4-2中心極限定理ppt課件

1、一、問題的引入一、問題的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例題三、典型例題四、內(nèi)容小結(jié)四、內(nèi)容小結(jié)第四章第二節(jié) 中心極限定理實例實例:考察射擊命中點與靶心距離的偏差考察射擊命中點與靶心距離的偏差. 這種偏差這種偏差X是大量微小的偶然因素是大量微小的偶然因素Xi 造成的微小誤差的總和造成的微小誤差的總和: 這些因素包括這些因素包括: 瞄準誤差、測量誤差、子彈制造過程方面瞄準誤差、測量誤差、子彈制造過程方面 (如外形、重量如外形、重量等等) 的誤差以及射擊時武器的振動、氣象因素的誤差以及射擊時武器的振動、氣象因素(如風速、風向、能見度、溫如風速、風向、能見度、溫度等度等) 的作用的作用, .1

2、niiXX所有這些不同因素所引起的微小誤差相互獨立所有這些不同因素所引起的微小誤差相互獨立.問題問題:在什么條件下，在什么條件下，時時的分布當?shù)姆植籍?nXXnii1以正態(tài)分布為其極限分布？以正態(tài)分布為其極限分布？二、基本定理二、基本定理定理定理4.6（林德貝格（林德貝格-列維中心極限定理）列維中心極限定理）則隨機變量之和的則隨機變量之和的和方差：和方差：且具有數(shù)學期望且具有數(shù)學期望同一分布同一分布服從服從相互獨立相互獨立設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量), 2 , 1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn nkknkknkknXDXEXY111標準化變量標準化變量 nnXnkk 1滿滿足足對對于

3、于任任意意的的分分布布函函數(shù)數(shù)xxFn)(定理定理4.6表明表明:.,數(shù)數(shù)標準正態(tài)分布的分布函標準正態(tài)分布的分布函的分布函數(shù)收斂于的分布函數(shù)收斂于隨機變量序列隨機變量序列當當nYn xtxte).(d2122lim)(limxYPxFnnnn lim1xnnXPnkkn 注注 0)( nnXEYEn)()1()(2XDnYDn 1)1(22 nn準化隨機變量準化隨機變量的標的標是是 niinXY1)()()(11 niinXXXDXEXY， nXEXEnii )()(1)()()(11 niiniiXDXDXD2 n )1 , 0(12NYnn近似近似時，時，當當)1(),(21 nnnNXX

4、nii 近似近似)()(XDXEXYn 3 中心極限定理的意義中心極限定理的意義 無論無論Xi ( i=1,2, ) 具有怎樣的分布，只要滿足定理具有怎樣的分布，只要滿足定理4.6的條件，則當?shù)臈l件，則當n充分充分大時，其和大時，其和 niiXX1近似地服從正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布. xtnnnxtexpnpnpPxppnn).(d21)1(lim,)10(,), 2 , 1(22 恒有恒有對于任意對于任意則則的二項分布的二項分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量證證根據(jù)第三章第二節(jié)例題可知根據(jù)第三章第二節(jié)例題可知,1 nkknX 分布律為分布律為分布的隨機變量分布的隨機變量一一是相互

5、獨立的、服從同是相互獨立的、服從同其中其中,)10(,21nXXX. 1, 0,)1(1 ippiXPiik德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理定理4.7( (德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理) ),)(pXEk ), 2 , 1()1()(nkppXDk 根據(jù)定理根據(jù)定理4.6得得 xpnpnpPnn)1(lim xpnpnpXPnkkn)1(lim1 xtxte).(d2122 注注1 定理定理4.7表明表明: 正態(tài)分布是二項分布的極限分布正態(tài)分布是二項分布的極限分布, 當當n充分大時充分大時, 可以利用該定理來計算可以利用該定理來計算二項分布的概率二項分布的概率.，則則若若即即)10;,

6、 2 , 1(),( pnpnBn 的標準化隨機變量：的標準化隨機變量：n )()(nnnnDEY )1(pnpnpn )1()1 , 0(時時當當近近似似 nN2 由泊松定理也知由泊松定理也知，有有，一一般般地地，很很小小時時，當當)1 . 010(1 pnpnknkknnppCkP )1( )(!npekk ), 2, 1, 0(nk 問題：問題：泊松分布和正態(tài)分布都可作為二項分布的近似分布，那么哪一種泊松分布和正態(tài)分布都可作為二項分布的近似分布，那么哪一種近似更好呢？近似更好呢？ 當當n很大，很大，p很小，很小， = np不大時，不大時，可用泊松分布；可用泊松分布； 當當n很大很大時，時

7、，可用正態(tài)分布可用正態(tài)分布.( p 可較大可較大)下面的圖形表明下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項分布的逼近正態(tài)分布是二項分布的逼近.李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理 Thm 4.8Thm 4.8( (如實例中射擊偏差服從正態(tài)分布如實例中射擊偏差服從正態(tài)分布) ) 李雅普諾夫定理是李雅普諾夫定理是獨立獨立但但不同分布不同分布情形下的中心極限定理，該定情形下的中心極限定理，該定理表明：理表明： 若所討論的隨機變量由大量獨立的，且若所討論的隨機變量由大量獨立的，且“均勻均勻”的小的隨機變量的小的隨機變量相加而成，則當相加而成，則當n很大時，這個隨機變量的分布近似地服從正態(tài)分布很大時，這個隨機變量的分布近似

8、地服從正態(tài)分布.中心極限定理的意義中心極限定理的意義 在后面的課程中，我們還將經(jīng)常用到中心極限定理在后面的課程中，我們還將經(jīng)常用到中心極限定理. 中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計算獨立隨機變中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗頻率量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實.三、典型例題三、典型例題.105,)10, 0(,),20, 2 , 1(20201的的近近似似值值求求記記上上服服

9、從從均均勻勻分分布布且且都都在在區(qū)區(qū)間間機機變變量量設(shè)設(shè)它它們們是是相相互互獨獨立立的的隨隨個個噪噪聲聲電電壓壓一一加加法法器器同同時時收收到到 VPVVkVkkk解解, 5)( kVE).20, 2 , 1(12100)( kVDk例例1)()(VDVEVZ 2012100520 V 105VP20121005201052012100520 VP387. 0 ZP387. 01 ZP 387. 02d2112tet)387. 0(1 .348. 0 )()(VDVEVZ 2012100520 V由定理由定理4.6, 隨機變量隨機變量Z近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布N(0,1), 某保險公司

10、的老年人壽保險有某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加萬人參加,每人每年交每人每年交200元元. 若老人在該若老人在該年內(nèi)死亡年內(nèi)死亡,公司付給家屬公司付給家屬1萬元萬元. 設(shè)老年人死亡率為設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險公司在一年內(nèi)試求保險公司在一年內(nèi)的這項保險中虧本的概率的這項保險中虧本的概率.解解設(shè)設(shè) X 為一年中投保老人的死亡數(shù)為一年中投保老人的死亡數(shù),),(pnBX則則,017. 0,10000 pn其中其中由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例22001000010000 XP200 XP )1(200)1(pnpnppnpnpXP 321. 2)1(pnpnpXP.

11、01. 0)321. 2(1 保險公司虧本的概率保險公司虧本的概率四、內(nèi)容小結(jié)四、內(nèi)容小結(jié)兩個中心極限定理兩個中心極限定理 林德貝格林德貝格-列維中心極限定理列維中心極限定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心極限定理表明中心極限定理表明, 在相當一般的條件下在相當一般的條件下, 當獨立隨機變量的個數(shù)增加當獨立隨機變量的個數(shù)增加時時, 其和的分布趨于正態(tài)分布其和的分布趨于正態(tài)分布. 李雅普諾夫資料李雅普諾夫資料Aleksandr Mikhailovich LyapunovBorn: 6 June 1857 in Yaroslavl, RussiaDied: 3 Nov 1918 in O

12、dessa, Russia德莫佛資料德莫佛資料Abraham de MoivreBorn: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov 1754 in London, England拉普拉斯資料拉普拉斯資料Pierre-Simon LaplaceBorn: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, FranceDied: 5 March 1827 in Paris, France例例3試分別用切比謝夫不等式和中心極限定理確定當擲一枚均勻硬幣時，試分別用切比謝夫不等式和中心極限定理確定

13、當擲一枚均勻硬幣時，需投多少次，才能保證使正面出現(xiàn)的頻率在需投多少次，才能保證使正面出現(xiàn)的頻率在0.4與與0.6之間的概率不少之間的概率不少于于90%.解法解法1(切比謝夫不等式切比謝夫不等式)設(shè)需投擲設(shè)需投擲n次，次， 次擲出反面次擲出反面第第次擲出正面次擲出正面第第iiXi, 0, 1.), 1(獨獨立立則則iiXpBX，則，則令令 niiXnX115 . 0)1()(1 niiXnEXE), 2 , 1(4125. 0)(, 5 . 0)( iXDXEii)1()(1 niiXnDXDn41 nXDXnDnii)()(12 由切比謝夫不等式，得由切比謝夫不等式，得5 . 0)( XEnX

14、D41)( 6 . 04 . 0 XP1 . 05 . 0 XP1 . 0)( XEXP2)1 . 0()(1XD n401. 011 9 . 0 解得解得.25041000 n解法解法2(德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理)6 . 04 . 0 XP)(1 . 0)()(XDXDXEXP 5 . 0)( XEnXD41)( 2 . 04/15 . 0nnXP )1 , 0(4/15 . 0NnX近近似似 )2 . 0()2 . 0(nn 1)2 . 0(2 n9 . 0 95. 0)2 . 0( n)645. 1( ,645. 12 . 0 n從從而而,65.67 n即即.68 n取取注注

15、兩種結(jié)果相比較，按切比謝夫不等式估計要多做兩種結(jié)果相比較，按切比謝夫不等式估計要多做182次試驗！次試驗！ 對于一個學生而言對于一個學生而言, 來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量. 設(shè)一設(shè)一個學生無家長、個學生無家長、1名家長、名家長、 2名家長來參加會議的概率分別為名家長來參加會議的概率分別為0.05、0.8、0.15. 若學校共有若學校共有400名學生名學生, 設(shè)各學生參加會議的家長數(shù)相互獨立設(shè)各學生參加會議的家長數(shù)相互獨立, 且服從且服從同一分布同一分布. (1) 求參加會議的家長數(shù)求參加會議的家長數(shù)X超過超過450的概率的概率; (2) 求有求有1

16、名家長來參名家長來參加會議的學生數(shù)不多于加會議的學生數(shù)不多于340的概率的概率.解解, )400 , 2 , 1( )1(長數(shù)長數(shù)個學生來參加會議的家個學生來參加會議的家第第記記以以kkXk 例例4 的的分分布布律律為為則則kX15. 08 . 005. 0210kkpX, 1 . 1)( kXE易易知知)400, 2 , 1(,19. 0)( kXDk , 4001 kkXX而而根據(jù)根據(jù)定理定理4.6 19. 04001 . 1400 4001 kkX隨隨機機變變量量 19. 04001 . 1400 X),1, 0( N近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布 19. 04001 . 140045

17、019. 04001 . 1400 XP450 XP于于是是 147. 119. 04001 . 14001 XP;1357. 0)147. 1(1 , )2(議的學生數(shù)議的學生數(shù)記有一名家長來參加會記有一名家長來參加會以以Y ),8 . 0,400( bY則則由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,350 XP 2 . 08 . 04008 . 04003402 . 08 . 04008 . 0400 YP 5 . 22 . 08 . 04008 . 0400 YP.9938. 0)5 . 2( 一船舶在某海區(qū)航行一船舶在某海區(qū)航行, 已知每遭受一次海浪的沖擊已知每遭受一次海浪的沖擊,

18、 縱搖角大于縱搖角大于 3 的概的概率為率為1/3, 若船舶遭受了若船舶遭受了90000次波浪沖擊次波浪沖擊, 問其中有問其中有2950030500次縱搖角大次縱搖角大于于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗次試驗,并假設(shè)各次試驗是獨立的并假設(shè)各次試驗是獨立的,在在90000次波浪沖擊中縱搖角大于次波浪沖擊中縱搖角大于 3 的次數(shù)為的次數(shù)為X,則則X是一個隨機變量是一個隨機變量,).31,90000( bX且且例例2所求概率為所求概率為3050029500 XPkkkk 900003050029501323190000分布律為分布律為kXP kkk 90