第四章多自由度系統(tǒng)(21-24)

1、機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)二自由度系統(tǒng)二自由度系統(tǒng)定義 1、定義：需要用三個(gè)以上的獨(dú)立坐標(biāo)(x1,x2, x3,x4, q1 , q2等)才能描述其運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)。2、多自由度系統(tǒng)是單自由度系統(tǒng)的深化和拓展。3、多自由度系統(tǒng)能更好地反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，將系統(tǒng)作為單自由度系統(tǒng)只是忽略了系統(tǒng)的其它自由度的振動(dòng)，是一種近似。幾種常見(jiàn)的多自由度系統(tǒng)幾種常見(jiàn)的多自由度系統(tǒng) 圖 41 概述：概述：桿、梁、板、殼，桿、梁、板、殼，無(wú)限多個(gè)自由度無(wú)限多個(gè)自由度（連續(xù)體）（連續(xù)體）離散化離散化有限自由度系統(tǒng)有限自由度系統(tǒng)n 個(gè)自由度的系統(tǒng)，個(gè)自由度的系統(tǒng)，用用 n 個(gè)獨(dú)

2、立的廣義坐標(biāo)來(lái)描述。個(gè)獨(dú)立的廣義坐標(biāo)來(lái)描述。n 個(gè)固有頻率個(gè)固有頻率(有可能出現(xiàn)重復(fù)有可能出現(xiàn)重復(fù))主振動(dòng)主振動(dòng):按任一固有頻率作自由振動(dòng)按任一固有頻率作自由振動(dòng),是一種同步運(yùn)動(dòng)是一種同步運(yùn)動(dòng)主振型主振型:系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)具有的振動(dòng)形態(tài)系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)具有的振動(dòng)形態(tài),又叫模態(tài)，又叫模態(tài)，主坐標(biāo)主坐標(biāo):對(duì)于特殊的對(duì)于特殊的n個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo),運(yùn)動(dòng)微分方程不出現(xiàn)坐標(biāo)耦合運(yùn)動(dòng)微分方程不出現(xiàn)坐標(biāo)耦合振型疊加法振型疊加法:分分n個(gè)自由度的振動(dòng)來(lái)考慮個(gè)自由度的振動(dòng)來(lái)考慮,再疊加再疊加.本章內(nèi)容1、多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的基本理論 ：運(yùn)動(dòng)微分方程的建立(定義法)；2、固有頻率和振型(求法) ；3、多自由度系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)常用

3、的振型迭加方法 ；4、用變換方法求多自由度系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng) 。4.1 運(yùn)動(dòng)微分方程 n自由度振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可寫(xiě)成： )0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 1、M，C，K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。2、x為n維位移向量，它的分量是各個(gè)自由度的廣義位移，而 和 分別為速度向量和加速度向量，它們的分量分別為各個(gè)自由度的廣義速度和廣義加速度。f是廣義外力向量，它的分量是各個(gè)自由度所受到的廣義外力。x x 1、運(yùn)動(dòng)微分方程建立的關(guān)鍵：求得M，C，K中的各個(gè)元素。2、求解微分方程的過(guò)程就是使M，C，K對(duì)角化的過(guò)程，可求得固有頻率及其振型。)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM

4、1、多自由度的微分方程：、多自由度的微分方程：例例4-1 試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：解： 兩自由度系統(tǒng)；兩自由度系統(tǒng)；)()(12121111tPxxkxkxm )()(22312222tPxkxxkxm )()()()(2232122212212111tPxkkxkxmtPxkxkkxm )()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm 例例4-2M1(t)，M2(t)I1 , I2 1qk2qk3qk 試：建立系統(tǒng)的試：建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。運(yùn)動(dòng)微分方程。解：解：受力分析受力分析)()(12121111tMkkIqqqqqq )()(

5、22312222tMkkIqqqqqq )()(0021213222212121tMtMkkkkkkIIqqqqqqqqqq 角振動(dòng)與直線振動(dòng)在數(shù)學(xué)描述上相同，角振動(dòng)與直線振動(dòng)在數(shù)學(xué)描述上相同， 在多自由度系統(tǒng)中也在多自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度以及力都理解為廣義的。將質(zhì)量、剛度、位移、加速度以及力都理解為廣義的。)()(12212111tMkkkIqqqqqq )()(22321222tMkkkIqqqqqq 例例4-1 試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。影響系數(shù)法影響系數(shù)法運(yùn)動(dòng)微分方程的矩陣形式：運(yùn)動(dòng)微分方程的矩陣形式： )(tPxKxM 質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣 剛

6、度矩陣剛度矩陣激振力向量激振力向量作用力方程作用力方程n 個(gè)自由度的系統(tǒng)：個(gè)自由度的系統(tǒng)：nnnnnnmmmmmmmmm212222111211nxxx 21nnnnnnkkkkkkkkk212222111211nxxx21)()()(21tPtPtPn 0 x 若若 )(tPxK靜力加載靜力加載 Tnjjjxxxxxx111T00100假定有這樣一組外力，使系統(tǒng)只在第假定有這樣一組外力，使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移，個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移，而在其他方向都不產(chǎn)生位移，即產(chǎn)生如下的單位向量：而在其他方向都不產(chǎn)生位移，即產(chǎn)生如下的單位向量：影響系數(shù)法影響系數(shù)法njijjjnnnjinijnni

7、injnjjkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkeKxKtP2121212211222112110100)(可見(jiàn)所施加的這組外力數(shù)值上正是剛度矩陣可見(jiàn)所施加的這組外力數(shù)值上正是剛度矩陣K K的第的第j j列，其中列，其中K Kijij(i=1,n)(i=1,n)是在第是在第i i個(gè)坐標(biāo)上施加的力，個(gè)坐標(biāo)上施加的力，K Kijij是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第j j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單元位移而相應(yīng)于第個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單元位移而相應(yīng)于第i i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力nnnnnnmmmmmmmmm212222111211nxxx 21nnnnnnkkkkkkkkk212222111211nx

8、xx21)()()(21tPtPtPn 0 x即即 )(tPxM 靜力加載靜力加載現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)受到外力瞬間，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)受到外力瞬間，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移同樣推導(dǎo)可知，所施加的這組外力數(shù)值上正是質(zhì)量矩陣的第同樣推導(dǎo)可知，所施加的這組外力數(shù)值上正是質(zhì)量矩陣的第j j列，其中列，其中M Mijij(i=1,n)(i=1,n)是在第是在第i i個(gè)坐標(biāo)上施加的力，個(gè)坐標(biāo)上施加的力，m mijij是使系是使系統(tǒng)僅在第統(tǒng)僅在第j j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單元加速度而相應(yīng)于第個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單元加速度而相應(yīng)于第i i個(gè)坐標(biāo)上所需個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力施加的力(1) 影響系數(shù)法設(shè)各個(gè)自由度的位

9、移為 x x 和系統(tǒng)的剛度矩陣為 K K ，則各個(gè)自由度上所受到的外力為： )(xKtP定義剛度矩陣K的元素kij：如果系統(tǒng)的第j個(gè)自由度沿其坐標(biāo)正方向有一個(gè)單位位移，其余各個(gè)自由度的位移保持為零，為保持系統(tǒng)這種變形狀態(tài)需要在各個(gè)自由度施加外力，其中在第i個(gè)自由度上施加的外力就是kij。 K Kijij是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第j j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單元位移而個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單元位移而相應(yīng)于第相應(yīng)于第i i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力(1) 影響系數(shù)法設(shè)各個(gè)自由度的加速度為 和系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為M，則各個(gè)自由度上所受到的外力為： xMf 定義質(zhì)量矩陣M的元素Mij：如果系統(tǒng)的第j個(gè)自由度沿

10、其坐標(biāo)正方向有一個(gè)單位加速度，其余各個(gè)自由度的加速度保持為零，為保持系統(tǒng)這種變形狀態(tài)需要在各個(gè)自由度施加外力，其中在第i個(gè)自由度上施加的外力就是Mij。 m mijij是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第j j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單元加速度個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單元加速度而相應(yīng)于第而相應(yīng)于第i i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力x 例例4-4用影響系數(shù)法用影響系數(shù)法求：求：M K運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程例例4-4用影響系數(shù)法用影響系數(shù)法求：求：M K運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程解：解：建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系 Txxxx321求：剛度矩陣求：剛度矩陣 K Tx001令：令：,2111kkk,221kk031k同樣：同樣

11、： Tx0103323222212,kkkkkkk Tx100再令：再令：, 032313kkk333kk剛度矩陣為：剛度矩陣為： 33332222100kkkkkkkkkK求：質(zhì)量矩陣求：質(zhì)量矩陣M令：令： Tx001 0, 0,3121111mmmm再令：再令： Tx010 0, 03222212mmmm令：令： Tx100 3332313, 0, 0mmmm質(zhì)量矩陣：質(zhì)量矩陣：321000000mmmM例 4.4: 求四自由度模型的剛度矩陣 取yA，yB，y1，y2為描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)，即 x=yx=yA A，y yB B，y y1 1，y y2 2 T T 各個(gè)自由度的原點(diǎn)均取靜平

12、衡位置，以向上為坐標(biāo)正方向。 圖 41 求K中的子元素(1)求K的第一列。設(shè)y yA A沿坐標(biāo)正方向有一個(gè)單位位移，其余廣義坐標(biāo)位移為零，則只有k2被伸長(zhǎng)，因此有k11=k2， k21=0， k3l=-k2， k41=0njijjjnnnjinijnniinjnjjkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkeKf2121212211222112110100(2)求K的第二列。設(shè)yB沿坐標(biāo)正方向有一個(gè)單位位移，其余廣義坐標(biāo)位移為零，則只有k4被伸長(zhǎng)，因此有k120， k22k4， k32=0， k42=-k4njijjjnnnjinijnniinjnjjkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkeK

13、f2121212211222112110100(3)求K的第三列。設(shè)yl沿坐標(biāo)正方向有一個(gè)單位位移，其余廣義坐標(biāo)位移為零，則只有k1被伸長(zhǎng)，k2被壓縮，因此有k13-k2， k230， k33=k2+k1， k43=0 njijjjnnnjinijnniinjnjjkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkeKf2121212211222112110100(4)求K的第四列。設(shè)y2沿坐標(biāo)正方向有一個(gè)單位位移，其余廣義坐標(biāo)位移為零，則只有k3被伸長(zhǎng)，k4被壓縮，因此有k14=0， k24=-k4， k34=0， k44k3+k4 njijjjnnnjinijnniinjnjjkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkeKf2121212211222112110100系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)x=yA，yB，yl，y2T下的剛度矩陣為：434212442200000000kkkkkkkkkkK系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣也有類似的定義，并可以仿照上面方法來(lái)求。 例例4-3 汽車振動(dòng)的力學(xué)模型。汽車振動(dòng)的力學(xué)模型。 以以D點(diǎn)的垂直位移點(diǎn)的垂直位移 xD 及桿及桿AB繞繞