復(fù)習(xí)資料：二次函數(shù)

1、二次函數(shù)的復(fù)習(xí)資料知識(shí)點(diǎn)1.二次函數(shù)的定義1、一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的 次式，二次項(xiàng)系數(shù)必須是非零實(shí)數(shù)時(shí)才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)2、當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)練習(xí)（1）下列函數(shù)中，二次函數(shù)的是（ ）Ay=ax2+bx+c B C Dy=x(x1) 練習(xí)（2）如果函數(shù)是二次函數(shù)，那么m的值為 知識(shí)點(diǎn)2.二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)1、已知一個(gè)二次函數(shù)，確定它的圖象名稱、開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減范圍、極值。已知條件中含二次函數(shù)開口方向或?qū)ΨQ軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減范圍、極值，

2、求解析中待定系數(shù)的取值。（1）、二次函數(shù) 的圖像是對(duì)稱軸平行于(包括重合)軸的拋物線.（2）、二次函數(shù) ，當(dāng)時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)（3）、對(duì)于y=ax2+bx+c而言，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）對(duì)于y=a（xh）2+k而言其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）。二次函數(shù)用配方法或公式法（求h時(shí)可用代入法）可化成：的形式，其中h= ,k= 練習(xí)（3）拋物線的圖象的開口方向是_, 頂點(diǎn)坐標(biāo)是_.練習(xí)（4）若拋物線的最低點(diǎn)在軸上，則的值為 （4）、二次函數(shù) 的對(duì)稱軸為直線x= 運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性求對(duì)稱軸，由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱點(diǎn)的連線段的垂直平分線是拋物

3、線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).若拋物線上有兩點(diǎn)A（m,n）、B(p,n)的縱坐標(biāo)相等,則它的對(duì)稱軸為直線x=練習(xí)（5）已知、是拋物線上位置不同的兩點(diǎn)，且關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則點(diǎn)、的坐標(biāo)可能是_（寫出一對(duì)即可）（5）增減性：二次函數(shù) 的增減性分對(duì)稱軸左右兩側(cè)描述（數(shù)形結(jié)合理解它的增減性）若，當(dāng)x 時(shí)（在對(duì)稱軸 側(cè)），y隨x的增大而增大，當(dāng)x 時(shí)（在對(duì)稱軸 側(cè)），y隨x的增大而減小，若，當(dāng)x 時(shí)（在對(duì)稱軸 側(cè)），y隨x的增大而增大，當(dāng)x 時(shí)（在對(duì)稱軸 側(cè)），y隨x的增大而減小，練習(xí)（6）已知拋物線（0）的對(duì)稱軸為直線，且經(jīng)過點(diǎn)，試比較和的大?。?_（填“>”，“<”或“=

4、”）特別注意頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否在自變量的取值范圍內(nèi)練習(xí)（7）二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大。則當(dāng)時(shí)，的值是 。（6）最大（?。┲担喝繇旤c(diǎn)橫坐標(biāo)在自變量的取值范圍內(nèi)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)有最 值，并且當(dāng)x= 時(shí)，y最 值= ；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)有最 值，并且當(dāng)x= 時(shí)，y最 值= ； 若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)，只考慮在端點(diǎn)處是否取得最值。練習(xí)（8）二次函數(shù)y=m2x2-4x+1有最小值-3,則m等于( ) A.1 B.-1 C.±1 D.±練習(xí)（9）已知二次函數(shù)的圖象(0x3)如圖所示關(guān)于該函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是( ) A

5、有最小值0，有最大值3 B有最小值1，有最大值0 C有最小值1，有最大值3 D有最小值1，無(wú)最大值練習(xí)（10）填表：特性函數(shù)開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最值增減性+4練習(xí)（11）若二次函數(shù)當(dāng)l時(shí)，隨的增大而減小，則的取值范圍是（ ） A=l B>l Cl Dl練習(xí)（12）、若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：X-7-6-5-4-3-2y-27-13-3353則當(dāng)x=1時(shí)，y的值為 （可用多種解法）2、畫二次函數(shù)的圖象：首先將一般式化為頂點(diǎn)式畫對(duì)稱軸確定頂點(diǎn)確定與y軸交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)確定與x軸的交點(diǎn)或另選一組較簡(jiǎn)的對(duì)稱點(diǎn)連線練習(xí)（13）已知二次函數(shù).畫出它的圖象3、拋

6、物線的平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)：首先化二次函數(shù)的解析式為頂點(diǎn)式，抓住關(guān)鍵點(diǎn)頂點(diǎn)的變化，頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的形狀大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.反之，若幾條拋物線的形狀大小相同，則二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值相同。拋物線的平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)過程中，的值不變。 拋物線y=ax2+bx+C向上平移n（n0）個(gè)單位后的解析式y(tǒng)= 拋物線y=ax2+bx+C向下平移n（n0）個(gè)單位后的解析式y(tǒng)= 拋物線y=ax2+bx+C向左平移n（n0）個(gè)單位后的解析式y(tǒng)= 拋物線y=ax2+bx+C向右平移n（n0）個(gè)單位后的解析式y(tǒng)= 拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于X軸對(duì)稱的拋

7、物線解析式是 （方法是將原解析式中的 不變，把 轉(zhuǎn)換為 ，再整理） 拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于Y軸對(duì)稱的拋物線解析式是 （方法是將原解析式中的 不變，把 轉(zhuǎn)換為 ，再整理）練習(xí)（14）將拋物線繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°后，再分別向下、向右平移1個(gè)單位，此時(shí)該拋物線的解析式為（ ） A. B. C. D. 二次函數(shù)的圖像向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到函數(shù)圖像的解析式為，則與分別等于（ ）A、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、144、拋物線y=ax2+bx+c的位置與參數(shù)a、b、c及相關(guān)特殊代數(shù)式的符號(hào)的關(guān)系：a的符號(hào)判別-開口向上 a 0；開口向下 a 0；

8、c的符號(hào)判別-由拋物線的與Y軸的交點(diǎn)來(lái)確定：若交點(diǎn)在y軸的正半軸 c 0；若交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸 c 0；若交點(diǎn)在原點(diǎn) c 0；b的符號(hào)由對(duì)稱軸來(lái)確定：對(duì)稱軸在Y軸的左側(cè) a、b同號(hào)；對(duì)稱軸在Y軸的右側(cè) a、b異號(hào)。a+b+c的符號(hào)由x=1時(shí)的點(diǎn)的位置決定;ab+c的符號(hào)由x=1時(shí)的點(diǎn)的位置決定點(diǎn)（1，a+b+c）在x軸上方 a+b+c 0點(diǎn)（1，a+b+c）在x軸下方 a+b+c 0點(diǎn)（-1，a-b+c）在x軸上方 a-b+c 0點(diǎn)（-1，a-b+c）在x軸下方 a-b+c 0-11yb+2a的符號(hào)由對(duì)稱軸與1的大小關(guān)系確定；b2a或2a-b的符號(hào)由對(duì)稱軸與-1的大小關(guān)系確定的符號(hào)由拋物線與x

9、軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定 2個(gè)交點(diǎn). 0拋物線與x軸有 1個(gè)交點(diǎn). = 0 0個(gè)交點(diǎn). 0練習(xí)（16）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論：a+b+c0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4知識(shí)點(diǎn)3：確定二次函數(shù)的解析式1、二次函數(shù)解析式常用的有三種形式： (1) 當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)（題設(shè)中直接或間接給出）時(shí)，通常設(shè)為一般式y(tǒng)ax2bxc形式。 (2)當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)與拋物線上另一點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k形式。(3) 當(dāng)已知拋物線與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)為兩根式y(tǒng)a(xx1)(xx2)練習(xí)（17）有一個(gè)運(yùn)算裝置，當(dāng)輸入

10、值為x時(shí)，其輸出值為，且是x的二次函數(shù)，已知輸入值為,0,時(shí), 相應(yīng)的輸出值分別為5,此二次函數(shù)的解析式是_ 練習(xí)（18）拋物線與x軸一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，頂點(diǎn)為(2,8),它的關(guān)系式為 練習(xí)（19）直線交軸于A點(diǎn)，交軸于B點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物線交軸于另一點(diǎn)C（3,0）. 拋物線的解析式為 練習(xí)（20）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，3），請(qǐng)你確定一個(gè)b的值，使該拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在(1，0)和(3，0)之間你所確定的b的值是 練習(xí)（21）拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值如下表：x21012y04664你能得到拋物線的哪些特征？（至少寫出四條）解析式是什么？知識(shí)點(diǎn)4：二次函數(shù)與一元二次方程1

11、、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：(1) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的值等于m的自變量x的值就是一元二次方程ax2+bx+c=m(即ax2+bx+c-m=0)的解。反過來(lái),解方程ax2+bx+c=0(a0)又看作已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c值為0時(shí)求自變量x的值.(2)二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程的根二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)與一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的關(guān)系. 一元二次方程ax2+bx+c=0根的情況二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)情況b2-4ac>0有兩個(gè)不相等的根有兩個(gè)不同的交點(diǎn)b2-4ac=0有兩相等的根只有惟一的一

12、個(gè)交點(diǎn)b2-4ac<0無(wú)實(shí)數(shù)根無(wú)交點(diǎn)2、弦長(zhǎng)公式：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故 3、直線與拋物線的交點(diǎn)(1)軸與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)()(2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). (3)拋物線與軸的交點(diǎn)：二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在軸上)拋物線與軸相切；沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離.(4)平行于軸的直線y=k與拋物線的交點(diǎn),同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則

13、交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與直線y=k相交；有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在直線y=k上)拋物線與直線y=k相切；沒有交點(diǎn)拋物線與直線y=k相離.(5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根; 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;方程組無(wú)解時(shí)與沒有交點(diǎn)方程無(wú)實(shí)數(shù)根;練習(xí)（22）二次函數(shù)是常數(shù)中，自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值如下表：12311一元二次方程是常數(shù)的兩個(gè)根的取值范圍是下列選項(xiàng)中的哪一個(gè)（ ）練習(xí)（23）二次函數(shù)的圖象如圖所示，（1）根據(jù)圖象寫出方程的兩個(gè)根（2）根據(jù)圖象寫出不等式的解

14、集（4）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍練習(xí)（24）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于的一元二次方程的解為 練習(xí)（25）已知函數(shù)的圖象如圖所示，那么關(guān)于的方程的根的情況是（ ）A無(wú)實(shí)數(shù)根B有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根C有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根D有兩個(gè)同號(hào)不等實(shí)數(shù)根練習(xí)（26）已知二次函數(shù)y=x2+x+m,當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí),都有y>0,則m的取值范圍是( ) A.m; B.m> C.m; D.m<練習(xí)（26）已知關(guān)于x的函數(shù)y（m1）x22xm圖像與坐標(biāo)軸有且只有2個(gè)交點(diǎn)，則m 練習(xí)（26）已知拋物線的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為，且，m= 練習(xí)（26）a取何值時(shí),拋物線y=x2+ax+a-

15、2與x軸的兩個(gè)不同的交點(diǎn)間的距離最小? 練習(xí)（27）已知拋物線yx2mxm2. （1）若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且AB，試求m的值；（2）設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)M、N，并且 MNC的面積等于27，試求m的值.練習(xí)（28）如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，它與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（-1，0）（0，1.5）（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式。（2）若點(diǎn)P是此拋物線上位于x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求三角形ABP面積的最大值。（3）問：此拋物線位于x軸的下方是否存在一點(diǎn)Q，使ABQ的面積與ABP的面積相等？如果有，求出

16、該點(diǎn)坐標(biāo)，如果沒有請(qǐng)說(shuō)明理由。知識(shí)點(diǎn)5：二次函數(shù)的應(yīng)用：1、解決實(shí)際問題時(shí)的基本思路：(1)分析理解問題；(2)分析問題中的變量和常量；(3)設(shè)誰(shuí)為自變量x，誰(shuí)為函數(shù)y，找到變量間的相等關(guān)系，用函數(shù)表達(dá)式表示出y與x之間的關(guān)系；(4)利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；(5)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，對(duì)問題加以拓展等2、二次函數(shù)常用來(lái)解決最優(yōu)化問題，這類問題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大(小)值，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)際問題的最大值或最小值的一般步驟 :（1）列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；（2）在自變量的取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或通過配方求出二次函數(shù)的最大值或最小值。（3）檢查

17、求得的最大值或最小值對(duì)應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi) 。解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問題的求解依靠方配法或最值公式，而不是解方程。練習(xí)（29）某賓館客房部有60個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天200元時(shí)，房間可以住滿當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑對(duì)有游客入住的房間，賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用設(shè)每個(gè)房間每天的定價(jià)增加元求：（1）房間每天的入住量（間）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式 （2）該賓館每天的房間收費(fèi)p（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式 （3）該賓館客房部每天的利潤(rùn)（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天多少元時(shí)，有最大值？最大值是多少？（6分）3、利用二次函數(shù)的關(guān)系式求解實(shí)際問題的一般步驟:(1).建立適當(dāng)?shù)?/p>