非線性方程牛頓迭代法與斯特芬森迭代法的研究與比較

1、非線性方程牛頓迭代法與斯特芬森迭代法的研究與比較申林堅(jiān)（南昌航空大學(xué) 測(cè)試與光電工程學(xué)院 江西 南昌 330063）摘要：本文針對(duì)一個(gè)具體的非線性方程進(jìn)行研究，首先作出了了函數(shù) 的圖像，大體判定其零點(diǎn)（即方程解）在（3,4）區(qū)間內(nèi)，接著用牛頓迭代法和斯特芬森迭代法進(jìn)行求解分析，牛頓法的迭代公式為 ，斯特芬森迭代法公式為記錄兩種方法求得指定精度解所需迭代次數(shù)及所需計(jì)算時(shí)間，并對(duì)其優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了分析。關(guān)鍵詞：非線性方程；牛頓迭代法；斯特芬森迭代法引言非線性是實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)的，并且在科學(xué)與工程計(jì)算中的地位越來(lái)越重要，很多我們熟悉的線性模型都是在一定條件下由非線性問(wèn)題簡(jiǎn)化得到的，為得到更符合實(shí)際的解

2、答，往往需要直接研究非線性模型，從而產(chǎn)生非線性科學(xué)，它是21世紀(jì)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要支柱。本論文通過(guò)對(duì)特定非線性方程進(jìn)行求解，介紹了兩種常用的迭代法牛頓迭代法和斯特芬森迭代法，詳盡闡述了其各自的數(shù)學(xué)幾何原理及優(yōu)缺點(diǎn)比較，從而更深入的理解非線性方程的迭代法求解。正文一.作出的圖像，確定隔根區(qū)間在Matlab中輸入以下指令并回車(chē)：x=(-10:0.001:10);y=3*x.2-exp(x);plot(x,y);grid on;圖1得到圖1所示的圖像，易知，當(dāng)及時(shí)，無(wú)零點(diǎn)將y軸方向放大，輸入命令axis(-10 10 -2 2)，得到圖2圖2可知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，隔根區(qū)間為（-2,0），（0,2），（

3、2,4）將x軸方向放大，輸入命令axis(-2 4 -2 2)，得到圖3圖3可將隔根區(qū)間進(jìn)一步縮小為（-1,0），（0,1），（3,4）二.牛頓迭代法求區(qū)間（3,4）中的根對(duì)于方程，如果是線性函數(shù)，則它的求根是容易的。牛頓法實(shí)質(zhì)上是一種線性化方法，其基本思想是將非線性方程逐步歸結(jié)為某種非線性方程來(lái)求解。設(shè)已知方程有近似根（假定），將函數(shù)在點(diǎn)展開(kāi)，有，于是方程可近似表示為.這是個(gè)線性方程，記其根為，則的計(jì)算公式為這就是牛頓法。牛頓法有明顯的幾何解釋。方程的根可解釋為曲線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。設(shè)是根的某個(gè)近似值，過(guò)曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)引切線，并將該切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為的新的近似值。注意到切線

4、方程為這樣求得的值必滿足。由于這種幾何背景，牛頓法亦稱(chēng)切線法。下面列出牛頓法的計(jì)算步驟：步驟1 準(zhǔn)備 選定初始近似值，計(jì)算，步驟2 迭代 按公式迭代一次，得到新的近似值，計(jì)算步驟3 控制 如果滿足哦或，則終止迭代，以作為所求的根；否則轉(zhuǎn)步驟4.此處是允許誤差，而其中C是取絕對(duì)誤差或相對(duì)誤差的控制常數(shù)，一般可取C=1.步驟4 修改 如果迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)先指定的次數(shù)N，或者，則方法失敗；否則以代替轉(zhuǎn)步驟2繼續(xù)迭代Matlab計(jì)算程序如下，取初始迭代值=3：i=0;y=3;z=1;while(i<=100&&z>=10(-8) x=y; y=x-(3*x2-exp(x)/(

5、6*x-exp(x); if abs(y)<1 z=abs(y-x); else z=abs(y-x)/y); end i=i+1;endformat long;disp(y);disp(i);輸出結(jié)果為y= 3.733079028632816，i=9可知，使用牛頓迭代法，初值為3時(shí)，需迭代9次可使eps<10-8,近似解為3.73307903三.斯特芬森迭代法求區(qū)間(3,4)中的根埃特金方法不管原序列是怎樣產(chǎn)生的，對(duì)進(jìn)行加速計(jì)算，得到序列。如果把埃特金加速技巧與不動(dòng)點(diǎn)迭代結(jié)合，可得到如下的迭代法：稱(chēng)為斯特芬森迭代法。它可以這樣理解，我們要求的根，令，已知的近似值及，其誤差分別為把

6、誤差“外推到零”，即過(guò)及兩點(diǎn)做線性插值函數(shù)，它與x軸交點(diǎn)就是，即方程的解斯特芬森迭代法的另一種表達(dá)方式如下：其中實(shí)驗(yàn)表明，即便用不動(dòng)點(diǎn)迭代法不收斂，用斯特芬森迭代法仍可能收斂。1. 取，迭代初值為3進(jìn)行迭代，Matlab程序如下：i=0;y=3;z=1;while(i<=1000&&z>=10(-8) x=y; y1=log(3*x2); y=x-(y1-x)2/(log(3*y12)-2*y1+x); if abs(y)<1 z=abs(y-x); else z=abs(y-x)/y); end i=i+1;endformat long;disp(y);di

7、sp(i);輸出結(jié)果為y= 3.733079028632815，i=4;可知，使用斯特芬森迭代法，取不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)為，初值為3時(shí)，需迭代4次可使eps<10-8,近似解為3.73307903，與牛頓迭代法結(jié)果吻合。2.取，迭代初值為3進(jìn)行迭代，Matlab程序如下：i=0;y=3;z=1;while(i<=1000&&z>=10(-8) x=y; y1=3*x2-exp(x)+x; y=x-(y1-x)2/(3*y12-exp(y1)+y1-2*y1+x); if abs(y)<1 z=abs(y-x); else z=abs(y-x)/y); end i=

8、i+1;endformat long;disp(y);disp(i);輸出結(jié)果為y= 3.733079028632814，i=147;可知，使用斯特芬森迭代法，取不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)為，初值為3時(shí)，需迭代147次可使eps<10-8,近似解為3.733079033.取，迭代初值為3進(jìn)行迭代，Matlab程序如下：i=0;y=3;z=1;while(i<=1000&&z>=10(-8) x=y; y1=sqrt(exp(x)/3); y=x-(y1-x)2/(sqrt(exp(y1)/3)-2*y1+x); if abs(y)<1 z=abs(y-x); else

9、z=abs(y-x)/y); end i=i+1;endformat long;disp(y);disp(i);輸出結(jié)果為y= 3.733079028632815，i=10;可知，使用斯特芬森迭代法，取不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)為，初值為3時(shí)，需迭代10次可使eps<10-8,近似解為3.73307903由以上三種不同迭代函數(shù)可知，迭代函數(shù)不同，斯特芬森迭代法的迭代次數(shù)不同。綜合比較牛頓法的迭代函數(shù)固定，收斂速度較快，但求可能比較繁瑣斯特芬森迭代法收斂速度快，但要選擇合適的迭代函數(shù)，因次如何構(gòu)造一個(gè)合適的迭代函數(shù)成為關(guān)鍵。參考文獻(xiàn)1蔡旭暉 劉衛(wèi)國(guó) 蔡立燕 MATLAB基礎(chǔ)與應(yīng)用教程 北京:人民郵電出版社

10、 20092李慶揚(yáng) 王能超 易大義 數(shù)值分析(第5版) 北京:清華大學(xué)出版社20083高成 賴(lài)志國(guó) Matlab圖像處理與應(yīng)用(第2版) 北京:國(guó)防工業(yè)出版社 2007The research and comparison of Newton's iterative method and Steffen Sen iteration method for nonlinear equationShen Linjian(Nanchang Institute of test and opto electronic engineering, Jiangxi University of Aeron

11、autics and Astronautics, Nanchang 330063)Abstract: In this paper, a specific nonlinear equation is studied, firstly, the function of the image, generally determine its zero (the equation solution) in the (3,4) interval, followed by Newton iterative method and Steffen Sen iteration method for analysi

12、s, Newton iterative formula for, Steffen Sen iterative formula for the record of the two methods to obtain the specified accuracy of the required number of iterations and the required calculation time, and its advantages and disadvantages are analyzed.Key words: nonlinear equation; Newton iterative method; Steffen Sen iteration method個(gè)人心得體會(huì)首先，我覺(jué)得課堂教學(xué)條件比較差，那么大的一個(gè)教室坐滿了人，不能保證每個(gè)學(xué)生能夠聽(tīng)清，看清每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。因此建議以后可開(kāi)展小班教學(xué)。其次，坦率得說(shuō)，關(guān)于這門(mén)課的知識(shí)點(diǎn)，我完全是通過(guò)自學(xué)獲得的，從課堂上得到的少之又少，并不是老師講的不好，只是數(shù)學(xué)本就枯索抽象，在課堂上并不能馬上領(lǐng)悟，因而沒(méi)有興趣繼續(xù)聽(tīng)下去。我相信，很大一部分同學(xué)是跟我有同感的。另外，大作業(yè)這種考查形式還是不錯(cuò)的，并不是很難，但要花功夫。在完成大作業(yè)的過(guò)程中，其實(shí)是一個(gè)