模態(tài)參數(shù)識(shí)別的單模態(tài)法,模態(tài)參數(shù)識(shí)別的導(dǎo)納圓法

1、模態(tài)參數(shù)識(shí)別的單模態(tài)法常見(jiàn)的單模態(tài)識(shí)別有三種方法：直接讀數(shù)法（分量分析法）、最小二乘圓擬合法和差分法。所謂單模態(tài)識(shí)別法，是指一次只識(shí)別一階模態(tài)的模態(tài)參數(shù)，所用數(shù)據(jù)為該階模態(tài)共振頻率附近的頻響函數(shù)值。待識(shí)別的這階模態(tài)稱為主導(dǎo)模態(tài)，余模態(tài)稱為剩余模態(tài)，剩余模態(tài)的影響可以全部忽略或簡(jiǎn)化處理。1.直接讀數(shù)法（分量分析法）1）基本公式所謂分量分析法就是講頻響函數(shù)分成實(shí)部分量和虛部分量來(lái)進(jìn)行分析。NH|p(F 八N自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，p點(diǎn)激勵(lì)I(lǐng)點(diǎn)響應(yīng)的實(shí)模態(tài)頻響函數(shù)可表示如下:(1.1)1 COr+ ；gr一2、2 丄2j_2、2 丄T一 r )+gr(1(Or) +gr其中KerKrlr L '

2、為第二階等效剛度gr =2 ，r ,為第r階模態(tài)結(jié)構(gòu)阻尼比 當(dāng)趨近于某階模態(tài)的固有頻率時(shí)，該模態(tài)起主導(dǎo)作用，稱為主導(dǎo)模態(tài)或者主模態(tài)。在主模態(tài)附近，其他模態(tài)影響較小。 若模態(tài)密度不是很大，各階模態(tài)比較遠(yuǎn)離，其余模態(tài)的 頻響函數(shù)值在該模態(tài)附近很小，且曲線比較平坦，即幾乎不隨頻率而變化，因此其余模態(tài)的影響可以用一個(gè)復(fù)常數(shù)來(lái)表示，第r階模態(tài)附近可用剩余模態(tài)表示成：Hip (刁I 1 _訝 _(1-壬)2 &gr2、2 2(1 一，r ) gr(He HC)(1.2)Hip（F的實(shí)部和虛部可分別表示如下:HiR(F1十_(1十)2g(1.3)Hip QhC(1.4)RIHe和He分別是剩余模態(tài)的

3、實(shí)部和虛部。2) 實(shí)頻圖和虛頻圖由于剩余模態(tài)與 無(wú)關(guān)，故其相當(dāng)于是在實(shí)頻圖和虛頻圖上上下平移一段距離。此平行線 又稱為剩余柔度線。3) 模態(tài)參數(shù)的確定1固有頻率的確定固有頻率可以從實(shí)頻曲線與剩余柔度線的交點(diǎn)來(lái)確定。由(1.3)可知，此處 I =1。亦可由虛頻曲線的峰值所對(duì)應(yīng)的頻率來(lái)確定。用虛頻曲線的峰值來(lái)確定比較好，因?yàn)榉逯递^尖，容易確定。此外，剩余柔度的尺寸對(duì)峰值所對(duì)應(yīng)的頻率沒(méi)有影響。2.阻尼比gr或r的確定阻尼比系數(shù)可由半功率帶寬來(lái)確定。(1.5)對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng),阻尼比系數(shù)為:對(duì)粘性阻尼系統(tǒng),"三或2gr 二Or阻尼比系數(shù)為:(1.6)(1.7)3.模態(tài)振型的確定由(1.4)知，

4、對(duì)主模態(tài)而言(不計(jì)剩余柔度)，當(dāng)=1,有:Iir 'pr""gr(1.8)測(cè)出L個(gè)測(cè)點(diǎn)的H1；( r =1)值(|= 1, 2, 3，L)=1)rMH【p臨=1)-對(duì)r階模態(tài)，當(dāng)采用單點(diǎn)激勵(lì)時(shí),Kg M.Lr L 1(1.9)為常數(shù)。因此,(1.9)即為模態(tài)振型。對(duì)激勵(lì)點(diǎn)歸一化振型；r =1(一 =1)(1.10)4.模態(tài)剛度的確定書。r由于HlpC'r =1)，若取原點(diǎn)頻響，并對(duì)原點(diǎn)歸一化，則有:KrgrI H pp( r =1)二prprKrgrKrgr- (1.11)則模態(tài)剛度表示如下:Kr1H；p (匚=1)grKr25.模態(tài)質(zhì)量的確定(1.12)分

5、量分析法的特點(diǎn)：? 簡(jiǎn)單方便，許多信號(hào)分析儀有實(shí)、虛頻圖分析能力；? 當(dāng)模態(tài)密度不高時(shí)，有一定的精度；? 峰值有誤差時(shí)，直接影響辨識(shí)精度；? 模態(tài)密集時(shí)，用半功率帶寬確定模態(tài)阻尼，誤差較大；? 模態(tài)密集時(shí)剩余模態(tài)不能用復(fù)常數(shù)表示，辨識(shí)精度受影響;? 圖解法受圖解精度的影響。2.最小二乘圓擬合法最小二乘圓擬合法的基本思想是，根據(jù)實(shí)測(cè)頻響函數(shù)數(shù)據(jù)， 用理想導(dǎo)納圓去擬合實(shí)測(cè)的導(dǎo)納圓，并按最小二乘原理使其誤差最小。我們先以結(jié)構(gòu)阻尼加以討論，由上面的討論知，頻響函數(shù)的實(shí)部和虛部是1 -二2HP( "Ker |_(2)2 g2由上兩式消去變量（1 - f）之后，可得:山"點(diǎn)“僉2(1.

6、13)上式即是一個(gè)圓方程。即是 Nyquist圓（或者導(dǎo)納圓）。即使是對(duì)于單自由度系統(tǒng)，由于模態(tài)測(cè)試等方面不可避免的誤差，頻響函數(shù)矢端軌跡不一定都落在理論圓上，為此必須找到一個(gè)理論圓， 使此圓上的點(diǎn)的數(shù)值與實(shí)測(cè)值的誤差最小， 為此我們用最小二乘法。以結(jié)構(gòu)比例阻尼為例，其頻響函數(shù)展開(kāi)式為:1 )不考慮剩余模態(tài)的影響若不考慮剩余模態(tài)的影響，則其主導(dǎo)模態(tài)為：1 1Hef ( )2:kefi 1-0 i + N它的矢端軌跡是一個(gè)完整的圓。取其阻抗，為：ZefC )二kefi(1匚 j i)其實(shí)部和虛部分別為：ZRefJ =Kfi(1匚)，ZjCJ =Kfi i 為一個(gè)常數(shù)。由以上兩式可知，在復(fù)平面上其

7、為一條平行于實(shí)軸的線，我們稱之為阻抗線。 在這里我們并不需要用導(dǎo)納圓來(lái)識(shí)別系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，用其倒數(shù)，也就是阻抗線會(huì)比較簡(jiǎn)單。模態(tài)參數(shù)的識(shí)別取原點(diǎn)阻抗的實(shí)部(令歸一化方式為®fi =1)，為：Z Rf (co) =kj -口關(guān)2原點(diǎn)阻抗虛部為：Z1 ff ?) = K i = gi這里只是我們得到的理論的結(jié)果，在實(shí)際的模態(tài)測(cè)試中，總是會(huì)有誤差，于是我們?cè)谠撾A模態(tài)頻響函數(shù)的共振峰附近測(cè)量s個(gè)點(diǎn) % ( .k),劃C .k)( K =1,2,，S)運(yùn)用最小二乘法，我們能直接得到：1 sg姓(t)S k 土(ss1寸21-I豹ks臣劣血k)ki2k壬mi J1sO2kss_kz!k#-2這樣

8、我們就已經(jīng)識(shí)別出了第 i階模態(tài)質(zhì)量，模態(tài)剛度。由公式0 -二ki及公式i二彳 就可以得到第i階模態(tài)固有頻率和第i階模態(tài)阻尼比 miki了。至于模態(tài)振型的求解，我們?nèi)≡擃l響函數(shù)的虛部，并令頻率比-1，則有：H 'efCJ =1)二ef利用所測(cè)量得到的s個(gè)Zef（.k）（K =1,2,，S），并利用最小二乘法，得到:Z% 4 Z%f（ .k）s k _1于是我們可取振型：于是上述的這列矢量就能作為振型矢量。 這種方法又稱為最小二乘阻抗線識(shí)別法。2）考慮剩余模態(tài)的影響令HM，）J =y，則理想圓的方程為：2 2 2（x-人）（y-y°） =R ，設(shè)實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)為 xk,yk，

9、他們不一定在圓上。因此必然有:2 2 2（Xk - Xo） （yk _ yo） R偏差為：e2 2 2k (Xk - Xo)(yk - y。)RQQQ令 a = -2xo, b - -2yo, c = Xo yo R 帶入上式，得到：e =Xk2+y aXk byk c為此，我們要現(xiàn)在某階頻響函數(shù)的共振峰附近選取6io個(gè)頻率點(diǎn)。并構(gòu)造一下函數(shù):m （x<2+yk2 aXk byk c）2，其中m為測(cè)量頻率數(shù)。k吐要使上述誤差最小，必須滿足下列關(guān)系式：3E ocE ocE 00, 0, 0.a b c于是有:2 22、(兀 yk axk byk c)x< =0k 1n222 (耳 y

10、k axk byk c)y0k 1n222、(x< yk axk byk c) 10k 1寫成矩陣形式，為:送X： 送耳yk 送Xkk 送x：送 XkZ ykZ xjT-Z (Xk3+Xkyk送 yk <b>=«-Z 區(qū)乂 +yQ*n lcJ由此可計(jì)算得到a, b, c,并得到擬合圓的圓心坐標(biāo)和半徑:2 .22 -c我們就能用導(dǎo)納圓識(shí)別法來(lái)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別,這部分我們會(huì)在之對(duì)于擬合出來(lái)的導(dǎo)納圓, 后的小節(jié)介紹。aXo2b2(t)1 模態(tài)參數(shù)識(shí)別的導(dǎo)納圓法5/匕半功率點(diǎn)d=( RcdinjI2+ 11111(11 IRt"(26)上節(jié)已經(jīng)導(dǎo)出了一般情況下的擬合的

11、導(dǎo)納圓的方程，擬合圓的圓心坐標(biāo)和半徑:R 二a 2 b 2-:- - c12丿12丿其中a, b，c均已由最小二乘法計(jì)算得到。1.實(shí)模態(tài)情況對(duì)于實(shí)模態(tài)情況，由于其實(shí)部和虛部分別為:Re(Hnj(，)2 lm(Hnj( J) 匹2 珂電24crr4crrIm (HrWw)2 22(；二-(；-；& dr)Re(HrjC )Rj ( 'dr 一 “ 2，Im(HrijC-)2(5 +(o從上式可以輕易看出，其導(dǎo)納圓的方程式圖像如下:上式是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓的方程，圓心是在縱軸的正下方，坐標(biāo)為（。,-電）4旺模態(tài)參數(shù)的確定：(1)阻尼共振頻率的確定：導(dǎo)納圓與虛軸的交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)由于：吋

12、丄)/(：二)2)及其圓的方程為:R.R.Re(HrjCJ)2 Im(Hrij(»h M2所以在，=飛時(shí)，Re(Hrj C J) =0，所以導(dǎo)納圓與虛軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率就是阻尼共振頻率，且有：1|Rfi. Idrj=(Re(Hnj(，dr)2 lm(Hrj(，dr)2)。.2CTr(2)阻尼比的確定如果能在導(dǎo)納圓上確定實(shí)部的最大和最小值，則該最大和最小值所對(duì)應(yīng)的 頻率就是半功率點(diǎn)頻率和，從而可以確定模態(tài)阻尼比： 'b 'a2如果無(wú)法確定實(shí)部的最大和最小值，則在共振頻率點(diǎn)附近左右兩側(cè)任取兩點(diǎn)A，B，所對(duì)應(yīng)的頻率為-和匕(如圖)。連接 OA、OB。由于A點(diǎn) 的相角為&qu

13、ot;1=1 9012B點(diǎn)的相角為tg2：2二ctgn兩式相加后得1 1tg2：i 吋H1gri.rgr.rgr因此，r階模態(tài)結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為g. r. rgr11tg tgj22因?yàn)?2則上式可寫成時(shí)21gr 1 1，rtg ： 1tg： 22 2對(duì)于粘性阻尼，用2 ；代替gr ,可得模態(tài)阻尼比為r（3）模態(tài)剛度的確定：-C011-'r丄1丄1tg1 tg22 2在共振點(diǎn)- r附近i1H|p(x ：，“)：(6 -40)K er g r因此，等效模態(tài)剛度為K -1-er1(6 41)H lp (豹=3 r ) g r2傀）©若若取原點(diǎn)頻響函數(shù)（l=P）,并對(duì)原點(diǎn)歸一化，即取$

14、 pr=1，由此，在求出原點(diǎn)導(dǎo)納圓半徑（Rpp）r及模態(tài)阻尼gi后，由（6-41）即可求得原點(diǎn)的等效模態(tài)剛度Ker。此時(shí)pr prKerKrKr即Kr = Ker(4 )模態(tài)振型當(dāng)二 > 時(shí)，p點(diǎn)激勵(lì)I(lǐng)點(diǎn)響應(yīng)的位移導(dǎo)納虛部 H |；（，）1K er gr，其大小正好為導(dǎo)納圓直徑，即2 （ Rlp） r。其中（Rlp） r為第r階模態(tài)，p點(diǎn)激勵(lì)I(lǐng)點(diǎn)響應(yīng)的導(dǎo)納圓半徑。 Ker為K第r階模態(tài)等效剛度，Ker二：，由此，可知下式成立:lr prprKrgrlp r1=1,2,中=1,2,上式說(shuō)明：第r階模態(tài)振型向量可以由各測(cè)點(diǎn)導(dǎo)納圓半徑組成的歸一化向量求得。(5 )模態(tài)質(zhì)量“KrM r2國(guó)r2.

15、復(fù)模態(tài)情況對(duì)于復(fù)模態(tài)情況，我們就可以用擬合得到的導(dǎo)納圓來(lái)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)的識(shí)別。 若不考慮剩余模態(tài)的影響，其擬合圓的方程為：a 2b 2 a 2 b 2(x ) (y )=()()22 2 2其中 a = -2xo, b = -2 yo設(shè)實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)為 xk,yk，他們不一定在圓上。因此必然有：2 2 2(Xk -Xo)(yk -yo)=R偏差為：q =(Xk-xo) (yk-yo) - R將 a， b 代入，得到：ek =Xk2+yk2 axk byk為此，我們要現(xiàn)在某階頻響函數(shù)的共振峰附近選取610個(gè)頻率點(diǎn)。并構(gòu)造一下函數(shù):m (x<2+yk2 axk byk)2，其中m為測(cè)量頻率

16、數(shù)。k 土要使上述誤差最小，必須滿足下列關(guān)系式：.E；:E0, 0.:a;b于是有：X：耳 yk l a _ -' (xk - Xkyk)-x<yk - ykb I j 二(xkyk yk)由此可計(jì)算得到a，b，c，并得到擬合圓的圓心坐標(biāo)和半徑：aXo2b模態(tài)參數(shù)的確定：(1)固有頻率的確定：在第r個(gè)導(dǎo)納圓上，找到弧長(zhǎng)隨頻率變化最大的點(diǎn)(或單位頻率差對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為最大的點(diǎn)) 該點(diǎn)代表了第r階固有頻率。gr(C 21-(一)2，rdSHipH |prs( )2COdSs()'rgrDlprDlprg；HipDlpr2Dlpr達(dá)極大值，故dS也達(dá)到極大值證明：在第r階導(dǎo)納圓上任取一點(diǎn) A,則原點(diǎn)到A的弧長(zhǎng)為S,給弧長(zhǎng)S