曲線和曲面上積分ppt課件

1、曲線和曲面上的積分曲面積分1.曲面上的測度曲面積分 曲面表示和曲面上的測度 第一型曲面積分(質(zhì)量) 第二型曲面積分(流量)曲面的映射觀念定義 設(shè)a,bRk,: a,b Rn (nk+1) 假設(shè)延續(xù),稱S=(a,b)為 Rn中的延續(xù)超曲面 假設(shè)具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù), 且ta,b,(t)滿秩, 稱S= (a,b)為 Rn中的k維光滑超曲面; 假設(shè)是單射, S= (a,b)為 Rn中的k維正那么超曲面 假設(shè)延續(xù),且存在a,b可以分成m個內(nèi)部不相交的閉區(qū)域Wj, Lj=(Wj)是k維光滑(正那么)超曲面,稱S=(a,b)為 Rn中的k維分片光滑(正那么)超曲面曲面的集合觀念定義 設(shè)SRn, 假設(shè)存在: a

2、,b Rk Rn, 有S= (a,b) 假設(shè)延續(xù), 就稱S為Rn中的一個延續(xù)超曲面, 稱為S的一個表示 假設(shè)光滑且導(dǎo)數(shù)點點不為零, 就稱S為Rn中的k維光滑超曲面, 稱為S的光滑表示 假設(shè)光滑,單射且導(dǎo)數(shù)點點不為零, 就稱S為 Rn中的一條正那么曲面, 稱為S的正那么表示同一超曲面可以有不同的表示 同一超曲面可以有不同表示： 集合觀念下的正那么超曲面一定有非正那么的表示; 幾何上正那么的超曲面未必有正那么表示; 幾何上非正那么的超曲面一定沒有正那么表示 在下面的討論中, 我們總假設(shè) 延續(xù), S是正那么或分片正那么超曲面,是其相應(yīng)的表示 因此將對超曲面的兩種觀念一致超曲面的分類 設(shè): a,b R

3、n (n2), 延續(xù) 假設(shè)是單射,稱L=(a,b)為Rn中的簡單曲面 Rn中的閉超曲面：？ Rn中的簡單閉超曲面：不帶邊的緊流形 超曲面的方向(定向) 可定向曲面(雙側(cè)曲面) 不可定向曲面(單側(cè)曲面)正那么超曲面面積的定義 設(shè)a,bRk, :a,b Rn(nk+1), 正那么,S=(a,b), 定義S的k維面積 為 其中上標(biāo)T表示矩陣的轉(zhuǎn)置, )()(detbaTdttftfS對超曲面面積公式的闡明 面積公式的推導(dǎo) Rn中k維平行2k面體的體積計算 用切超平面塊近似超曲面面積 n-1維超曲面的面積公式 由參數(shù)方程給出的曲面體積公式 由函數(shù)圖像給出的曲面體積公式 Rn中k維平行2k面體的體積 設(shè)

4、E是由Rn中k個線性無關(guān)向量V1,V2,Vk所張成的平行2k面體, 由Schmidt正交化方法得到與其等體積的直角平行2k面體E0, 張成E0的k個向量是a1,a2,.,ak兩組向量間的關(guān)系 10*1 ,11kkVV平行2k面體的體積(續(xù)1) 體積公式: |E|=|E0|=|a1|a2|ak|也就是 也就是22221202kEEkTkTTEE2121202det平行2k面體的體積(續(xù)2) 由此就得到 其中 留意Vj都是列向量.VVETdet2kVVVV21平行2k面體體積公式解釋 Binet-Cauchy公式: 設(shè)A=(aij)nk, B=(bij)nk, 那么 對這個公式的解釋: Rn中的平

5、行2k面體的體積的平方等于其在 Rn中一切k維坐標(biāo)面中投影的平方和(普通勾股定理)kiiikiiikiiiniikiiikiiikiiiTkkkkkkkbbbbbbbbbaaaaaaaaaBA21212112121212221111222111det用切超平面塊近似超曲面面積 設(shè)a,bRk,: a,b Rn (nk+1),正那么, S= (a,b). 下面按微元法給出超曲面的面積公式: 任取a,b的一個分法W: W1,Wm. Sj=(Wj), j= 1, ,m. 取tjWj, 用 近似Sj的體積, 然后求和-取極限就得到公式.jjTjtftf)()(detn-1維超曲面的面積公式(1) 由參數(shù)方程給出的曲面體積公式: 設(shè)a,bRn-1, : a,b Rn (nk+1) , 正那么, S=(a,b). 此時, 習(xí)慣上有下面的記法 其中e表示第i個元素規(guī)范基向量ei的列向量 )( det)()(dettfetftfTn-1維超曲面的面積公式(2) 由函數(shù)圖像給出的曲面體積公式: 函數(shù)圖像公式a,bRn-1, g: a,b R, (t)=(t, g(t), S=(a,b)2)(1)()(dettgtftfT正那么超曲面上的測度 設(shè)a,bRk