二次根式專題(含答案詳解)

1、數(shù)學(xué)專題第六講：二次根式歐陽歌谷(2021.02.01)【基礎(chǔ)知識回顧】-、二次根式式子需()叫做二次根式提醒：次根式需必須注意a_o這一條件，其結(jié)果也是一個非 數(shù)即：需_o二次根式石(a>o)中，a可以表示數(shù)，也可以是一切符合條 件的代數(shù)式二、二次根式的性質(zhì)： (a>o)(、方)2= (a>0) ( a <o)亦二(a>0 ,b>0 ) 招二(a>0, b>0)提醒：二次根式的性質(zhì)注意其逆用：如比較2的和3血的大 小，可逆用(需)2=a(a>0)將根號外的整數(shù)移到根號內(nèi)再比較被 開方數(shù)的大小三、最簡二次根式：最簡二次根式必須同時滿足條件：

2、1、被開方數(shù)的因數(shù)是，因式是整式2、被開方數(shù)不含的因數(shù)或因式四、二次根式的運算：1、二次根式的加減：先將二次根式化簡，再將的二次根式進(jìn) 行合并，合并的方法同合并同類項法則相同2、二次根式的乘除：乘除法則：五丘=(a>0 ,b>0)除法法則：手二(a>0, b>0)3、二次根式的混合運算順序：先算再算最后算提醒：h二次根式除法運算過程一般情況下是用將分母中的根號化去這一方法進(jìn)行：如：£ =2. 二次根式混合運算過程要特別注意兩個乘法公式的運用3. 二次根式運算的結(jié)果一定要化成重點考點例析考點一：二次根式有意義的條件例1如果代數(shù)式啟有意義，則x的取值范圍杲()A.

3、 x=/=3 B. x<3 C. x>3 D. x3思路分析：根據(jù)二次根式的意義得出x-3>0,根據(jù)分式得出x-3 農(nóng)0,即可得出x-3>0,求出即可.解：要使代數(shù)式啟有意義，必須x-3>0,解得：x>3.故選C.點評：本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件的 應(yīng)用，注意：分式斗中AO,二次根式麗中aAO.A對應(yīng)訓(xùn)練1 使代數(shù)式吝有意義的X的取值范圍是（）2x-lA. x>0 B. xM丄C. xNO且.x壬丄D. 一切實2 2數(shù)解：由題意得：2xlM0, x>0,解得：x>0,故選：C.考點二：二次根式的性質(zhì)例2實數(shù)a、b在軸上

4、的位置如圖所示，filal>lbl,則化簡 7-|d+Z?l 的結(jié)果為（r ）>a0bA. 2a+b B. -2a+b C. b D. 2a-b思路分析：現(xiàn)根據(jù)數(shù)軸可知x0, b>0,而lal>lbl,那么可知a+b<0,再結(jié)合二次根式的性質(zhì)、絕對值的計算進(jìn)行化簡計算即 可.解：根據(jù)數(shù)軸可知，a<0, b>0,原式=-a- （a+b） =-a+a+b=b.故選 C.點評：二次根式的化簡和性質(zhì)、實數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是注意開方結(jié)果是非負(fù)數(shù)、以及絕對值結(jié)果的非負(fù)性.對應(yīng)訓(xùn)練2. 實數(shù)a, b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則低莎的化簡結(jié)果 為.解：T由數(shù)軸可知：b

5、<O<a, lbl>lal, J（d+by + a=b,故答案為：-b.考點三：二次根式的混合運算思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的性質(zhì)和 負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)，分別化簡，進(jìn)而利用有理數(shù)的混合運算法 則計算即可.解：原式=上* +血+1 +的-血=2-V5 + VJ+1 +辰運=3.二次根式的混合運算以及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)，將各式進(jìn)行化簡 是解題關(guān)鍵.對應(yīng)訓(xùn)練3. 計算:屈辰+何.=4 + >/6 .考點四：與二次根式有關(guān)的求值問題例4先化簡，再求值：(丄)"： +斗,其中x=：x x + 1 a + l)-(x-l)2思路分析：先根據(jù)分式混合運

6、算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把X的值代入進(jìn)行計算即可.解:原式二1XyJ(X+)2x(x + l) 4x當(dāng)x二丄時，x+1 >0,2可知 7(x + l)2 =x + l,故原式=宀豊巴=+V;x(x + l) 4x 4x 4x122點評：考查的是二次根式及分式的化簡求值，解答此題的關(guān)鍵是 當(dāng)X二*時得出J(x+1)2 =兀+ 1 ,此題難度不大.對應(yīng)訓(xùn)練4. 計算J1142642502之值為何？()A. 0 B. 25 C. 50 D. 80 分析：根據(jù)平方差公式求出1142-642= (114+64) x (114-64) =178x50,再提出50得出50x (178-50) =50

7、x128,分解后開出即 可.解：V1142 - 642 - 502二 J(114 + 64)(114 64)5()2= 7178x50-50= j50x(178-50)=(50x128= V2x5Ix8Ix2 =2x5x8,=80,故選D.考查了平方差公式，因式分解，二次根式的運算等知識點的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計算【聚焦中考】1下列運算正確的是()B.A. J(-5)2 = -5B.(一丄)-2 =16C x64-x3=x2 D(x3)Y42. 計算：4右-爲(wèi)=03. 計算：（-3）。+ VHxd = 7【備考真題過關(guān)】選擇題1. 要使式子E有意義，則x的取值范圍是（D ）

8、A. x>0 B. x>-2 C. x>2 D. x<22. 計算辰尼（A ）A. 75 B. 5 C.邁 D.邁2 23. 計算：3近-近=（）4. 己知加=（-£）x（-2血T）,貝J有（）A. 5<m<6 B. 4<m<5 C. -5<rm<-4 D. -6<m<-5解：加= (f)x(2Q)J= 27 =>/28,/ 5 < >/28 < 6,即 5<m<6,故選A.5. 下列計算正確的是（D ）A. x3r+x3=x6B m2em3=m6C.3 近-邁= 30. V1

9、4x>/7 =726. 下列等式一定成立的是（BA.扃-肩=躬 B. 75xa/3=aAI C. >/9=±37使式子后+產(chǎn)有意義的x的取值范圍是（A. x> - 1 B.一 l<x<2C.x<2D.-1<x<2解：根據(jù)題意，得x+l >02 - ，解得，-l<x<2;故選B.C.&在下列各式中，二次根式石兀的有理化因式是（A. Va+b B.D.解： “3 一3 - b= ° _b,二次根式岳P的有理化因式是：茁p.故選：C.主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟練利用定義得出杲解題關(guān)鍵“9. 下

10、列計算錯誤的是（A.逅-島眾B.屁十箱二2D.)血后馮 C78=22分析：根據(jù)二次根式的乘法對A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根 式的除法對C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對D進(jìn)行判斷.解：A、V2-VW6,所以A選項的計算正確；B、血與卯是同類二次根式，不能合并，所以B選項的計算錯誤；C、咅竝=山2十3=毎2,所以C選項的計算正確;D、Vs=V4X2=V4xV2=2V2, 故選B.10. 下列計算正確的是（A.岳近眾B.伍一后近 D.所以D選項的計算正確.）於后 C.倔三近二4分析：根據(jù)冋類次根式才能合并可對A進(jìn)行判斷；根據(jù)次根式的乘法對B進(jìn)行判斷；先把屈化為最簡二次根式，然后 進(jìn)行合并，即可對C進(jìn)行

11、判斷；根據(jù)二次根式的除法對D進(jìn)行判 斷.解：A、與血不能合并，所以A選項不正確;B、V3xV2=V6,所以B選項不正確;C、a/12 -V5=2a/3 " VW3,所以 C 選項正確;D、VsW2=2V2?Vz=2,所以D選項不正確.故選C.C. Vi二±311. 下列計算或化簡正確的是（）A. a2+a3=a? B.D.-1 1- x+1 X 1分析： A、根據(jù)合并同類項的法則計算;B、化簡成最簡二次根式即可;C. 計算的是算術(shù)平方根，不是平方根;D. 利用分式的性質(zhì)計算.解：A. a2+a3=a2+a此選項錯誤;,此選項錯誤;B、C、=3,此選項錯誤；D、廣打,此選項正

12、確.一 x+1 X 1故選D.考查了合并同類項、二次根式的加減法、算術(shù)平方根、分式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活掌握有關(guān)運算法則,并注意區(qū)分算術(shù)平方C.麗二± 2根.平方根.12. 下列計算正確的是（ A逅括二1 B.V?十逅二2D.歐陽歌谷創(chuàng)編歐陽歌谷創(chuàng)編2021年2月1分析：根據(jù)二次根式的乘除法則，及二次根式的化簡結(jié)合選項即可得出答案.解：A、伍電=1,故本選項正確；B、4故本選項錯誤；C、7673=/2,故本選項錯誤；D、冷2,故本選項錯誤；故選A.二.填空題13. 當(dāng)X=-4時，l6-3x的值是3血14. 若喬是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為.5解:V20n=22x5n.整數(shù)n的最小值

13、為5.故答案是：5.15. 若二次根式冃有意義，則x的取值范圍是.x>-l16. （當(dāng)x時，二次根式£有意義.>017. 己知77（«->/3）<0,若b=2a,則b的取值范圍是.2-y/3<b<2解：血（“-Q<0, >0,6/ 3 v 0,解得a>0且a<羽,0 < a <, /3 < ci < 0 , 2 -< 2 - a < 2 ,即 2_>/J<v2.故答案為：2-<b<2 .18. 計算頃£的結(jié)果是.219. 計算芍迴的結(jié)果是.血+1

14、解：原式=(2+f)込哲土皿+1.V2xV22故答案為：血+1。20. 計算：>/32-V2=. 3 邁21. 計算 y/24-y/l8x=. y/622使式子荷P有意義的最小整數(shù)m是.分析：根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解.解：根據(jù)題意得，m-2>0,解得m>2,所以最小整數(shù)m是2.故答案為：2.三.解答題.23.計算：(-1)】0】+(71-3) 0+學(xué)7厶解:原式=-1+1+2- (72-1) =3->/2 .24計算：73x712+l-4l-9x3-1-20L2°.解：V3xVi2+l-4l-9x3-,-2012°歐陽歌谷創(chuàng)編2021年2月1=73712+4-9x1-13=6+4-3-1=6.25.計算：V2（V2