二次根式專(zhuān)題(含答案詳解)

1、數(shù)學(xué)專(zhuān)題第六講：二次根式歐陽(yáng)歌谷(2021.02.01)【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】-、二次根式式子需()叫做二次根式提醒：次根式需必須注意a_o這一條件，其結(jié)果也是一個(gè)非 數(shù)即：需_o二次根式石(a>o)中，a可以表示數(shù)，也可以是一切符合條 件的代數(shù)式二、二次根式的性質(zhì)： (a>o)(、方)2= (a>0) ( a <o)亦二(a>0 ,b>0 ) 招二(a>0, b>0)提醒：二次根式的性質(zhì)注意其逆用：如比較2的和3血的大 小，可逆用(需)2=a(a>0)將根號(hào)外的整數(shù)移到根號(hào)內(nèi)再比較被 開(kāi)方數(shù)的大小三、最簡(jiǎn)二次根式：最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿(mǎn)足條件：

2、1、被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是，因式是整式2、被開(kāi)方數(shù)不含的因數(shù)或因式四、二次根式的運(yùn)算：1、二次根式的加減：先將二次根式化簡(jiǎn)，再將的二次根式進(jìn) 行合并，合并的方法同合并同類(lèi)項(xiàng)法則相同2、二次根式的乘除：乘除法則：五丘=(a>0 ,b>0)除法法則：手二(a>0, b>0)3、二次根式的混合運(yùn)算順序：先算再算最后算提醒：h二次根式除法運(yùn)算過(guò)程一般情況下是用將分母中的根號(hào)化去這一方法進(jìn)行：如：£ =2. 二次根式混合運(yùn)算過(guò)程要特別注意兩個(gè)乘法公式的運(yùn)用3. 二次根式運(yùn)算的結(jié)果一定要化成重點(diǎn)考點(diǎn)例析考點(diǎn)一：二次根式有意義的條件例1如果代數(shù)式啟有意義，則x的取值范圍杲()A.

3、 x=/=3 B. x<3 C. x>3 D. x3思路分析：根據(jù)二次根式的意義得出x-3>0,根據(jù)分式得出x-3 農(nóng)0,即可得出x-3>0,求出即可.解：要使代數(shù)式啟有意義，必須x-3>0,解得：x>3.故選C.點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件的 應(yīng)用，注意：分式斗中AO,二次根式麗中aAO.A對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1 使代數(shù)式吝有意義的X的取值范圍是（）2x-lA. x>0 B. xM丄C. xNO且.x壬丄D. 一切實(shí)2 2數(shù)解：由題意得：2xlM0, x>0,解得：x>0,故選：C.考點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)例2實(shí)數(shù)a、b在軸上

4、的位置如圖所示，filal>lbl,則化簡(jiǎn) 7-|d+Z?l 的結(jié)果為（r ）>a0bA. 2a+b B. -2a+b C. b D. 2a-b思路分析：現(xiàn)根據(jù)數(shù)軸可知x0, b>0,而lal>lbl,那么可知a+b<0,再結(jié)合二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的計(jì)算進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即 可.解：根據(jù)數(shù)軸可知，a<0, b>0,原式=-a- （a+b） =-a+a+b=b.故選 C.點(diǎn)評(píng)：二次根式的化簡(jiǎn)和性質(zhì)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是注意開(kāi)方結(jié)果是非負(fù)數(shù)、以及絕對(duì)值結(jié)果的非負(fù)性.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2. 實(shí)數(shù)a, b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則低莎的化簡(jiǎn)結(jié)果 為.解：T由數(shù)軸可知：b

5、<O<a, lbl>lal, J（d+by + a=b,故答案為：-b.考點(diǎn)三：二次根式的混合運(yùn)算思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的性質(zhì)和 負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)，分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而利用有理數(shù)的混合運(yùn)算法 則計(jì)算即可.解：原式=上* +血+1 +的-血=2-V5 + VJ+1 +辰運(yùn)=3.二次根式的混合運(yùn)算以及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)，將各式進(jìn)行化簡(jiǎn) 是解題關(guān)鍵.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練3. 計(jì)算:屈辰+何.=4 + >/6 .考點(diǎn)四：與二次根式有關(guān)的求值問(wèn)題例4先化簡(jiǎn)，再求值：(丄)"： +斗,其中x=：x x + 1 a + l)-(x-l)2思路分析：先根據(jù)分式混合運(yùn)

6、算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把X的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.解:原式二1XyJ(X+)2x(x + l) 4x當(dāng)x二丄時(shí)，x+1 >0,2可知 7(x + l)2 =x + l,故原式=宀豊巴=+V;x(x + l) 4x 4x 4x122點(diǎn)評(píng)：考查的是二次根式及分式的化簡(jiǎn)求值，解答此題的關(guān)鍵是 當(dāng)X二*時(shí)得出J(x+1)2 =兀+ 1 ,此題難度不大.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練4. 計(jì)算J1142642502之值為何？()A. 0 B. 25 C. 50 D. 80 分析：根據(jù)平方差公式求出1142-642= (114+64) x (114-64) =178x50,再提出50得出50x (178-50) =50

7、x128,分解后開(kāi)出即 可.解：V1142 - 642 - 502二 J(114 + 64)(114 64)5()2= 7178x50-50= j50x(178-50)=(50x128= V2x5Ix8Ix2 =2x5x8,=80,故選D.考查了平方差公式，因式分解，二次根式的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計(jì)算【聚焦中考】1下列運(yùn)算正確的是()B.A. J(-5)2 = -5B.(一丄)-2 =16C x64-x3=x2 D(x3)Y42. 計(jì)算：4右-爲(wèi)=03. 計(jì)算：（-3）。+ VHxd = 7【備考真題過(guò)關(guān)】選擇題1. 要使式子E有意義，則x的取值范圍是（D ）

8、A. x>0 B. x>-2 C. x>2 D. x<22. 計(jì)算辰尼（A ）A. 75 B. 5 C.邁 D.邁2 23. 計(jì)算：3近-近=（）4. 己知加=（-£）x（-2血T）,貝J有（）A. 5<m<6 B. 4<m<5 C. -5<rm<-4 D. -6<m<-5解：加= (f)x(2Q)J= 27 =>/28,/ 5 < >/28 < 6,即 5<m<6,故選A.5. 下列計(jì)算正確的是（D ）A. x3r+x3=x6B m2em3=m6C.3 近-邁= 30. V1

9、4x>/7 =726. 下列等式一定成立的是（BA.扃-肩=躬 B. 75xa/3=aAI C. >/9=±37使式子后+產(chǎn)有意義的x的取值范圍是（A. x> - 1 B.一 l<x<2C.x<2D.-1<x<2解：根據(jù)題意，得x+l >02 - ，解得，-l<x<2;故選B.C.&在下列各式中，二次根式石兀的有理化因式是（A. Va+b B.D.解： “3 一3 - b= ° _b,二次根式岳P的有理化因式是：茁p.故選：C.主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟練利用定義得出杲解題關(guān)鍵“9. 下

10、列計(jì)算錯(cuò)誤的是（A.逅-島眾B.屁十箱二2D.)血后馮 C78=22分析：根據(jù)二次根式的乘法對(duì)A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根 式的除法對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷.解：A、V2-VW6,所以A選項(xiàng)的計(jì)算正確；B、血與卯是同類(lèi)二次根式，不能合并，所以B選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；C、咅竝=山2十3=毎2,所以C選項(xiàng)的計(jì)算正確;D、Vs=V4X2=V4xV2=2V2, 故選B.10. 下列計(jì)算正確的是（A.岳近眾B.伍一后近 D.所以D選項(xiàng)的計(jì)算正確.）於后 C.倔三近二4分析：根據(jù)冋類(lèi)次根式才能合并可對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)次根式的乘法對(duì)B進(jìn)行判斷；先把屈化為最簡(jiǎn)二次根式，然后 進(jìn)行合并，即可對(duì)C進(jìn)行

11、判斷；根據(jù)二次根式的除法對(duì)D進(jìn)行判 斷.解：A、與血不能合并，所以A選項(xiàng)不正確;B、V3xV2=V6,所以B選項(xiàng)不正確;C、a/12 -V5=2a/3 " VW3,所以 C 選項(xiàng)正確;D、VsW2=2V2?Vz=2,所以D選項(xiàng)不正確.故選C.C. Vi二±311. 下列計(jì)算或化簡(jiǎn)正確的是（）A. a2+a3=a? B.D.-1 1- x+1 X 1分析： A、根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)的法則計(jì)算;B、化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式即可;C. 計(jì)算的是算術(shù)平方根，不是平方根;D. 利用分式的性質(zhì)計(jì)算.解：A. a2+a3=a2+a此選項(xiàng)錯(cuò)誤;,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、C、=3,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、廣打,此選項(xiàng)正

12、確.一 x+1 X 1故選D.考查了合并同類(lèi)項(xiàng)、二次根式的加減法、算術(shù)平方根、分式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活掌握有關(guān)運(yùn)算法則,并注意區(qū)分算術(shù)平方C.麗二± 2根.平方根.12. 下列計(jì)算正確的是（ A逅括二1 B.V?十逅二2D.歐陽(yáng)歌谷創(chuàng)編歐陽(yáng)歌谷創(chuàng)編2021年2月1分析：根據(jù)二次根式的乘除法則，及二次根式的化簡(jiǎn)結(jié)合選項(xiàng)即可得出答案.解：A、伍電=1,故本選項(xiàng)正確；B、4故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、7673=/2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、冷2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A.二.填空題13. 當(dāng)X=-4時(shí)，l6-3x的值是3血14. 若喬是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為.5解:V20n=22x5n.整數(shù)n的最小值

13、為5.故答案是：5.15. 若二次根式冃有意義，則x的取值范圍是.x>-l16. （當(dāng)x時(shí)，二次根式£有意義.>017. 己知77（«->/3）<0,若b=2a,則b的取值范圍是.2-y/3<b<2解：血（“-Q<0, >0,6/ 3 v 0,解得a>0且a<羽,0 < a <, /3 < ci < 0 , 2 -< 2 - a < 2 ,即 2_>/J<v2.故答案為：2-<b<2 .18. 計(jì)算頃£的結(jié)果是.219. 計(jì)算芍迴的結(jié)果是.血+1

14、解：原式=(2+f)込哲土皿+1.V2xV22故答案為：血+1。20. 計(jì)算：>/32-V2=. 3 邁21. 計(jì)算 y/24-y/l8x=. y/622使式子荷P有意義的最小整數(shù)m是.分析：根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0列式計(jì)算即可得解.解：根據(jù)題意得，m-2>0,解得m>2,所以最小整數(shù)m是2.故答案為：2.三.解答題.23.計(jì)算：(-1)】0】+(71-3) 0+學(xué)7厶解:原式=-1+1+2- (72-1) =3->/2 .24計(jì)算：73x712+l-4l-9x3-1-20L2°.解：V3xVi2+l-4l-9x3-,-2012°歐陽(yáng)歌谷創(chuàng)編2021年2月1=73712+4-9x1-13=6+4-3-1=6.25.計(jì)算：V2（V2