復習資料：二次函數

1、二次函數的復習資料知識點1.二次函數的定義1、一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數且a0），那么y叫做x的二次函數，它是關于自變量的 次式，二次項系數必須是非零實數時才是二次函數，這也是判斷函數是不是二次函數的重要依據2、當b=c=0時，二次函數y=ax2是最簡單的二次函數練習（1）下列函數中，二次函數的是（ ）Ay=ax2+bx+c B C Dy=x(x1) 練習（2）如果函數是二次函數，那么m的值為 知識點2.二次函數的圖像及性質1、已知一個二次函數，確定它的圖象名稱、開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減范圍、極值。已知條件中含二次函數開口方向或對稱軸、頂點坐標、增減范圍、極值，

2、求解析中待定系數的取值。（1）、二次函數 的圖像是對稱軸平行于(包括重合)軸的拋物線.（2）、二次函數 ，當時拋物線開口向上頂點為其最低點；當時拋物線開口向下頂點為其最高點（3）、對于y=ax2+bx+c而言，其頂點坐標為（ ， ）對于y=a（xh）2+k而言其頂點坐標為（ ， ）。二次函數用配方法或公式法（求h時可用代入法）可化成：的形式，其中h= ,k= 練習（3）拋物線的圖象的開口方向是_, 頂點坐標是_.練習（4）若拋物線的最低點在軸上，則的值為 （4）、二次函數 的對稱軸為直線x= 運用拋物線的對稱性求對稱軸，由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱點的連線段的垂直平分線是拋物

3、線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.若拋物線上有兩點A（m,n）、B(p,n)的縱坐標相等,則它的對稱軸為直線x=練習（5）已知、是拋物線上位置不同的兩點，且關于拋物線的對稱軸對稱，則點、的坐標可能是_（寫出一對即可）（5）增減性：二次函數 的增減性分對稱軸左右兩側描述（數形結合理解它的增減性）若，當x 時（在對稱軸 側），y隨x的增大而增大，當x 時（在對稱軸 側），y隨x的增大而減小，若，當x 時（在對稱軸 側），y隨x的增大而增大，當x 時（在對稱軸 側），y隨x的增大而減小，練習（6）已知拋物線（0）的對稱軸為直線，且經過點，試比較和的大?。?_（填“>”，“<”或“=

4、”）特別注意頂點橫坐標是否在自變量的取值范圍內練習（7）二次函數，當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大。則當時，的值是 。（6）最大（?。┲担喝繇旤c橫坐標在自變量的取值范圍內當a>0時，函數有最 值，并且當x= 時，y最 值= ；當a<0時，函數有最 值，并且當x= 時，y最 值= ； 若頂點橫坐標不在自變量的取值范圍內，只考慮在端點處是否取得最值。練習（8）二次函數y=m2x2-4x+1有最小值-3,則m等于( ) A.1 B.-1 C.±1 D.±練習（9）已知二次函數的圖象(0x3)如圖所示關于該函數在所給自變量取值范圍內，下列說法正確的是( ) A

5、有最小值0，有最大值3 B有最小值1，有最大值0 C有最小值1，有最大值3 D有最小值1，無最大值練習（10）填表：特性函數開口方向對稱軸頂點坐標最值增減性+4練習（11）若二次函數當l時，隨的增大而減小，則的取值范圍是（ ） A=l B>l Cl Dl練習（12）、若二次函數y=ax2+bx+c的x與y的部分對應值如下表：X-7-6-5-4-3-2y-27-13-3353則當x=1時，y的值為 （可用多種解法）2、畫二次函數的圖象：首先將一般式化為頂點式畫對稱軸確定頂點確定與y軸交點關于對稱軸對稱的點確定與x軸的交點或另選一組較簡的對稱點連線練習（13）已知二次函數.畫出它的圖象3、拋

6、物線的平移、對稱、旋轉：首先化二次函數的解析式為頂點式，抓住關鍵點頂點的變化，頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那么拋物線的形狀大小完全相同，只是頂點的位置不同.反之，若幾條拋物線的形狀大小相同，則二次項系數的絕對值相同。拋物線的平移、對稱、旋轉過程中，的值不變。 拋物線y=ax2+bx+C向上平移n（n0）個單位后的解析式y(tǒng)= 拋物線y=ax2+bx+C向下平移n（n0）個單位后的解析式y(tǒng)= 拋物線y=ax2+bx+C向左平移n（n0）個單位后的解析式y(tǒng)= 拋物線y=ax2+bx+C向右平移n（n0）個單位后的解析式y(tǒng)= 拋物線y=ax2+bx+c關于X軸對稱的拋

7、物線解析式是 （方法是將原解析式中的 不變，把 轉換為 ，再整理） 拋物線y=ax2+bx+c關于Y軸對稱的拋物線解析式是 （方法是將原解析式中的 不變，把 轉換為 ，再整理）練習（14）將拋物線繞原點按順時針方向旋轉180°后，再分別向下、向右平移1個單位，此時該拋物線的解析式為（ ） A. B. C. D. 二次函數的圖像向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到函數圖像的解析式為，則與分別等于（ ）A、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、144、拋物線y=ax2+bx+c的位置與參數a、b、c及相關特殊代數式的符號的關系：a的符號判別-開口向上 a 0；開口向下 a 0；

8、c的符號判別-由拋物線的與Y軸的交點來確定：若交點在y軸的正半軸 c 0；若交點在y軸的負半軸 c 0；若交點在原點 c 0；b的符號由對稱軸來確定：對稱軸在Y軸的左側 a、b同號；對稱軸在Y軸的右側 a、b異號。a+b+c的符號由x=1時的點的位置決定;ab+c的符號由x=1時的點的位置決定點（1，a+b+c）在x軸上方 a+b+c 0點（1，a+b+c）在x軸下方 a+b+c 0點（-1，a-b+c）在x軸上方 a-b+c 0點（-1，a-b+c）在x軸下方 a-b+c 0-11yb+2a的符號由對稱軸與1的大小關系確定；b2a或2a-b的符號由對稱軸與-1的大小關系確定的符號由拋物線與x

9、軸的交點個數確定 2個交點. 0拋物線與x軸有 1個交點. = 0 0個交點. 0練習（16）已知二次函數的圖像如圖所示，下列結論：a+b+c0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正確的結論的個數是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4知識點3：確定二次函數的解析式1、二次函數解析式常用的有三種形式： (1) 當已知拋物線上任意三點（題設中直接或間接給出）時，通常設為一般式y(tǒng)ax2bxc形式。 (2)當已知拋物線的頂點與拋物線上另一點時，通常設為頂點式y(tǒng)a(xh)2k形式。(3) 當已知拋物線與x軸的交點或交點橫坐標時，通常設為兩根式y(tǒng)a(xx1)(xx2)練習（17）有一個運算裝置，當輸入

10、值為x時，其輸出值為，且是x的二次函數，已知輸入值為,0,時, 相應的輸出值分別為5,此二次函數的解析式是_ 練習（18）拋物線與x軸一個交點的橫坐標為2，頂點為(2,8),它的關系式為 練習（19）直線交軸于A點，交軸于B點，過A、B兩點的拋物線交軸于另一點C（3,0）. 拋物線的解析式為 練習（20）已知拋物線經過點（0，3），請你確定一個b的值，使該拋物線與x軸的一個交點在(1，0)和(3，0)之間你所確定的b的值是 練習（21）拋物線上部分點的橫坐標，縱坐標的對應值如下表：x21012y04664你能得到拋物線的哪些特征？（至少寫出四條）解析式是什么？知識點4：二次函數與一元二次方程1

11、、二次函數與一元二次方程的關系：(1) 二次函數y=ax2+bx+c(a0)的值等于m的自變量x的值就是一元二次方程ax2+bx+c=m(即ax2+bx+c-m=0)的解。反過來,解方程ax2+bx+c=0(a0)又看作已知二次函數y=ax2+bx+c值為0時求自變量x的值.(2)二次函數的圖象與軸的交點的橫坐標就是一元二次方程的根二次函數y=ax2+bx+c(a0)與一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的關系. 一元二次方程ax2+bx+c=0根的情況二次函數y=ax2+bx+c與x軸的交點情況b2-4ac>0有兩個不相等的根有兩個不同的交點b2-4ac=0有兩相等的根只有惟一的一

12、個交點b2-4ac<0無實數根無交點2、弦長公式：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故 3、直線與拋物線的交點(1)軸與拋物線只有一個交點()(2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,). (3)拋物線與軸的交點：二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點拋物線與軸相交；有一個交點(頂點在軸上)拋物線與軸相切；沒有交點拋物線與軸相離.(4)平行于軸的直線y=k與拋物線的交點,同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點。當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則

13、交點的橫坐標是的兩個實數根. 有兩個交點拋物線與直線y=k相交；有一個交點(頂點在直線y=k上)拋物線與直線y=k相切；沒有交點拋物線與直線y=k相離.(5)一次函數的圖像與二次函數的圖像的交點，由方程組的解的數目來確定：方程組有兩組不同的解時與有兩個交點方程有兩個不相等的實數根; 方程組只有一組解時與只有一個交點方程有兩個相等的實數根;方程組無解時與沒有交點方程無實數根;練習（22）二次函數是常數中，自變量與函數的對應值如下表：12311一元二次方程是常數的兩個根的取值范圍是下列選項中的哪一個（ ）練習（23）二次函數的圖象如圖所示，（1）根據圖象寫出方程的兩個根（2）根據圖象寫出不等式的解

14、集（4）若方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍練習（24）已知二次函數的部分圖象如圖所示，則關于的一元二次方程的解為 練習（25）已知函數的圖象如圖所示，那么關于的方程的根的情況是（ ）A無實數根B有兩個相等實數根C有兩個異號實數根D有兩個同號不等實數根練習（26）已知二次函數y=x2+x+m,當x取任意實數時,都有y>0,則m的取值范圍是( ) A.m; B.m> C.m; D.m<練習（26）已知關于x的函數y（m1）x22xm圖像與坐標軸有且只有2個交點，則m 練習（26）已知拋物線的圖象與x軸有兩個交點為，且，m= 練習（26）a取何值時,拋物線y=x2+ax+a-

15、2與x軸的兩個不同的交點間的距離最小? 練習（27）已知拋物線yx2mxm2. （1）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側，并且AB，試求m的值；（2）設C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關于原點對稱的兩點M、N，并且 MNC的面積等于27，試求m的值.練習（28）如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，它與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點A、C的坐標分別是（-1，0）（0，1.5）（1）求此拋物線的函數關系式。（2）若點P是此拋物線上位于x軸上方的一個動點，求三角形ABP面積的最大值。（3）問：此拋物線位于x軸的下方是否存在一點Q，使ABQ的面積與ABP的面積相等？如果有，求出

16、該點坐標，如果沒有請說明理由。知識點5：二次函數的應用：1、解決實際問題時的基本思路：(1)分析理解問題；(2)分析問題中的變量和常量；(3)設誰為自變量x，誰為函數y，找到變量間的相等關系，用函數表達式表示出y與x之間的關系；(4)利用二次函數的有關性質進行求解；(5)檢驗結果的合理性，對問題加以拓展等2、二次函數常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實際上就是求函數的最大(小)值，運用二次函數的性質求實際問題的最大值或最小值的一般步驟 :（1）列出二次函數的解析式，并根據自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍；（2）在自變量的取值范圍內，運用公式法或通過配方求出二次函數的最大值或最小值。（3）檢查

17、求得的最大值或最小值對應的自變量的值必須在自變量的取值范圍內 。解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（1）設未知數在“當某某為何值時，什么最大（或最小、最?。钡脑O問中，“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數；（2）問題的求解依靠方配法或最值公式，而不是解方程。練習（29）某賓館客房部有60個房間供游客居住，當每個房間的定價為每天200元時，房間可以住滿當每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑對有游客入住的房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用設每個房間每天的定價增加元求：（1）房間每天的入住量（間）關于（元）的函數關系式 （2）該賓館每天的房間收費p（元）關于（元）的函數關系式 （3）該賓館客房部每天的利潤（元）關于（元）的函數關系式；當每個房間的定價為每天多少元時，有最大值？最大值是多少？（6分）3、利用二次函數的關系式求解實際問題的一般步驟:(1).建立適當的