本時(shí)間序列分析第三章小結(jié)

1、 時(shí)間序列分析2第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性第三章第三章 ARMA模型的特性模型的特性共有四節(jié)內(nèi)容：共有四節(jié)內(nèi)容：第一節(jié)第一節(jié) 格林函數(shù)和平穩(wěn)性格林函數(shù)和平穩(wěn)性第二節(jié)第二節(jié) 逆函數(shù)和可逆性逆函數(shù)和可逆性第三節(jié)第三節(jié) 自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 自譜自譜3第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性本章要考察本章要考察ARMA模型模型1.是否具有平穩(wěn)性是否具有平穩(wěn)性2.是否具有可逆性是否具有可逆性4.偏自相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn)偏自相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn)3.自相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn)自相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn)平穩(wěn)性條件平穩(wěn)性條件可逆性條件可逆性條件傳遞形式傳遞形式格林函數(shù)格林函數(shù)逆轉(zhuǎn)形式逆轉(zhuǎn)形式

2、逆函數(shù)逆函數(shù)定義、計(jì)算、及定義、計(jì)算、及ARMA模型特點(diǎn)模型特點(diǎn)只有平穩(wěn)且可逆時(shí)，ARMA模型才有意義4第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性第一節(jié)第一節(jié) 格林函數(shù)和平穩(wěn)性格林函數(shù)和平穩(wěn)性 在介紹格林函數(shù)和平穩(wěn)性之前，我們先介紹在介紹格林函數(shù)和平穩(wěn)性之前，我們先介紹一下線性常系數(shù)差分方程。這部分內(nèi)容對學(xué)習(xí)時(shí)一下線性常系數(shù)差分方程。這部分內(nèi)容對學(xué)習(xí)時(shí)間序列分析是非常重要的。在時(shí)間序列的時(shí)域分間序列分析是非常重要的。在時(shí)間序列的時(shí)域分析中，線性差分方程是非常重要，也是極為有效析中，線性差分方程是非常重要，也是極為有效的工具。的工具。5第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性二

3、、二、AR(1)系統(tǒng)的格林函數(shù)系統(tǒng)的格林函數(shù)(Greens function)格林函數(shù)：描述系統(tǒng)記憶格林函數(shù)：描述系統(tǒng)記憶擾動(dòng)的程度擾動(dòng)的程度的函數(shù)。的函數(shù)。或者說：或者說：把把Xt表示成既往擾動(dòng)表示成既往擾動(dòng)at-i(i0)的加權(quán)和形式：的加權(quán)和形式：itiitaGX0Gi：格林函數(shù)格林函數(shù) i0，1，2，（權(quán)重系數(shù)）權(quán)重系數(shù)）等價(jià)傳遞形式等價(jià)傳遞形式也稱也稱傳遞函數(shù)或記憶函數(shù)。傳遞函數(shù)或記憶函數(shù)。1. 等價(jià)傳遞形式及格林函數(shù)等價(jià)傳遞形式及格林函數(shù) 6第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性2. MA模型的格林函數(shù)模型的格林函數(shù)3. AR(1)模型的格林函數(shù)模型的格林函數(shù)已是等價(jià)傳

4、遞形式，格林函數(shù)已知已是等價(jià)傳遞形式，格林函數(shù)已知tttaXX11tttaXX11, 2 , 1 , 01jGjj)(0, 122110qjGGGGGjqq AR(1) 的參數(shù)的參數(shù) 對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性的影響：對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性的影響： 17第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性5. 格林函數(shù)的意義：格林函數(shù)的意義：記憶擾動(dòng)的程度；擾動(dòng)的權(quán)重函數(shù)；系統(tǒng)回復(fù)的速記憶擾動(dòng)的程度；擾動(dòng)的權(quán)重函數(shù)；系統(tǒng)回復(fù)的速度；系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性完全取決于它；系統(tǒng)動(dòng)態(tài)相應(yīng)衰減度；系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性完全取決于它；系統(tǒng)動(dòng)態(tài)相應(yīng)衰減的快慢程度的快慢程度4. AR(1)模型可用一個(gè)無限階模型可用一個(gè)無限階MA模型來逼近模型來逼近jtjjt

5、aX018第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性六、六、ARMA(2,1)系統(tǒng)的格林函數(shù)系統(tǒng)的格林函數(shù)方法：比較系數(shù)法方法：比較系數(shù)法1. ARMA(2,1)系統(tǒng)的格林函數(shù)的隱式系統(tǒng)的格林函數(shù)的隱式112211tttttaaXXX對對AR(1)系統(tǒng)，求解格林函數(shù)時(shí)介紹了三種方法，系統(tǒng)，求解格林函數(shù)時(shí)介紹了三種方法，對對ARMA(2,1)系統(tǒng)，求解格林函數(shù)常用的方法是系統(tǒng)，求解格林函數(shù)常用的方法是9第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性221112213021121110GGGG1GjjjGGGGGG20)1 (221jGBBj利用利用B算子得：算子得： 10第三章第三章

6、 ARMAARMA模型的特性模型的特性2. ARMA(n,n-1)系統(tǒng)的格林函數(shù)的隱式系統(tǒng)的格林函數(shù)的隱式njGGGGGGGGGGGGGGGG1Gnjn2j21j1j1n01n3n22n11n303122132021121110njGBBBjnn0)1 (22111第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性ARMA(2,1)系統(tǒng)的格林函數(shù)的顯式解：系統(tǒng)的格林函數(shù)的顯式解： 2GG1G22111110jGGjjj02122422112, 1jjjggG2211特征方程為特征方程為 特征根為特征根為所以格林函數(shù)的通解為：所以格林函數(shù)的通解為： 12第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模

7、型的特性2jGj21212j12111j由初始條件由初始條件1110G1G1122111210G1Ggggg1212221111gg代入可得代入可得解得：解得：所以格林函數(shù)的顯式解為所以格林函數(shù)的顯式解為 ：13第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性 當(dāng)特征根為兩不等實(shí)根或共軛復(fù)根時(shí)，均可使用當(dāng)特征根為兩不等實(shí)根或共軛復(fù)根時(shí)，均可使用上面顯式解，當(dāng)特征根為兩相等實(shí)根時(shí)，有上面顯式解，當(dāng)特征根為兩相等實(shí)根時(shí)，有 2jGj21212j12111j此時(shí)，格林函數(shù)的通解為此時(shí)，格林函數(shù)的通解為224, 04122112, 1221jjjggG)(2112111ggjjjjjggG)1 (1

8、 )(121將初始條件代入，可得：將初始條件代入，可得：格林函數(shù)為：格林函數(shù)為：14第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性當(dāng)特征根為共軛復(fù)根時(shí)，當(dāng)特征根為共軛復(fù)根時(shí)， 2jGj21212j12111j可進(jìn)一步化解可進(jìn)一步化解 可以證明，此時(shí)，可以證明，此時(shí)，g1和和g2也互為共軛，有也互為共軛，有irei2424, 04221122112, 1221ig221112, 1422121igeg2, 1)cos(22211jgrggGjjjj設(shè)其為：設(shè)其為：得到：得到：15第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性)2() 1 , 2(01ARARMA2112112122121

9、12121212111jjjjjjjG易得：易得： 此時(shí)有：此時(shí)有：5. AR(2)和和ARMA(1,1)系統(tǒng)的格林函數(shù)系統(tǒng)的格林函數(shù) 因?yàn)橐驗(yàn)?AR(2)和和ARMA(1,1)都是都是ARMA(2,1)的特的特型，利用型，利用ARMA(2,1)的格林函數(shù)的解的形式的格林函數(shù)的解的形式16第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性) 1 , 1 () 1 , 2(02ARMAARMA0,2111)(111111112121212111jGjjjjj也可利用前面講過的方法計(jì)算得到同樣的結(jié)果也可利用前面講過的方法計(jì)算得到同樣的結(jié)果對對ARMA(1,1)，因?yàn)椋阂驗(yàn)椋捍藭r(shí)齊次方程特征方程的特

10、征根只有一個(gè)，即為此時(shí)齊次方程特征方程的特征根只有一個(gè)，即為于是有：于是有：17第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性6. ARMA(n,n-1)系統(tǒng)的格林函數(shù)系統(tǒng)的格林函數(shù)與前面的分析相似，與前面的分析相似，ARMA(n,n-1)系統(tǒng)的格林系統(tǒng)的格林函數(shù)為函數(shù)為jnnjjjgggG2211其中的系數(shù)可由其中的系數(shù)可由n個(gè)約束條件求得惟一解。個(gè)約束條件求得惟一解。 njGGGGGGGGGGGGGGGG1Gnjn2j21j1j1n01n3n22n11n30312213202112111018第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性七、七、ARMA(2,1)系統(tǒng)的平穩(wěn)性系統(tǒng)的

11、平穩(wěn)性1. 用特征根表示的平穩(wěn)性條件用特征根表示的平穩(wěn)性條件當(dāng)當(dāng)j時(shí)，時(shí)，Gj0jtjjtaGX022211jggGjjj1| , 1|21 當(dāng)當(dāng) 1| , 1|21時(shí)，時(shí)，Gj0（j）所以平穩(wěn)性條件：所以平穩(wěn)性條件：即特征根的模小于即特征根的模小于1，位于單位圓內(nèi)。，位于單位圓內(nèi)。 系統(tǒng)平穩(wěn)系統(tǒng)平穩(wěn)19第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性2. 用自回歸系數(shù)表示的平穩(wěn)性條件用自回歸系數(shù)表示的平穩(wěn)性條件我們也可通過模型的自回歸系數(shù)來判斷平穩(wěn)性我們也可通過模型的自回歸系數(shù)來判斷平穩(wěn)性如：如：AR(1)模型：模型：, 2 , 1 , 01jGjj格林函數(shù)為格林函數(shù)為平穩(wěn)性條件為平穩(wěn)性條

12、件為1111即即自回歸系數(shù)表示的自回歸系數(shù)表示的平穩(wěn)性條件平穩(wěn)性條件特征根表示的特征根表示的平穩(wěn)性條件平穩(wěn)性條件20第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性1;1112212；1| , 1|21221121推導(dǎo)可得到推導(dǎo)可得到ARMA(2,1)模型用自回歸系數(shù)表示的平模型用自回歸系數(shù)表示的平穩(wěn)性條件：穩(wěn)性條件：對對ARMA(2,1)模型：模型：由于平穩(wěn)性條件為：由于平穩(wěn)性條件為：又有：又有：21第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性3. 平穩(wěn)性只與自回歸系數(shù)有關(guān)，與移動(dòng)平均系數(shù)無關(guān)平穩(wěn)性只與自回歸系數(shù)有關(guān)，與移動(dòng)平均系數(shù)無關(guān)MA系統(tǒng)：自然平穩(wěn)，不需要平穩(wěn)性條件系統(tǒng)：自然平

13、穩(wěn)，不需要平穩(wěn)性條件ARMA(p,q)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件同系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件同AR(p)的平穩(wěn)性條件的平穩(wěn)性條件 ARMA(2,1)模型：模型：112211tttttaaXXX平穩(wěn)性條件：平穩(wěn)性條件：1;1112212；22第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性4. ARMA(2,m)系統(tǒng)的平穩(wěn)區(qū)域系統(tǒng)的平穩(wěn)區(qū)域|2|12+ 112 11)不直接相不直接相關(guān)，但其自相關(guān)函數(shù)卻是拖尾的。也即關(guān)，但其自相關(guān)函數(shù)卻是拖尾的。也即Xt與與Xt-2有關(guān)系。有關(guān)系。這是因?yàn)檫@是因?yàn)閄t與與Xt-1相關(guān)，而相關(guān)，而Xt-1又與又與Xt-2相關(guān)，相關(guān)， Xt由于由于Xt-1的緣故與的緣故與Xt-2相關(guān)

14、。事實(shí)上，相關(guān)。事實(shí)上， Xt剔除剔除Xt-1的影響后的影響后與與Xt-2可能不相關(guān)?？赡懿幌嚓P(guān)。 剔除中間變量影響后的相關(guān)就是偏自相關(guān)。剔除中間變量影響后的相關(guān)就是偏自相關(guān)。)(,0pkkk3. 偏自相關(guān)函數(shù)的概率意義偏自相關(guān)函數(shù)的概率意義所以，對所以，對AR(P)模型，偏自相關(guān)函數(shù)模型，偏自相關(guān)函數(shù)p階截尾。即階截尾。即56第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性從另一角度來看，對從另一角度來看，對AR模型來說，第模型來說，第k個(gè)偏自相個(gè)偏自相關(guān)系數(shù)就是關(guān)系數(shù)就是AR模型中模型中Xt-k的回歸系數(shù)，那么對于的回歸系數(shù)，那么對于AR(p)模型，有模型，有)(0,: )(,: )2(

15、,: ) 1 (2211222222121111111pkaXXXXpARaXXXARaXXARkkppptptpptptptttttttt即，對即，對AR(P)模型，偏自相關(guān)函數(shù)模型，偏自相關(guān)函數(shù)p階截尾。階截尾。57第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性總的相關(guān)關(guān)系總的相關(guān)關(guān)系： 直接相關(guān)間接相關(guān)直接相關(guān)間接相關(guān) 自相關(guān)函數(shù)是不考慮是否有中間影響的自相關(guān)函數(shù)是不考慮是否有中間影響的Xt間間的總的相關(guān)關(guān)系。的總的相關(guān)關(guān)系。 偏自相關(guān)函數(shù)是剔除中間影響后的相關(guān)，是偏自相關(guān)函數(shù)是剔除中間影響后的相關(guān)，是一種直接相關(guān)關(guān)系，也即描述一種直接相關(guān)關(guān)系，也即描述Xt與與Xt-k之間部分的之間

16、部分的相關(guān)關(guān)系，也即是一種條件相關(guān)。相關(guān)關(guān)系，也即是一種條件相關(guān)。58第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性4. 偏自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算偏自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算 5. 利用利用YuleWolker方程計(jì)算方程計(jì)算根據(jù)偏自相關(guān)函數(shù)的一般定義和極值原理，對根據(jù)偏自相關(guān)函數(shù)的一般定義和極值原理，對關(guān)于關(guān)于), 2 , 1(kjkj21)(kjjtkjtXXE求導(dǎo)，得到求導(dǎo)，得到kkkkkkkkk212102120111059第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性最后得到：最后得到：kkkkkkkkk2121021201110將矩陣展開為方程組，即為將矩陣展開為方程組，即為Yule-Walker方程。方程。), 2 , 1(1) 1(1211kjkjkkkjkkjkjkj60第三章第三章 ARMAARMA模型的特性模型的特性對對k1，2，3，依次求解依次求解Yule-Walker方程方程，得到，得到21212112112211111111112112