更多的紅色方格呢？”這種解法回避了這個(gè)問題，如果我們從約束染色方格數(shù)的本質(zhì)原因入手，可嚴(yán)格說明是紅色方格數(shù)的最大值對(duì)于同一個(gè)平面上的格網(wǎng)，如果按照國(guó)際象棋棋盤的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成紅色但是現(xiàn)在需要染色的是一個(gè)正方體的表面，因此在分析

10、問題時(shí)應(yīng)該兼顧棱、角等面與面相交的地方： 如圖，每個(gè)角上三個(gè)方向的3個(gè)方格必須染成不同的三種顏色，所以8個(gè)角上最多只能有8個(gè)方格染成紅色如圖，陰影部分是首尾相接由個(gè)方格組成的環(huán)，這9個(gè)方格中只能有個(gè)方格能染成同一種顏色(如果有5個(gè)方格染同一種顏色，必然出現(xiàn)相鄰，可以用抽屜原理反證之：先去掉一個(gè)白格，剩下的然后兩兩相鄰的分成四個(gè)抽屜，必然有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)紅色方格)，像這樣的環(huán)，在正方體表面最多能找到不重疊的兩道（關(guān)于正方體中心對(duì)稱的兩道），涉及的個(gè)方格中最多能有個(gè)可染成紅色剩下個(gè)方格，分布在條棱上，這個(gè)格子中只能有個(gè)能染成紅色綜上所述，能被染成紅色的方格最多能有個(gè)格子能染成紅色，第一種解法中已

11、經(jīng)給出個(gè)紅方格的染色方法，所以個(gè)格子染成紅色是最多的情況【例 10】 一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為厘米、厘米、厘米的長(zhǎng)方形.現(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個(gè)正方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個(gè)正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大的切下一個(gè)正方體，剩下的體積是多少立方厘米？【解析】 本題的關(guān)鍵是確定三次切下的正方體的棱長(zhǎng).由于，為了方便起見.我們先考慮長(zhǎng)、寬、高分別為厘米、厘米、厘米的長(zhǎng)方體.因?yàn)?，容易知道第一次切下的正方體棱長(zhǎng)應(yīng)該是厘米，第二次切時(shí)，切下棱長(zhǎng)為厘米的正方體符合要求.第三次切時(shí)，切下棱長(zhǎng)為厘米的正方體符合要求那么對(duì)于原長(zhǎng)方體來說，三次切下的正方體的棱長(zhǎng)分別是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的體積應(yīng)是：（立方厘米）.【例 11】 有黑白兩種顏色的正方體積木，把它擺成右圖所示的形狀，已知相鄰(有公共面)的積木顏色不同，標(biāo)的為黑色，圖中共有黑色積木多少塊？【解析】 分層來看，如下圖(切面平行于紙面)共有黑色積木17塊. 【鞏固】這個(gè)圖形，是否能夠由的長(zhǎng)方體搭構(gòu)而成？【解析】 每一個(gè)的長(zhǎng)方體無論怎么放，都包含了一個(gè)黑色正方體和一個(gè)白色正方體，而黑色積木有17塊，白色積木有15塊，所以該圖形不能夠由的長(zhǎng)方體搭構(gòu)而成.【鞏固】有許多相同的立方體，每個(gè)立方體的六個(gè)面上都寫著同一個(gè)數(shù)字(不同的立方體可以寫相同的數(shù)字)先將寫著2的立方體