數(shù)字信號處理課件1離散時間信號與系統(tǒng)

1、1-1 離散時間信號-序列n 一.序列n二. 序列的運算n三.幾種常用序列n四.序列的周期性n五. 用單位抽樣序列表示任意序列n六. 序列的能量 一.序列1.信號及其分類(1).信號 信號是傳遞信息的函數(shù),它可表示成 一 個或幾個獨立變量的函數(shù)。 如，f(x); f(t); f(x,y)等。(2). 連續(xù)時間信號與模擬信號 在連續(xù)時間范圍內定義的信號,幅值為連續(xù)的信號稱為模擬信號,連續(xù)時間信號與模擬信號常常通用。(3). 離散時間信號與數(shù)字信號 時間為離散變量的信號稱作離散時間信號；而時間和幅值都離散化的信號稱作為數(shù)字信號。nx(-2)x(-1)x(0)x(1)x(2)x(n)-2-10122

2、.序列 離散時間信號又稱作序列序列。通常，離散時間信號的間隔為T，且是均勻的，故應該用x(nT）表示在nT的值,由于x(nT)存在存儲器中,加之非實時處理,可以用x(n)表示x(nT),即第n個離散時間點的值,這樣x(n)就表示一序列數(shù),即序列：x(n)。 為了方便，通常用x(n)表示序列x(n)。二. 序列的運算 1.移位 當m為正時， x(n-m)表示依次右移m位； x(n+m)表示依次左移m位。-1012x(n)11/21/41/8.-2n例：11 1( ) ,1( )2 20,11 1( ),11(1)2 20,11nnnx nnnx nn 1 1( ) ,2(1)4 20,2nnx

3、nn 即1/21/41/81x(n+1)n0-1-21 2.翻褶(折迭) 如果有x(n),則x(-n)是以n=0為對稱軸將x(n)加以翻褶的序列。例：.-2-10121/81/41/21x(-n)n-1012x(n)11/21/41/8.-2n1 1( ) ,1( )2 20,11 1( ) ,1( )2 20,1nnnxnnnx nn 3.和 兩序列的和是指同序號(n) 的序列值逐項對應相加得一新序 列。例：x(n)11/21/41/8n-2-1012y(n)1231/21/4-2-1012n 1 1( ) ,1( )2 20,1nnx nn 2 ,0( )1,0nny nnn-2-1012

4、1/43/23/29/425/8Z(n).2 ,13( )( )( ),121 1( )1,02 2nnnz nx ny nnnn 4. 乘積 是指同序號(n)的序列值逐項對應相乘。0,11( )( ) ( ),1211( )(1)( ) ,022nnz nx n y nnnn 5. 累加 設某一序列為x(n),則x(n)的累加序列 y(n)定義為 即表示n以前的所有x(n)的和。( )( )nky nx k6.差分 前向差分（先左移后相減）： 后向差分（先右移后相減） ：( )(1)( )x nx nx n()()(1)x nx nx n7.尺度變換 （1） 抽?。?x(n) x(mn),

5、m為正整數(shù)。 例如， m=2， x(2n)，相當于兩個點 取一點；以此類推。x(2n)131/4-101nx(n)1231/21/4-2-1012n（2）插值： x(n) x(n/m), m為正整數(shù)。 例如， m=2， x(n/2)，相當于兩個點 之間插一個點；以此 類推。通常，插值用 I倍表示，即插入（I-1）個值。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-1012n。8.卷積和 設序列x(n),h(n),它們的卷積和y(n)定義為 卷積和計算分四步：折迭(翻褶),位移,相乘,相加。( )( ) ()( ) ()( )( )mmy nx mh n mh m x n mx n h

6、 n例：求：,13( )20,1,02( )0,nnx nnnh nn其他其他31( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm解： 1. 翻褶 .以m=0為對稱軸，折迭h(m) 得到h(-m)，對應序號相乘，相加 得 y(0)； 2. 位移一個單元，對應序號相乘， 相加 得 y(1)； 3. 重復步驟2，得y(2)， y(3)， y(4), y(5),如下所示。 x(m)01231/213/2m012m1h(m)在啞變量坐標m上作出x(m),h(m)01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得y(0)

7、得y(1)x(m)翻褶位移1對應相乘，逐個相加。(0)011(1)12213(2)1 1 12213(3)1 1 11322135(4)0 1 11 0 122233(5)122yyyyyy -1012345y(n)n1/23/235/23/2三.幾種常用序列1.單位抽樣序列(單位沖激) 1-2-1012n1-2-101mn1,0( )0,0nnn( )n n1,()0,nmnmnmnm2.單位階躍序列 u(n).0 123-1nu(n)1,0( )0,0nu nn0( )( )( )(1)( )()( )(1)(2)mnu nu nu nu nnmnnn3.矩形序列( )NRn1,01( )

8、0,NnNRnn其他10( )( )()( )()( )(1)(1)NNNmR nu nu n NR nn mnnnN 4.實指數(shù)序列 a為實數(shù)，當( )na u n1,1,aa時 收斂時 發(fā)散5.復指數(shù)序列0()00( )( )(cossin)ojnjjnnnx nex n eeeenjn6.正弦型序列 其中，0為數(shù)字頻率。0( )cos()x nAn四.序列的周期性 如果存在一個最小的正整數(shù)N, 滿足x(n)=x(n+N),則序列x(n)為周期 性序列,N為周期。五. 用單位抽樣序列表示任意序列 1.任意序列可表示成單位抽樣序列的位移加權和.( )( ) ()mx nx mnm( ),(

9、) ()0,x nmnx mnmm其他 例:-3 -2 -10 1 2 3 45x(n)n2a6a3a位移加權和n0n0n0(n+3)(n-2)(n-6)3a6a2am01m0 x(m)2. x(n)亦可看成x(n)和(n)的卷積和3a2a6a m六. 序列的能量 x(n)的能量定義為 2( )nEx n1-2 線性移不變系統(tǒng)n一.線性系統(tǒng)n二.移不變系統(tǒng)n三.單位抽樣響應與卷積和n四.線性移不變系統(tǒng)的性質n五.因果系統(tǒng)n六.穩(wěn)定系統(tǒng)一.線性系統(tǒng) 系統(tǒng)實際上表示對輸入信號的一種運算，所以離散時間系統(tǒng)就表示對輸入序列的運算，即x(n)離散時間系統(tǒng) Tx(n)y(n)y(n)=Tx(n) 設系統(tǒng)具

10、有： 那么該系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)，即線性系統(tǒng)具有均勻性和迭加性。 *加權信號和的響應=響應的加權和。 *先運算后系統(tǒng)操作=先系統(tǒng)操作后運算。11221 1221122( )( ) ,( )( ) ,( )( )( )( ) ,y nT x ny nT x nT a x na x naT x na T x n二.移不變系統(tǒng) 如Tx(n)=y(n),則Tx(n-m)=y(n-m), 滿足這樣性質的系統(tǒng)稱作移不變系統(tǒng)。 即系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變化的系統(tǒng)，亦即 輸出波形不隨輸入加入的時間而變化的 系統(tǒng)。 *移（時）不變例：分析y(n)=3x(n)+4是不是移不變系統(tǒng).解：因為 Tx(n)=y(n)=3x(n)

11、+4 所以 Tx(n-m)=3x(n-m)+4 又 y(n-m)=3x(n-m)+4 所以 Tx(n-m)=y(n-m) 因此， y(n)=3x(n)+4是移不變系統(tǒng). *系統(tǒng)操作=函數(shù)操作三.單位抽樣響應與卷積和 1.線性移不變系統(tǒng) 具有移不變特性的線性系統(tǒng)。 2.單位抽樣響應h(n) 當線性移不變系統(tǒng)的輸入為(n)， 其輸出h(n)稱為單位抽樣響應，即 h(n)=T(n)h(n)T(n)( ) ()mh mnm( )n線性移不變系統(tǒng) h(n)x(n)y(n)3.卷積和 y(n)=x(n)* h(n)( )( )( ) ()( )()( )()( )( )( )( )mmmy nT x nT

12、x mnmx m Tnmx mh nmx nh nh nx n四.線性移不變系統(tǒng)的性質1.交換律 2.結合律12122112( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )x nh nhnx nh nhnx nhnh nx nh nhn( )( )( )( )( )y nx nh nh nx n3.對加法的分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n) h2(n)y(n)x(n)1212( )( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nx nh n例：已知兩線性移不變系統(tǒng)級聯(lián)，其單位抽樣響應分別為 h1(n)=(n)- (n-4); h2(

13、n)=an u(n),|a|1,當輸入x(n)=u(n) 時，求輸出。解：h1(n)x(n)y(n)h2(n)w(n)w(n)=x(n)* h1(n)=x(m) h1(n-m)= u(m) h1(n-m) = u(m) (n-m)- (n-m-4)=u(n)-u(n-4) = (n)+(n-1)+(n-2)+ (n-3)y(n)= w(n)* h2(n)=(n)+(n-1)+(n-2)+ (n-3) * h2(n) = h2(n)+ h2(n-1) +h2(n-2)+ h2(n-3) = an u(n)+ an-1u(n-1)+ an-2u(n-2)+ an-3u(n-3)五.因果系統(tǒng) 某時刻

14、的輸出只取決于此刻以及以 前時刻的輸入的系統(tǒng)稱作因果系統(tǒng)。 *實際系統(tǒng)一般是因果系統(tǒng)； *對圖象、已記錄數(shù)據(jù)處理以及平 均處理的系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)； * y(n)=x(-n)是非因果系統(tǒng),因n0的輸入; *不計其他函數(shù)，y(n)=x(n)sin(n+2). 線性移不變因果系統(tǒng)的充要條件為 h(n)=0，n 0。六.穩(wěn)定系統(tǒng) 有界的輸入產(chǎn)生有界的輸出系統(tǒng)。 線性移不變穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是( )nh np 1-3 常系數(shù)線性差分方程n一.表示法與解法n二.用迭代法求解差分方程n三.系統(tǒng)結構常系數(shù)線性差分方程 離散變量n的函數(shù)x(n)及其位移函數(shù)x(n-m)線性疊加而構成的方程. 一.表示法與解法 1

15、.表示法 離散時間線性移不變系統(tǒng)y(n)00()()NMkmkma y nkb x nm( )x n * 常系數(shù)：a0,a1,aN ; b0,b1,bM 均是常數(shù)（不含n）. *階數(shù)：y(n)變量k的最大序號與最小序號之差 ，如 N=N-0. *線性：y(n-k),x(n-m)各項只有一次冪,不含它們的乘積項。2.解法 時域：迭代法，卷積和法; 變換域：Z變換法.00()()NMkmkma y nkb x nm二.用迭代法求解差分方程1.“松弛”系統(tǒng)的輸出 起始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)用的較多，其輸出就是 因此，已知h(n)就可求出y(n)，所以必須知道h(n)的求法.( )( )( )y n

16、x nh n2.迭代法（以求h(n)為例） 例: 已知常系數(shù)線性差分方程為 y(n)-ay(n-1)=x(n)，試求單位抽樣響應h(n). 解：因果系統(tǒng)有h(n)=0,n0 ; 方程可寫作: y(n)=ay(n-1)+x(n)22( )(1)( ),( )( ), ( )( ),( )(1)( ),(0)( 1)(0)0 11(1)(0)(1)10(2)(1)(2)0( )(1)( )0nny nay nx nx nny nh nh nah nnhahhahaahahaah nah nnaa 當故因此 ,0( )0,0nanh nn1a 是穩(wěn)定系統(tǒng)1.一個常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)

17、，也不一定表示線性移不變系統(tǒng)。這些都由邊界條件（初始）所決定。2.我們討論的系統(tǒng)都假定：常系數(shù)線性差分方程就代表線性移不變系統(tǒng)，且多數(shù)代表因果系統(tǒng)。注意：1.系指系統(tǒng)的輸入與輸出的運算關系的表述方法。2.差分方程可直接得到系統(tǒng)結構。 例：y(n)=b0 x(n)-a1y(n-1) 用表示相加器； 用 表示乘法器； 用 表示一位延時單元。三.系統(tǒng)結構1Zx(n) b0 -a1y(n-1)y(n)-a1y(n-1)b0 x(n)-a1y(n-1)b0 x(n)例：差分方程y(n)= b0 x(n)-a1y(n-1)表示的系統(tǒng)結構為：1Z1-4 連續(xù)時間信號的抽樣一.抽樣器與抽樣二.抽樣定理三.抽樣

18、的恢復四.實際抽樣一.抽樣器與抽樣 1.抽樣器P(t)T( )ax t ( )ax t1sfT( )ax t 連續(xù)時間信號( )axt ( )ax t:( )( )( ) ( )aaax tx tp tx t脈沖調幅抽樣信號2.實際抽樣與理想抽樣0t( )ax t實際抽樣：tp(t)0tTp(t)為脈沖序列 ( )ax t1sfT0理想抽樣：tt（沖激序列）( )( )Tp tt1sfT ( )ax t二.抽樣定理 1.預備知識 （1）沖激信號及其抽樣特性 定義：t(1)0( ) t( )0,0( ),0( )1ttttt dt 取樣特性：000( ) ()( )0,( ) ( )(0)f t

19、ttdtf ttf tt dtf時(2)頻域卷積定理 若 ()( )()( )( )1()()21()2aaaaaaTaTaTXjF x tXjF xtXjF x ttXjjXjjd 則有,()( ) ,TTjFt ,( )( ),aaTxtx tt(3)沖激函數(shù)序列的傅氏變換.0Tt( )Tt( )()1( )1()( )2ssTmjktTkjktTTkskttmTteTjFtFeTkT 0沖激序列的傅氏變換仍為沖激序列。()Tjs2sT 2s ss2s2.抽樣信號的頻譜 ( )( )( )( )()()()aaTamamxtxttxttm Txm Ttm T 對 上 式 兩 邊 取 傅 氏 變 換1()()()212()21()1()12()aaTaskaskaskakXjXjjXjkTXjkTXjkdTXjjkTT *可見，該頻譜為周期性信號，其周期為12()()aakXjXjjkTT 2,sT 0,()(),.aaasXjkXjTXj時 為所 以的 頻 譜是頻 譜 以為 間 隔 而 重 復 這種 情 況 稱 作 周 期 延 拓0 , ()aXj ,aXj2s 2s h為最高頻率分量()aXjh()aXjs0s2s3.