機械工程控制基礎(chǔ)(3)

1、控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)Fundamentals of Control Engineering 第三章第三章 系統(tǒng)的時間響應分析系統(tǒng)的時間響應分析3.1 時間響應及其組成時間響應及其組成 一一、 時間響應時間響應 時間響應是指系統(tǒng)的響應（輸出）在時域上的表現(xiàn)形式，或系統(tǒng)的動力學時間響應是指系統(tǒng)的響應（輸出）在時域上的表現(xiàn)形式，或系統(tǒng)的動力學方程在一定初始條件下的解。方程在一定初始條件下的解。二、時間響應的組成二、時間響應的組成 如下圖的力學系統(tǒng)如下圖的力學系統(tǒng), 根據(jù)力學方程和微分方程的解可得根據(jù)力學方程和微分方程的解可得:式中，第一、二項是由微分方程的初始條件式中，第一、二項是由微分方程的初

2、始條件(即系統(tǒng)的初始狀態(tài)即系統(tǒng)的初始狀態(tài))引起的自由振動引起的自由振動即自由響應。第三項是由作用力引起的自由振動即自由響應，其振動頻率均為即自由響應。第三項是由作用力引起的自由振動即自由響應，其振動頻率均為應該說，第三項的自由響應并不完全自由，因為它的幅值受到應該說，第三項的自由響應并不完全自由，因為它的幅值受到F的影響。第四項的影響。第四項是由作用力引起的強迫振動即強迫響應，其振動頻率即為作用力頻率是由作用力引起的強迫振動即強迫響應，其振動頻率即為作用力頻率。3.1 時間響應及其組成時間響應及其組成 對于一個對于一個n階線性定常系統(tǒng)，輸入階線性定常系統(tǒng)，輸入Xi(t)與輸出與輸出Xo(t)之

3、間關(guān)系的微分方程之間關(guān)系的微分方程設其特征根為設其特征根為si(i=1,2,n)且各不相同，則系統(tǒng)的時間響應可表示成且各不相同，則系統(tǒng)的時間響應可表示成 3.1 時間響應及其組成時間響應及其組成 按響應的來源分為零狀態(tài)響應和零輸入響應。其中，零狀態(tài)響應按響應的來源分為零狀態(tài)響應和零輸入響應。其中，零狀態(tài)響應是指初始狀態(tài)為零時，由系統(tǒng)的輸入引起的響應，即是指初始狀態(tài)為零時，由系統(tǒng)的輸入引起的響應，即 ；零；零輸入響應是指系統(tǒng)的輸入為零時，由初始狀態(tài)引起的響應，即輸入響應是指系統(tǒng)的輸入為零時，由初始狀態(tài)引起的響應，即 。在控制工程中，如無特別聲明，本書所講的響應往往是零狀態(tài)響應。在控制工程中，如無

4、特別聲明，本書所講的響應往往是零狀態(tài)響應。 時間響應還可按其性質(zhì)分為強迫響應項時間響應還可按其性質(zhì)分為強迫響應項B(t)，自由響應項，自由響應項3.1 時間響應及其組成時間響應及其組成 三、微分方程特征根的意義三、微分方程特征根的意義 若系統(tǒng)的所有特征根若系統(tǒng)的所有特征根si(i=1,2,n)均具有負實部，即均具有負實部，即Resi0 ，則有其自由響應項最終會趨，則有其自由響應項最終會趨于無窮大，即系統(tǒng)的自由響應項發(fā)散。這種系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)有一于無窮大，即系統(tǒng)的自由響應項發(fā)散。這種系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)有一個特征根的實部為個特征根的實部為0，而其余特征根的實部均為負數(shù)，則其自由響

5、應項最終會，而其余特征根的實部均為負數(shù)，則其自由響應項最終會變成一等幅振蕩，這種系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。變成一等幅振蕩，這種系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。 因此，系統(tǒng)特征根的實部決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定與否。若系統(tǒng)特征根的實部全部因此，系統(tǒng)特征根的實部決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定與否。若系統(tǒng)特征根的實部全部都小于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若系統(tǒng)特征根的實部不全小于零，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。都小于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若系統(tǒng)特征根的實部不全小于零，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.1 時間響應及其組成時間響應及其組成 由系統(tǒng)特征根與系統(tǒng)傳遞函數(shù)極點之間的對應關(guān)系，還可得系統(tǒng)穩(wěn)定的由系統(tǒng)特征根與系統(tǒng)傳遞函數(shù)極點之間的對應關(guān)系，還可得系統(tǒng)穩(wěn)定的另一判據(jù)：若系統(tǒng)傳遞函數(shù)

6、的所有極點均分布在另一判據(jù)：若系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點均分布在s平面的左半平面內(nèi)，則系平面的左半平面內(nèi)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若系統(tǒng)傳遞函數(shù)在統(tǒng)穩(wěn)定；若系統(tǒng)傳遞函數(shù)在s平面的右半平面內(nèi)存在極點，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。平面的右半平面內(nèi)存在極點，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 對于穩(wěn)定系統(tǒng)，對于穩(wěn)定系統(tǒng)， Resi 絕對值的大小決定了它所對應的自由響應項衰減絕對值的大小決定了它所對應的自由響應項衰減的快慢。的快慢。Resi絕對值越大，則它所對應的的自由響應項衰減得越快；反之亦絕對值越大，則它所對應的的自由響應項衰減得越快；反之亦然。而系統(tǒng)特征根的虛部然。而系統(tǒng)特征根的虛部Imsi的分布情況在很大程度上決定了系統(tǒng)自由響應的分布情況在很

7、大程度上決定了系統(tǒng)自由響應的振蕩情況，絕對值越大，則自由響應項振蕩頻率越高，它決定了系統(tǒng)的響應的振蕩情況，絕對值越大，則自由響應項振蕩頻率越高，它決定了系統(tǒng)的響應在規(guī)定時間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應的情況，這影響著系統(tǒng)響應的準確性。在規(guī)定時間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應的情況，這影響著系統(tǒng)響應的準確性。 3.2 典型輸入信號典型輸入信號 在控制工程中，常用的輸入信號有兩大類。其一是系統(tǒng)在控制工程中，常用的輸入信號有兩大類。其一是系統(tǒng)正常工作時的輸入信號；其二是外加的測試信號，包括單位正常工作時的輸入信號；其二是外加的測試信號，包括單位脈沖信號、單位階躍信號、單位斜坡信號、正弦信號和某些脈沖信號、單位階躍信號、單位斜坡信

8、號、正弦信號和某些隨機信號等。輸入信號的選擇要綜合考慮系統(tǒng)的工作條件和隨機信號等。輸入信號的選擇要綜合考慮系統(tǒng)的工作條件和實驗的目的。實驗的目的。 3.3 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng) 一、一階系統(tǒng)一、一階系統(tǒng) 的表示的表示 一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為 式中，式中，T稱為一階系統(tǒng)的時間常數(shù)，稱為一階系統(tǒng)的時間常數(shù)，K稱為一階系統(tǒng)的增稱為一階系統(tǒng)的增益。是一階系統(tǒng)的特征參數(shù)益。是一階系統(tǒng)的特征參數(shù). 3.3 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng) (t)只有瞬態(tài)項，而其穩(wěn)態(tài)項為零。即一階系統(tǒng)的單位脈沖響應只有瞬態(tài)項，而其穩(wěn)態(tài)項為零。即一階系統(tǒng)的單位脈沖響應函數(shù)是一個遞減的指數(shù)函數(shù)。函數(shù)是一個遞減的指

9、數(shù)函數(shù)。 二、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應二、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應 (t) 于是，一階系統(tǒng)在理想的單位脈沖函數(shù)作用下，其響應函數(shù)等于系于是，一階系統(tǒng)在理想的單位脈沖函數(shù)作用下，其響應函數(shù)等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的統(tǒng)傳遞函數(shù)的Laplace逆變換，即逆變換，即3.3 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng) 對一階系統(tǒng)而言，將其單位脈沖響應曲線衰減到初值的對一階系統(tǒng)而言，將其單位脈沖響應曲線衰減到初值的2%之前的之前的過程定義為過渡過程，稱此過程經(jīng)歷的時間為過渡過程時間或調(diào)整時過程定義為過渡過程，稱此過程經(jīng)歷的時間為過渡過程時間或調(diào)整時間，記為間，記為Ts。經(jīng)過計算可得一階系統(tǒng)的調(diào)整時間為。經(jīng)過計算可得一階系統(tǒng)的調(diào)整時間為4T。顯

10、然，系統(tǒng)的。顯然，系統(tǒng)的時間常數(shù)時間常數(shù)T愈小，其過渡過程的持續(xù)時間愈短，亦即系統(tǒng)的慣性愈小，愈小，其過渡過程的持續(xù)時間愈短，亦即系統(tǒng)的慣性愈小，系統(tǒng)對輸入信號反應的快速性愈好。系統(tǒng)對輸入信號反應的快速性愈好。3.3 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng) Xou(t)的瞬態(tài)項的瞬態(tài)項 ，其穩(wěn)態(tài)項為，其穩(wěn)態(tài)項為1。即一階系統(tǒng)的單位階躍。即一階系統(tǒng)的單位階躍響應函數(shù)是一個遞增的指數(shù)函數(shù)。響應函數(shù)是一個遞增的指數(shù)函數(shù)。 三、一階系統(tǒng)的單位階躍響應三、一階系統(tǒng)的單位階躍響應 Xou(t)當系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù)時，即當系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù)時，即所以所以3.3 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng) 對一階系統(tǒng)而言，過渡過程還可定

11、義為其階躍響應增長到穩(wěn)態(tài)值對一階系統(tǒng)而言，過渡過程還可定義為其階躍響應增長到穩(wěn)態(tài)值的的98%之前的過程，同樣可算得相應的時間為之前的過程，同樣可算得相應的時間為4T。因此，時間常數(shù)。因此，時間常數(shù)T確確實反映了一階系統(tǒng)的固有特性，其值愈小，系統(tǒng)的慣性就愈小，系統(tǒng)的實反映了一階系統(tǒng)的固有特性，其值愈小，系統(tǒng)的慣性就愈小，系統(tǒng)的響應也就愈快。響應也就愈快。3.3 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng) 由以上分析可知，若要求用實驗方法求出一階系統(tǒng)的傳由以上分析可知，若要求用實驗方法求出一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)遞函數(shù)G(s)，就可以先對系統(tǒng)輸入一單位階躍信號，并測，就可以先對系統(tǒng)輸入一單位階躍信號，并測出它的響應曲線，當然包括

12、其穩(wěn)態(tài)值出它的響應曲線，當然包括其穩(wěn)態(tài)值xou()，然后從響應曲，然后從響應曲線上找出線上找出0632 xou()(即特征點即特征點A)處所對應的時間處所對應的時間t這個這個t就是系統(tǒng)的時間常數(shù)就是系統(tǒng)的時間常數(shù)T；或者找出；或者找出to時時xou()(即特征點即特征點0)的切線斜率，這個斜率的倒數(shù)也是系統(tǒng)的時間常數(shù)的切線斜率，這個斜率的倒數(shù)也是系統(tǒng)的時間常數(shù)T。再參。再參考式考式(331)求出求出(t)，最后由，最后由G(s)L(t)求得求得G(s)。3.3 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng) 四、線性系統(tǒng)輸出與輸入的關(guān)系四、線性系統(tǒng)輸出與輸入的關(guān)系 考察一階系統(tǒng)的單位階躍響應函數(shù)考察一階系統(tǒng)的單位階躍響應函

13、數(shù) Xou(t) 與單位脈沖響應函數(shù)與單位脈沖響應函數(shù) (t) ，可知它們之間的關(guān)系為可知它們之間的關(guān)系為 ，并且其輸入的關(guān)系為并且其輸入的關(guān)系為 。事實上，對于任意線性系統(tǒng)而言，若一個輸入事實上，對于任意線性系統(tǒng)而言，若一個輸入A是另一個輸入是另一個輸入B的導函數(shù)，的導函數(shù)，則輸入則輸入A所引起的輸出就是輸入所引起的輸出就是輸入B所引起輸出的導函數(shù)；同樣地，若一個所引起輸出的導函數(shù)；同樣地，若一個輸入輸入A是另一個輸入是另一個輸入B的積分，則輸入的積分，則輸入A所引起的輸出就是輸入所引起的輸出就是輸入B所引起所引起輸出的積分，但是，如果積分是不定積分，則還需要確定積分常數(shù)輸出的積分，但是，如

14、果積分是不定積分，則還需要確定積分常數(shù)。3.4 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 1二階系統(tǒng)的表示二階系統(tǒng)的表示二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有如下兩種形式：二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有如下兩種形式： 其中，其中，,n是二階系統(tǒng)的特征參數(shù)，它們表明二階系統(tǒng)本身的與外界是二階系統(tǒng)的特征參數(shù)，它們表明二階系統(tǒng)本身的與外界無關(guān)的固有特性。一般將式（無關(guān)的固有特性。一般將式（3.4.1）所示的系統(tǒng)稱為無零點的二階系統(tǒng)或）所示的系統(tǒng)稱為無零點的二階系統(tǒng)或典型的二階系統(tǒng)，而將式（典型的二階系統(tǒng)，而將式（3.4.2）所示的系統(tǒng)稱為有零點的二階系統(tǒng)。在）所示的系統(tǒng)稱為有零點的二階系統(tǒng)。在不特別聲明的情況下，本章討論的是典型二階系統(tǒng)的時間響應。不

15、特別聲明的情況下，本章討論的是典型二階系統(tǒng)的時間響應。3.4 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 二階系統(tǒng)的特征方程是二階系統(tǒng)的特征方程是 由上式可見，隨著阻尼比取值的不同，二階系統(tǒng)的特征根分布不同，亦即由上式可見，隨著阻尼比取值的不同，二階系統(tǒng)的特征根分布不同，亦即二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點分布不同。不同的極點分布情況，決定了二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點分布不同。不同的極點分布情況，決定了二階系統(tǒng)在不同的阻尼情況下，其自由響應項不同。當在不同的阻尼情況下，其自由響應項不同。當1時，時，二階系統(tǒng)的過渡過程只具有單調(diào)上升的特性，二階系統(tǒng)的過渡過程只具有單調(diào)上升的特性，而不會出現(xiàn)振蕩。在無振蕩單調(diào)上升的曲線而不會出現(xiàn)

16、振蕩。在無振蕩單調(diào)上升的曲線中，以中，以=1時的過渡過程時間時的過渡過程時間ts最短。在欠阻最短。在欠阻尼系統(tǒng)中，當尼系統(tǒng)中，當=0.40.8時，不僅其過渡過程時，不僅其過渡過程時間比時間比=1更短，而且振蕩也不太嚴重。因此，更短，而且振蕩也不太嚴重。因此，一般希望二階系統(tǒng)工作在一般希望二階系統(tǒng)工作在=0.40.8的欠阻尼的欠阻尼狀態(tài)。通過選擇合適的特征參數(shù)狀態(tài)。通過選擇合適的特征參數(shù), d ，可以，可以使系統(tǒng)具有合適的過渡過程。使系統(tǒng)具有合適的過渡過程。 3.4 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 由于系統(tǒng)輸入的不同，二階系統(tǒng)的單位脈沖響應與單位階躍響應由于系統(tǒng)輸入的不同，二階系統(tǒng)的單位脈沖響應與單位階躍響應

17、不同，但是它們隨著阻尼比的不同而不同的振蕩情況卻是一致的。當不同，但是它們隨著阻尼比的不同而不同的振蕩情況卻是一致的。當系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)時，均為等幅振蕩；當系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)時，均為系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)時，均為等幅振蕩；當系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)時，均為減幅振蕩；而當系統(tǒng)為臨界阻尼或過阻尼系統(tǒng)時，均不會出現(xiàn)振蕩。減幅振蕩；而當系統(tǒng)為臨界阻尼或過阻尼系統(tǒng)時，均不會出現(xiàn)振蕩。 在根據(jù)給定的性能指標設計系統(tǒng)時，將一階系統(tǒng)與二階系統(tǒng)相比，在根據(jù)給定的性能指標設計系統(tǒng)時，將一階系統(tǒng)與二階系統(tǒng)相比，通常選擇二階系統(tǒng)。這是因為二階系統(tǒng)容易得到較短的過渡過程時通常選擇二階系統(tǒng)。這是因為二階系統(tǒng)容易得到較短的過渡過程時間，并

18、且也能同時滿足對振蕩性能的要求。間，并且也能同時滿足對振蕩性能的要求。3.4 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 三三. 二階系統(tǒng)響應的性能指標二階系統(tǒng)響應的性能指標 在許多情況下，系統(tǒng)所需的性能指標一般以時域量值的形式給出。在許多情況下，系統(tǒng)所需的性能指標一般以時域量值的形式給出。 通常，系統(tǒng)的性能指標，根據(jù)系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應給出。其原通常，系統(tǒng)的性能指標，根據(jù)系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應給出。其原因有二：一是產(chǎn)生階躍輸入比較容易，而且從系統(tǒng)對單位階躍輸入的響因有二：一是產(chǎn)生階躍輸入比較容易，而且從系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應也較容易求得對任何輸入的響應；二是在實際中，許多輸入與階躍輸應也較容易求得對任何輸入的

19、響應；二是在實際中，許多輸入與階躍輸入相似，而且階躍輸入又往往是實際中最不利的輸入情況。入相似，而且階躍輸入又往往是實際中最不利的輸入情況。 由于完全無振蕩的單調(diào)過程的過渡過程時間太長，所以，除了那些不由于完全無振蕩的單調(diào)過程的過渡過程時間太長，所以，除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常都允許系統(tǒng)有適度的振蕩，其目的是為了允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常都允許系統(tǒng)有適度的振蕩，其目的是為了獲得較短的過渡過程時間。這就是在設計二階系統(tǒng)時，常使系統(tǒng)在欠阻獲得較短的過渡過程時間。這就是在設計二階系統(tǒng)時，常使系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)下工作的原因。因此，以下二階系統(tǒng)響應的性能指標的定義及計尼狀態(tài)下工作的原因。因此，以

20、下二階系統(tǒng)響應的性能指標的定義及計算公式除特別說明者外，都是針對欠阻尼二階系統(tǒng)而言的；更確切地說，算公式除特別說明者外，都是針對欠阻尼二階系統(tǒng)而言的；更確切地說，是針對欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應的過渡過程而言的。是針對欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應的過渡過程而言的。3.4 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖3.4.4所示，其瞬態(tài)性能所示，其瞬態(tài)性能指標包括上升時間指標包括上升時間tr、峰值時間、峰值時間tp、最大超調(diào)量、最大超調(diào)量Mp、調(diào)整時間、調(diào)整時間ts、振、振蕩次數(shù)蕩次數(shù)N等。等。1上升時間上升時間tr：響應曲線從原工作狀態(tài)響應曲線

21、從原工作狀態(tài)出發(fā)，第一次達到輸出穩(wěn)態(tài)值所需的時出發(fā)，第一次達到輸出穩(wěn)態(tài)值所需的時間定義為上升時間。間定義為上升時間。 當當一定時，一定時， n增大，增大，tr就減小；當就減小；當n一定時，一定時， 增大，增大，tr就增大。就增大。 3.4 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 2峰值時間峰值時間tp：響應曲線達到第一個峰值所需的時間定義為峰值時間。響應曲線達到第一個峰值所需的時間定義為峰值時間。 當當一定時，一定時， n增大，增大，tp就減??；當就減??；當n一定時，一定時， 增大，增大，tp就增大。就增大。 3最大超調(diào)量最大超調(diào)量Mp：一般用下式定義系統(tǒng)的最大超調(diào)量，一般用下式定義系統(tǒng)的最大超調(diào)量，因此，因此，M

22、p與與n無關(guān)，而只與無關(guān)，而只與有關(guān)。有關(guān)。增大，增大， Mp就減??；反之亦然。就減??；反之亦然。3.4 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 4調(diào)整時間調(diào)整時間ts：在過渡過程中，在過渡過程中，xo(t)取的值滿足下面不等式時所需要的時間，取的值滿足下面不等式時所需要的時間，定義為調(diào)整時間。不等式為定義為調(diào)整時間。不等式為當當一定時，一定時， n增大，增大，ts就減小；當就減小；當n一定時，一定時， 增大，增大，ts也減小。在設計也減小。在設計二階系統(tǒng)時，一般取二階系統(tǒng)時，一般取 070 7作為最佳阻尼比。這是因為此時不僅作為最佳阻尼比。這是因為此時不僅ts小，小，而是超調(diào)量也不大。而是超調(diào)量也不大。3.4 二

23、階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 5振蕩次數(shù)振蕩次數(shù)N：在過渡過程時間內(nèi)，在過渡過程時間內(nèi)，xo(t)穿越其穩(wěn)態(tài)值穿越其穩(wěn)態(tài)值 xo() 的次數(shù)的次數(shù)的的一半一半定義為振蕩次數(shù)。即定義為振蕩次數(shù)。即 振蕩次數(shù)振蕩次數(shù)N隨著隨著的增大而減小，它的大小直接反映了系統(tǒng)的阻尼特性。的增大而減小，它的大小直接反映了系統(tǒng)的阻尼特性。 3.4 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 從二階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標與其特征參數(shù)之間的關(guān)系中可以看出從二階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標與其特征參數(shù)之間的關(guān)系中可以看出：(1)系統(tǒng)性能指標的矛盾性。一般說來，系統(tǒng)的上升時間系統(tǒng)性能指標的矛盾性。一般說來，系統(tǒng)的上升時間tr、峰值時間、峰值時間tp等反等反映系統(tǒng)響應快速性的性

24、能指標與最大超調(diào)量映系統(tǒng)響應快速性的性能指標與最大超調(diào)量Mp、振蕩次數(shù)、振蕩次數(shù)N等振蕩性能指標等振蕩性能指標是相互矛盾的是相互矛盾的。 (2)為了使二階系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)特性，必須合理選擇系統(tǒng)的阻尼比為了使二階系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)特性，必須合理選擇系統(tǒng)的阻尼比 和無和無阻尼固有頻率阻尼固有頻率 n 。一般的做法是先根據(jù)最大超調(diào)量一般的做法是先根據(jù)最大超調(diào)量Mp、振蕩次數(shù)、振蕩次數(shù)N等要求等要求選擇系統(tǒng)的阻尼比選擇系統(tǒng)的阻尼比 ，然后再根據(jù)上升時間然后再根據(jù)上升時間tr、峰值時間、峰值時間tp、調(diào)整時間、調(diào)整時間ts等要等要求，確定系統(tǒng)無阻尼固有頻率求，確定系統(tǒng)無阻尼固有頻率 n 。 需要說明的

25、是，以上各個性能指標的公式是從典型二階欠系統(tǒng)的階躍響應需要說明的是，以上各個性能指標的公式是從典型二階欠系統(tǒng)的階躍響應中推導出來的。如果系統(tǒng)是具有零點的二階系統(tǒng)，這些公式是不能直接應用中推導出來的。如果系統(tǒng)是具有零點的二階系統(tǒng)，這些公式是不能直接應用的。但是，其性能指標同二階系統(tǒng)特征參數(shù)之間的變化趨勢卻保持不變的。但是，其性能指標同二階系統(tǒng)特征參數(shù)之間的變化趨勢卻保持不變。3.4 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 3.4 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 3.5 高階系統(tǒng)高階系統(tǒng) 大量的系統(tǒng)，特別是機械系統(tǒng)，幾乎都可用高階微分方程來描述。這種大量的系統(tǒng)，特別是機械系統(tǒng)，幾乎都可用高階微分方程來描述。這種用高階微分方程描述的系

26、統(tǒng)叫做高階系統(tǒng)。高階系統(tǒng)均可化為零階、一階用高階微分方程描述的系統(tǒng)叫做高階系統(tǒng)。高階系統(tǒng)均可化為零階、一階和二階環(huán)節(jié)的組合。而一般所重視的是系統(tǒng)的二階環(huán)節(jié)，特別是二階振蕩和二階環(huán)節(jié)的組合。而一般所重視的是系統(tǒng)的二階環(huán)節(jié)，特別是二階振蕩環(huán)節(jié)。環(huán)節(jié)。 高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的普遍形式可表示為高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的普遍形式可表示為系統(tǒng)的特征方程式為系統(tǒng)的特征方程式為設系統(tǒng)傳遞函數(shù)的設系統(tǒng)傳遞函數(shù)的m個零點為個零點為-zi(i1，2，m)，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可寫為，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可寫為3.5 高階系統(tǒng)高階系統(tǒng) 在單位階躍輸入在單位階躍輸入Xi(s)1s的作用下，輸出為的作用下，輸出為式中式中式中第一項為穩(wěn)態(tài)分量

27、，第二項為指數(shù)曲線式中第一項為穩(wěn)態(tài)分量，第二項為指數(shù)曲線(一階系統(tǒng)一階系統(tǒng))，第三項為振蕩曲線，第三項為振蕩曲線(二階系統(tǒng)二階系統(tǒng))。因此，一個高階系統(tǒng)的響應可以看成是多個一階環(huán)節(jié)和二階環(huán)。因此，一個高階系統(tǒng)的響應可以看成是多個一階環(huán)節(jié)和二階環(huán)節(jié)響應的疊加。上述一階環(huán)節(jié)及二階環(huán)節(jié)的響應，決定于節(jié)響應的疊加。上述一階環(huán)節(jié)及二階環(huán)節(jié)的響應，決定于 pj, k, nk及系數(shù)及系數(shù)Aj, Dk，即與零、極點的分布有關(guān)。因此，了解零、極點的分布情況，就可，即與零、極點的分布有關(guān)。因此，了解零、極點的分布情況，就可以對系統(tǒng)性能進行定性分析。以對系統(tǒng)性能進行定性分析。3.5 高階系統(tǒng)高階系統(tǒng) (1)當系統(tǒng)閉

28、環(huán)極點全部在當系統(tǒng)閉環(huán)極點全部在s平面左邊時，其特征根有負實根及復根有負實平面左邊時，其特征根有負實根及復根有負實部，從而上式第二、三項均為衰減的，因此系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，各分量部，從而上式第二、三項均為衰減的，因此系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，各分量衰減的快慢，取決于極點離虛抽的距離。當衰減的快慢，取決于極點離虛抽的距離。當pj, k, nk愈大，即離虛軸愈大，即離虛軸愈遠時，衰減愈快。愈遠時，衰減愈快。(2)極點位置距原點越遠，則對應項的幅值就越小，對系統(tǒng)過渡過程的影極點位置距原點越遠，則對應項的幅值就越小，對系統(tǒng)過渡過程的影響就越小。另外，當極點和零點很靠近時，對應項的幅值也很小，即響就越小。另外，當極點

29、和零點很靠近時，對應項的幅值也很小，即這對零、極點對系統(tǒng)過渡過程的影響將很小。系數(shù)大而且衰減慢的那這對零、極點對系統(tǒng)過渡過程的影響將很小。系數(shù)大而且衰減慢的那些分量，將在動態(tài)過程中起主導作用。些分量，將在動態(tài)過程中起主導作用。(3)如果高階系統(tǒng)中離虛軸最近的極點如果高階系統(tǒng)中離虛軸最近的極點,其實部小于其他極點實部的其實部小于其他極點實部的l5，并且附近不存在零點，可以認為系統(tǒng)的動態(tài)響應主要由這一極點決定，并且附近不存在零點，可以認為系統(tǒng)的動態(tài)響應主要由這一極點決定，稱為主導極點。利用主導極點的概念，可將主導極點為共軛復數(shù)極點稱為主導極點。利用主導極點的概念，可將主導極點為共軛復數(shù)極點的高階系

30、統(tǒng)，降階近似作二階系統(tǒng)來處理。的高階系統(tǒng)，降階近似作二階系統(tǒng)來處理。3.5 高階系統(tǒng)高階系統(tǒng) 設有一系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)極點在設有一系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)極點在s平面上的分布如圖所示。極點平面上的分布如圖所示。極點s3距虛軸距虛軸的距離不小于共軛復數(shù)極點的距離不小于共軛復數(shù)極點s1, s2距虛軸距離的距虛軸距離的5倍，即倍，即IRes3|=|Res1|5 n (此處此處, n 對應于對應于s1, s2)；同時，極點；同時，極點s1, s2附近無其他零點和極點附近無其他零點和極點. 由以上由以上已知條件可算出與極點已知條件可算出與極點s3所對應的過渡過程分量的調(diào)整時間為所對應的過渡過程分量的調(diào)整時間為 由

31、圖可知，由共軛復數(shù)極點由圖可知，由共軛復數(shù)極點s1, s2 確定的分量在該系統(tǒng)的單位脈沖響應函確定的分量在該系統(tǒng)的單位脈沖響應函數(shù)中起主導作用，即主導極點，因為它衰減得最慢。其他遠離虛軸的極點所數(shù)中起主導作用，即主導極點，因為它衰減得最慢。其他遠離虛軸的極點所對應的單位脈沖響應函數(shù)衰減較快，它們僅在過渡過程的極短時間內(nèi)產(chǎn)生一對應的單位脈沖響應函數(shù)衰減較快，它們僅在過渡過程的極短時間內(nèi)產(chǎn)生一定的影響。定的影響。3.6 系統(tǒng)誤差分析與計算系統(tǒng)誤差分析與計算 準確準確是對控制系統(tǒng)提出的一個重要性能要求對于實際系統(tǒng)是對控制系統(tǒng)提出的一個重要性能要求對于實際系統(tǒng)來說，輸出量常常不能絕對精確地達到所期望的

32、數(shù)值，期望的數(shù)值來說，輸出量常常不能絕對精確地達到所期望的數(shù)值，期望的數(shù)值與實際輸出的差就是所謂的誤差。與實際輸出的差就是所謂的誤差。 自動控制系統(tǒng)通常應是穩(wěn)定的那么在某一典型外因作用下，系自動控制系統(tǒng)通常應是穩(wěn)定的那么在某一典型外因作用下，系統(tǒng)的運動大致可以分為兩個階段：第一階段是過渡過程或瞬態(tài)；第統(tǒng)的運動大致可以分為兩個階段：第一階段是過渡過程或瞬態(tài)；第二階段是到達某種新的平衡狀態(tài)或穩(wěn)態(tài)。系統(tǒng)的輸出量則由瞬態(tài)分二階段是到達某種新的平衡狀態(tài)或穩(wěn)態(tài)。系統(tǒng)的輸出量則由瞬態(tài)分量量(或自由響應或自由響應)和穩(wěn)態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量(或強迫響應或強迫響應)所組成。因而系統(tǒng)的誤差也所組成。因而系統(tǒng)的誤差也由瞬

33、態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差兩部分所組成。在過渡過程中瞬態(tài)誤差是誤由瞬態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差兩部分所組成。在過渡過程中瞬態(tài)誤差是誤差的主要部分，但它隨時間而逐漸衰減，穩(wěn)態(tài)誤差將逐漸成為誤差差的主要部分，但它隨時間而逐漸衰減，穩(wěn)態(tài)誤差將逐漸成為誤差的主要部分。由此可見，對瞬態(tài)誤差的分析是與過渡過程品質(zhì)的分的主要部分。由此可見，對瞬態(tài)誤差的分析是與過渡過程品質(zhì)的分析相一致的。析相一致的。 引起瞬態(tài)誤差的內(nèi)因是系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)，外因是輸入量及其導數(shù)引起瞬態(tài)誤差的內(nèi)因是系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)，外因是輸入量及其導數(shù)的不連續(xù)變化。引起穩(wěn)態(tài)誤差的內(nèi)因當然也是系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)，而的不連續(xù)變化。引起穩(wěn)態(tài)誤差的內(nèi)因當然也是系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)，而外

34、因是輸入量及其導數(shù)的連續(xù)變化部分外因是輸入量及其導數(shù)的連續(xù)變化部分.3.6 系統(tǒng)誤差分析與計算系統(tǒng)誤差分析與計算 設設xor(t)是控制系統(tǒng)的理想輸出，是控制系統(tǒng)的理想輸出，xo(t)是其實際輸出，則誤差是其實際輸出，則誤差e(t)定義為定義為 系統(tǒng)的偏差則是以系統(tǒng)的輸入端為基準來定義的，記為系統(tǒng)的偏差則是以系統(tǒng)的輸入端為基準來定義的，記為(t) 。 顯然，控制系統(tǒng)的誤差顯然，控制系統(tǒng)的誤差e(t)和偏差和偏差(t)是既有區(qū)別，又有聯(lián)系的。系統(tǒng)是既有區(qū)別，又有聯(lián)系的。系統(tǒng)偏差偏差(t)與系統(tǒng)誤差與系統(tǒng)誤差e(t)在一般的情況下不相等。只有當系統(tǒng)是單位反饋在一般的情況下不相等。只有當系統(tǒng)是單位反

35、饋系統(tǒng)時，系統(tǒng)的偏差系統(tǒng)時，系統(tǒng)的偏差(t)與誤差與誤差e(t)才會相同才會相同.一、系統(tǒng)誤差與偏差的關(guān)系一、系統(tǒng)誤差與偏差的關(guān)系在如圖在如圖3.6.1所示的閉環(huán)系統(tǒng)中，系統(tǒng)誤差所示的閉環(huán)系統(tǒng)中，系統(tǒng)誤差e(t)的的Laplace變換變換E1(s)與系統(tǒng)偏差與系統(tǒng)偏差(t)的的Laplace變換變換E(s)之間具有如下關(guān)系：之間具有如下關(guān)系：3.6 系統(tǒng)誤差分析與計算系統(tǒng)誤差分析與計算 二、系統(tǒng)存在干擾作用時誤差和偏差二、系統(tǒng)存在干擾作用時誤差和偏差若系統(tǒng)有干擾若系統(tǒng)有干擾N(s)作用，其方框圖如圖作用，其方框圖如圖3.6.3所示?？梢郧蟮盟??？梢郧蟮?因此，系統(tǒng)的誤差包括兩部分，一部分與系

36、統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入信號有因此，系統(tǒng)的誤差包括兩部分，一部分與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入信號有關(guān)，另一部分為系統(tǒng)在干擾單獨作用下產(chǎn)生的輸出。關(guān)，另一部分為系統(tǒng)在干擾單獨作用下產(chǎn)生的輸出。 3.6 系統(tǒng)誤差分析與計算系統(tǒng)誤差分析與計算 系統(tǒng)過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)實際輸出量與系統(tǒng)希望的輸出量之間的系統(tǒng)過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)實際輸出量與系統(tǒng)希望的輸出量之間的偏差稱為穩(wěn)態(tài)誤差。它是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的測度，反映了系統(tǒng)響應的準確偏差稱為穩(wěn)態(tài)誤差。它是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的測度，反映了系統(tǒng)響應的準確性。性。 三、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差三、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差 同樣地，可以定義穩(wěn)態(tài)偏差同樣地，可以定義穩(wěn)態(tài)偏差3.6 系統(tǒng)誤

37、差分析與計算系統(tǒng)誤差分析與計算 四、與輸入和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差四、與輸入和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差 現(xiàn)分析如圖現(xiàn)分析如圖3.6.2所示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差所示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差ss。由終值定理的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為：由終值定理的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為：即即3.6 系統(tǒng)誤差分析與計算系統(tǒng)誤差分析與計算 設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中，其中，v為系統(tǒng)的型次；當為系統(tǒng)的型次；當v分別為分別為0、1、2、，時，分別稱系統(tǒng)，時，分別稱系統(tǒng)為為0型系統(tǒng)、型系統(tǒng)、I型系統(tǒng)、型系統(tǒng)、II型系統(tǒng)等等。型系統(tǒng)等等。v愈高，穩(wěn)態(tài)精度愈高，但穩(wěn)定愈高，穩(wěn)態(tài)精度愈高，但穩(wěn)定性愈差，因此，一般系統(tǒng)不超過性愈差，因此，一

38、般系統(tǒng)不超過|型。型。式中，式中，v為串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，或稱系統(tǒng)的無差度為串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，或稱系統(tǒng)的無差度.3.6 系統(tǒng)誤差分析與計算系統(tǒng)誤差分析與計算 3.6 系統(tǒng)誤差分析與計算系統(tǒng)誤差分析與計算 3.6 系統(tǒng)誤差分析與計算系統(tǒng)誤差分析與計算 3.6 系統(tǒng)誤差分析與計算系統(tǒng)誤差分析與計算 從表中可以看出，同一系統(tǒng)在不同的輸入作用下，其穩(wěn)態(tài)偏差是不從表中可以看出，同一系統(tǒng)在不同的輸入作用下，其穩(wěn)態(tài)偏差是不同的。更有意義的是，針對同一種輸入，當系統(tǒng)的型次增加時，系統(tǒng)的同的。更有意義的是，針對同一種輸入，當系統(tǒng)的型次增加時，系統(tǒng)的準確性將得到提高；增加系統(tǒng)的開環(huán)增益，往往也可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)

39、準確性將得到提高；增加系統(tǒng)的開環(huán)增益，往往也可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。但是，正如第五章將要討論的那樣，系統(tǒng)型次和開環(huán)增益的增加，精度。但是，正如第五章將要討論的那樣，系統(tǒng)型次和開環(huán)增益的增加，卻使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。因此，通常需要在系統(tǒng)的穩(wěn)定性和準確性之卻使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。因此，通常需要在系統(tǒng)的穩(wěn)定性和準確性之間進行權(quán)衡，必要時，需要引入校正環(huán)節(jié)進行校正。間進行權(quán)衡，必要時，需要引入校正環(huán)節(jié)進行校正。 3.6 系統(tǒng)誤差分析與計算系統(tǒng)誤差分析與計算 根據(jù)上面的討論，可歸納出如下幾點：根據(jù)上面的討論，可歸納出如下幾點： (1)關(guān)于以上定義的無偏系數(shù)的物理意義：穩(wěn)態(tài)偏差與輸入信號的形式有關(guān)，在關(guān)于

40、以上定義的無偏系數(shù)的物理意義：穩(wěn)態(tài)偏差與輸入信號的形式有關(guān)，在隨動系統(tǒng)中一般稱階躍信號為位置信號，斜坡信號為速度信號，拋物線信號為加隨動系統(tǒng)中一般稱階躍信號為位置信號，斜坡信號為速度信號，拋物線信號為加速度信號。由輸入速度信號。由輸入“某種某種”信號而引起的穩(wěn)態(tài)偏差用一個系數(shù)來表示，就叫信號而引起的穩(wěn)態(tài)偏差用一個系數(shù)來表示，就叫“某某種種”無偏系數(shù)，它表示了穩(wěn)態(tài)的精度。無偏系數(shù)，它表示了穩(wěn)態(tài)的精度。“某種某種”無偏系數(shù)愈大，精度愈高；當無無偏系數(shù)愈大，精度愈高；當無偏系數(shù)為零時即穩(wěn)態(tài)偏差偏系數(shù)為零時即穩(wěn)態(tài)偏差，表示不能跟隨輸出；無偏系數(shù)為，表示不能跟隨輸出；無偏系數(shù)為則穩(wěn)態(tài)無差。則穩(wěn)態(tài)無差。 (2)當增加系統(tǒng)的型別時，系統(tǒng)的準確度將提高，然而當系統(tǒng)采用增加開環(huán)傳遞當增加系統(tǒng)的型別時，系統(tǒng)的準確度將提高，然而當系統(tǒng)采用增加開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目的辦法來增高系統(tǒng)的型別時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將變差，增大函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目的辦法來增高系統(tǒng)的型別時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將變差，增大K也可以有效地提高系統(tǒng)的準確度，然而也會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。因此，穩(wěn)定與也可以有效地提高系統(tǒng)的準確度，然而也會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。因此，穩(wěn)定與準確是有矛盾的，需要統(tǒng)籌兼顧。準確是有矛盾的，需要統(tǒng)籌兼顧。