有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1有限有限(yuxin)脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)計(jì)第一頁，共81頁。n ()=0-,0是起始相位 (7.1.4) n嚴(yán)格地說，此時(shí)()不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)，即( )dd 第1頁/共81頁第二頁，共81頁。條件(tiojin)是：h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱，即n h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6)第2頁/共81頁第三頁，共81頁。1010( )( )( )(1)NnnNnnH zh n zH zh Nnz將(7.1.5)式代入上式得令m=N-n-1,則有11(1)(1)00(1)1( )( )( )( )()NN

2、N mNmmmNH zh m zzh m zH zzH z(7.1.7) 第3頁/共81頁第四頁，共81頁。1(1)1(1)01111()222011( )( )()( )221( ) 2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz 將z=e j代入上式，得到(d do)： 11()20101()( )cos() 21( )( )cos() 21( )(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN 按照(7.1.2)式，幅度函數(shù)(hnsh)Hg()和相位函數(shù)(hnsh)分別為(7.1.8) (7.1.9) 第4頁/共81頁第五頁，共81頁。110011(1

3、)(1)00(1)1( )( )(1)( )( )( )( )()NNnnnnNNN mNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH zzH z (7.1.10) 令m=N-n-1,則有 同樣(tngyng)可以表示為1(1)1(1)01111222011( )( )()( )221( )2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz 第5頁/共81頁第六頁，共81頁。1120112201()( )( )sin ()21( )sin ()2jNNjjz enNNjjnNH eH zjeh nnNeh nn 因此，幅度(fd)函數(shù)和相位函數(shù)分別為

4、101( )( )sin ()21( )()22NgnNHh nnNQ (7.1.11) (7.1.12) 第6頁/共81頁第七頁，共81頁。第7頁/共81頁第八頁，共81頁。第8頁/共81頁第九頁，共81頁。101( )( )cos() 2NgnNHh nn 式中，h(n)對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱，余弦項(xiàng)也對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱，可以(ky)以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項(xiàng)進(jìn)行合并，由于N是奇數(shù)，故余下中間項(xiàng)n=(N-1)/2。這樣幅度函數(shù)表示為第9頁/共81頁第十頁，共81頁。(3)/20(1)/20(1)/2011( )()2 ( )cos() 2211( )()2 ()cos22(

5、 )( )cosNgnNgnNgnNNHhh nnNNHhhmnHa nn令m=(N-1)/2-n,則有(7.1.13) 1(0)()211( )2 (),1,2,3,22NahNNa nhn n(7.1.14) 式中 第10頁/共81頁第十一頁，共81頁。101201( )( )cos() 212 ( )cos ()2NgnNnNHh nnNh nn第11頁/共81頁第十二頁，共81頁。令m=N/2-n,則有/21/211( )2 ()cos ()221( )( )cos ()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhn n(7.1.15) (7.1.16)

6、101( )( )sin ()2NgnNHh nn第12頁/共81頁第十三頁，共81頁。 令m=(N-1)/2-n，則有(1)/21( )( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhn n(7.1.17) (7.1.18) 1120011( )( )sin ()2 ( )sin)22NNgnnNNHh nnh nn令m=N/2-n,則有第13頁/共81頁第十四頁，共81頁。/21/211( )2 ()sin ()221( )( )sin ()2( )2 (),1,2,3,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhn n(7.1.19) (7.1.20)第14頁

7、/共81頁第十五頁，共81頁。(1)1( )()NH zzH z (7.1.21) 圖7.1.1 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)(ln din)分布 第15頁/共81頁第十六頁，共81頁。11120021122(1)00( )( )( )( )( )( )(1)( )(1)NNNnnnNnmnNNnN mnmH zh n zh n zh n zH zh n zh Nmzh nh Nn 令m=N-n-1,則有第16頁/共81頁第十七頁，共81頁。12(1)0(1) 121(1)20( )( )( )( )(1)2NnN nnNNnN nnH zh n zzNH zh n zzhz (7.1.22)如果

8、(rgu)N為奇數(shù)，則將中間項(xiàng)h(N-1)/2單獨(dú)列出， (7.1.23) 第17頁/共81頁第十八頁，共81頁。圖7.1.2 第一類線性相位(xingwi)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶數(shù)N 奇數(shù)第18頁/共81頁第十九頁，共81頁。圖7.1.3 第二類線性相位(xingwi)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N

9、偶數(shù)N 奇數(shù)111111111第19頁/共81頁第二十頁，共81頁。()( )1( )()2jjddnjj nddHeh n eh nHeed第20頁/共81頁第二十一頁，共81頁。,()0,j acjdceHe(7.2.1)1sin()( )2()ccj aj ncdnah needna(7.2.2) 為了構(gòu)造(guzo)一個(gè)長度為N的線性相位濾波器，只有將h-d(n)截取一段，并保證截取的一段對(duì)(N-1)/2對(duì)稱。設(shè)截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3)第21頁/共81頁第二十二頁，共81頁。10( )( )NnnH zh n z圖7.2.1 理想(l

10、xing)低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗第22頁/共81頁第二十三頁，共81頁。()( )jj nddnHeh n e對(duì)(7.2.3)式進(jìn)行(jnxng)傅里葉變換，根據(jù)復(fù)卷積定理，得到：(1()()()2jjjdNH eHeRed (7.2.4) 式中，Hd(e j)和RN(e j)分別(fnbi)是hd(n)和RN(n)的傅里葉變換，即111(1)200sin(/2()( )( )sin(/2)NNjNjj nj njaNNNnnNReRn eeeRe(7.2.5) 第23頁/共81頁第二十四頁，共81頁。sin(/21( ),sin(/2)2NNNRRN()稱為矩形(jxng)窗的幅度函數(shù)；

11、將Ha(ej)寫成下式：()( )jj addHeHe按照(7.2.1)式，理想低通濾波器的幅度(fd)特性Hd()為1,( )0,cdcH將Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式，得到(d do)：()1()( )()21( )()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRd 第24頁/共81頁第二十五頁，共81頁。()( )1( )( )()2jj adNH eHeHHRd(7.2.6)第25頁/共81頁第二十六頁，共81頁。 圖7.2.2 矩形窗對(duì)理想(lxing)低通 幅度特性的影響 第26頁/共81頁第二十七頁，共81頁。c+2/Nn在 主 瓣 附 近 ， 按 照

12、(7.2.5)式，RN()可近似為nsin(/2)sin( )/2NNxRNx第27頁/共81頁第二十八頁，共81頁。1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWee第28頁/共81頁第二十九頁，共81頁。21,0(1)12( )212,(1)112BrnnNNnnNnNN(7.2.8) 其頻率響應(yīng)(pn l xin yn)為 1()22sin()4()2 sin(/2)NjjBrNNWee(7.2.9) 第29頁/共81頁第三十頁，共81頁。1211222( )0.51cos()( )1()( )( )2()( )0.5( )0.25()12()( )1HnNNjjRNRjHnHn

13、RRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeN當(dāng)N1時(shí)，N-1N， 22( )0.5( )0.25()()HnRRRWWWWNN第30頁/共81頁第三十一頁，共81頁。圖7.2.3 漢寧窗的幅度(fd)特性第31頁/共81頁第三十二頁，共81頁。2( )0.540.46cos()( )1HmNnnRnN(7.2.11)其頻域函數(shù)(hnsh)WHm (e j)為22()()11()0.54()0.23()0.23()22( )0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeWeWeWeWWeWWNN其幅度(fd)函數(shù)WHm()為當(dāng)N1時(shí)

14、，可近似表示為22( )0.54( )0.23()0.23()BlRRRnWWWNN第32頁/共81頁第三十三頁，共81頁。24( )0.420.5cos0.08cos( )11BlNnnnRnNN(7.2.13) 其頻域函數(shù)(hnsh)為22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNNBlRRjjNNRRWeWeWeWeWeWe其幅度(fd)函數(shù)為22( )0.42( )0.25()()11440.04()()11BlRRRRRWWWWNNWWNN(7.2.14) 第33頁/共81頁第三十四頁，共81頁。圖7.2.4 常用(chn yn)的窗函數(shù)

15、第34頁/共81頁第三十五頁，共81頁。 圖7.2.5 常用(chn yn)窗函數(shù)的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗 第35頁/共81頁第三十六頁，共81頁。 圖7.2.6 理想低通加窗后的幅度(fd)特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)哈明窗；(e)布萊克曼窗第36頁/共81頁第三十七頁，共81頁。002201( )( ),01( )21(1)11( )1( ) )! 2kkkInnNInNxIxk 式中 I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面(xi mian)

16、級(jí)數(shù)計(jì)算：第37頁/共81頁第三十八頁，共81頁。(1)/21( )(0)2( )cosNkkknWnn(7.2.16) 第38頁/共81頁第三十九頁，共81頁。 表7.2.1 凱塞窗參數(shù)(cnsh)對(duì)濾波器的性能影響 第39頁/共81頁第四十頁，共81頁。表7.2.2 六種窗函數(shù)(hnsh)的基本參數(shù) 第40頁/共81頁第四十一頁，共81頁。1( )()2jjddh nHee d22101( )()MjkjknMMMdkhnHeeM(7.2.17) (7.2.18) 根據(jù)頻率采樣定理，hM(n)與hd(n)應(yīng)滿足如下(rxi)關(guān)系：( )()Mdrhnh nrM第41頁/共81頁第四十二頁，

17、共81頁。函數(shù)主瓣寬度。n (3) 計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)，n h(n)=hd(n)w(n)sin()( )()cdnh nn第42頁/共81頁第四十三頁，共81頁。10()( )Njj nnH eh n e第43頁/共81頁第四十四頁，共81頁。sin()( ),010()1(1)52sin(0.2 (5)( ),010(5)cddnh nnnNnh nnn第44頁/共81頁第四十五頁，共81頁。( )( )( ),0102( )0.5(1cos)10dHnHnh nh nnnnn用布萊克曼窗設(shè)計(jì)(shj)： 11( )( )( )22( )(0.420.5cos0.08cos)(

18、 )1010dBlBlh nh nnnnnRn第45頁/共81頁第四十六頁，共81頁。圖7.2.7 例7.2.1的低通幅度(fd)特性第46頁/共81頁第四十七頁，共81頁。2210( )(),0,1,2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkHkHekNh nHk ekNN再對(duì)N點(diǎn)Hd(k)進(jìn)行(jnxng)IDFT，得到h(n)， (7.3.1) (7.3.2) 第47頁/共81頁第四十八頁，共81頁。10( )( )NnnH zh n z12011( )( )1N NdjkkNzHkH zNez(7.3.3)(7.3.4) 第48頁/共81頁第四十九頁，共81頁。()(

19、)( )1( )2( )(2).( )(2),jjdgggggHeHeNHHNHHN (7.3.5) (7.3.6) (7.3.7) 奇數(shù)(j sh) 偶數(shù)(u sh) 第49頁/共81頁第五十頁，共81頁。2,0,1,2,1kk kNN 將=k代入(7.3.4)(7.3.7)式中，并寫成k的函數(shù)(hnsh)：( )( )( )1 21( )2jkdgHkHk eNNkkkNN (7.3.8) (7.3.9) ( )(),( )(),ggggHkHNk kHkHNk k 奇數(shù)(j sh) 偶數(shù) (7.3.10) (7.3.11) 第50頁/共81頁第五十一頁，共81頁。( )()1,0,1,2

20、,( )0,1,2,11( ),0,1,2,1ggcgcccHkHNkkkHkkkkNkNkk kNN (7.3.12)第51頁/共81頁第五十二頁，共81頁。( )1,0,1,2,( )0,1,2,1()1,0,1,2,1( ),0,1,2,1gcgcccgcHkkkHkkkkNkHNkkkNkk kNN (7.3.13)第52頁/共81頁第五十三頁，共81頁。1( )()2jj nddh nHeed 則由頻率域采樣定理(dngl)知道，在頻域02之間等間隔采樣N點(diǎn)，利用IDFT得到的h(n)應(yīng)是hd(n)以N為周期，周期性延拓乘以RN()，即( )()( )dNrh nh nrN Rn第5

21、3頁/共81頁第五十四頁，共81頁。120110121( )( )12()( )()1 sin(/2)( )sin(/2)N NjkNNjkNjzH kH zNezH eH kkNNeN第54頁/共81頁第五十五頁，共81頁。 圖7.3.1 理想低通濾波器增加(zngji)過渡點(diǎn) 第55頁/共81頁第五十六頁，共81頁。( )(33)1,0,1,2,8( )0,9,10,23,2432( ),0,1,2,3233gggHkHkkHkkkkk 對(duì)理想低通幅度(fd)特性采樣情況如圖7.3.2所示。將采樣得到的( )( )jkdgHHk e第56頁/共81頁第五十七頁，共81頁。圖7.3.2 對(duì)理

22、想(lxing)低通進(jìn)行采樣第57頁/共81頁第五十八頁，共81頁。圖7.3.3 例7.3.1的幅度(fd)特性第58頁/共81頁第五十九頁，共81頁。圖7.3.4 例7.3.1(N=65)有兩個(gè)(lin )過渡點(diǎn)幅度特性 第59頁/共81頁第六十頁，共81頁。221()2jeE ed(7.4.2) 第60頁/共81頁第六十一頁，共81頁。應(yīng)h(n)或幅度(fd)特性必須滿足一定條件。假設(shè)設(shè)計(jì)的是h(n)=h(n-N-1),N=奇數(shù)情況，第61頁/共81頁第六十二頁，共81頁。121(1)20()( )( )( )cosNjjgNgnH eeHHa nn將Hg()代入(7.4.3)式，則0(

23、)( )( )( )cosMdnEWHa nn(7.4.4) 式中M=(N-1)/2。最佳(zu ji)一致逼近的問題是選擇M+1個(gè)系數(shù)a(n),使加權(quán)誤差E()的最大值為最小，即minmax( )AE第62頁/共81頁第六十三頁，共81頁。10121()()()max( ),iiiAMEEEEA 第63頁/共81頁第六十四頁，共81頁。第64頁/共81頁第六十五頁，共81頁。1,0( )0,pdsH 如 果 我 們 知 道 了 A 上 的 M + 2 個(gè) 交 錯(cuò) 點(diǎn) 頻 率 ：0,1,:,M+1,按照(nzho)(7.4.4)式，并根據(jù)交錯(cuò)點(diǎn)組準(zhǔn)則，可寫出0()()( )cos( 1)max

24、( ) ,0,1,21MkkdkknAWHa nnEkM (7.4.5) 第65頁/共81頁第六十六頁，共81頁。00011122211111coscos()11coscos()11coscos()( 1)1coscos()MMMMMWMWMWMW(0)(0)(0)Maaaa0121()()()()()ddddMdMHHHHH(7.4.6) 第66頁/共81頁第六十七頁，共81頁。101010,()( 1)/()1( 1)coscosMkdkkMkkkkMkkii kika HaWa (7.4.7) (7.4.8) 第67頁/共81頁第六十八頁，共81頁。000,coscos( )coscos

25、()( 1),0,1,2,()1( 1)coscosMkkkkgMkkkkkdkkMkkii kikCHCHkMW (7.4.9) (7.4.10) (7.4.11) 第68頁/共81頁第六十九頁，共81頁。第69頁/共81頁第七十頁，共81頁。圖7.4.2 雷米茲算法(sun f)流程圖給出M2 個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)組頻率初始值：i , i0,1,2, M1得用（7.4.7) 式計(jì)算偏差得用（7.4.9) 式計(jì)算Hd()計(jì)算誤差函數(shù)E()，以及局部極值點(diǎn)頻率，在這些點(diǎn)上滿足得到一組新的交錯(cuò)點(diǎn)組頻率極值點(diǎn)是M2個(gè)還是M3 個(gè)？極值頻率相對(duì)上次是否變化？得到最佳一致逼近的Hd()結(jié)束舍掉兩個(gè)端點(diǎn)中使偏差較小的一個(gè)M3M2不變E() 第70頁/共81頁第七十一頁，共81頁。000(1) ( )(1),1( )( )cos,2(2) ( )(1),1( )( )cos(),22(3) ( )(1),1( )( )sin,2(4) ( )(1),1( )( )cos() ,22MgnMgn iMgnMgnh nh