偏微(10)對流擴散方程

1、2021/8/1413 對流擴散方程對流擴散方程對流擴散方程對流擴散方程 22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1）,0a 為為常常數(shù)數(shù)，如果給定初值如果給定初值 ,0( ),u xg xxR （3 3. . 2 2）則（則（3.13.1）(3.2)(3.2)構(gòu)成了對流擴散方程的初值問題構(gòu)成了對流擴散方程的初值問題 則成為對流占優(yōu)擴散方程則成為對流占優(yōu)擴散方程 av如果如果2021/8/1423 對流擴散方程對流擴散方程對流擴散方程對流擴散方程 22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1） ,0( ),u xg xxR （3 3. . 2 2）3.1 3.1 中心顯式格式

2、中心顯式格式 1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 格式（格式（3.33.3）的截斷誤差為）的截斷誤差為 2Oh 如果如果 0 是對流方程不穩(wěn)定的差分格式是對流方程不穩(wěn)定的差分格式 。0 來討論來討論 現(xiàn)對現(xiàn)對2021/8/143（3.33.3）可改寫為）可改寫為 11111122nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuu 3 對流擴散方程對流擴散方程22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 2,ahh如果令如果令 ,121cossinGkkhikh此差分格式的增長因子

3、為此差分格式的增長因子為2021/8/144 2,Gk 即差分格式穩(wěn)定的充分條件為即差分格式穩(wěn)定的充分條件為3 對流擴散方程對流擴散方程 11111122nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuu ,121cossinGkkhikh此差分格式的增長因子為此差分格式的增長因子為 222121cossinkhkh 2211cos441cos1coskhkhkh 1cos0,1khGk 所所以以，因為因為的充分條件是的充分條件是2021/8/145 2,Gk 即差分格式穩(wěn)定的充分條件為即差分格式穩(wěn)定的充分條件為3 對流擴散方程對流擴散方程 ,121cossinGkkhikh 2211cos441co

4、s1coskhkhkh 22441cos1cos0khkh 2221cos284202kh 上式可改寫為上式可改寫為 1cos0,1khGk 所所以以，因為因為的充分條件是的充分條件是2021/8/146 2,Gk 即差分格式穩(wěn)定的充分條件為即差分格式穩(wěn)定的充分條件為3 對流擴散方程對流擴散方程 ,121cossinGkkhikh 2211cos441cos1coskhkhkh 1cos0,1khGk 所所以以，因為因為 2221cos284202kh 11cos0,12kh所以上面不等式滿足條件為所以上面不等式滿足條件為 22228420, 24202021/8/147即差分格式穩(wěn)定的充分條

5、件為即差分格式穩(wěn)定的充分條件為3 對流擴散方程對流擴散方程 222228420,420 （3.33.3）的穩(wěn)定性限制為）的穩(wěn)定性限制為 22,a (3. 4)(3. 4)1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 212h (3. 5)(3. 5)2,ahh2021/8/1483.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 設(shè)設(shè) ,u x t為對流擴散方程（為對流擴散方程（3.13.1）的充分光滑的解，）的充分光滑的解， 22ut 22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1）232uuavx txt 2ux t 2ut x 2323uuavxx*代入

6、代入32ut x 3434uuavxx 32uxt 2021/8/1493.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 22ut 22,0uuuaxRttxx （3 3. . 1 1）232uuavx txt 2ux t 2323uuavxx*代入代入3434uuavxx 32uxt 24322224322uuuuaatxxx 3654332233654333uuuuuaaatxxxx 2021/8/14103.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 設(shè)設(shè) ,u x t為對流擴散方程（為對流擴散方程（3.13.1）的充分光滑的解，）的充分光滑的解， 22,0uuuaxRttxx （3

7、3. . 1 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 將其代入將其代入(3.3)2021/8/141122,uuuatxx （3. 1）3. 1）3.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 利用利用TaylorTaylor級數(shù)展開有級數(shù)展開有 2021/8/14123.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 24322224322uuuuaatxxx 3654332233654333uuuuuaaatxxxx 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2021/8/14133.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 22,uuuatx

8、x （3. 1）3. 1）2021/8/1414中心顯示差分格式（中心顯示差分格式（3.33.3）求解（）求解（3.13.1）式相當于）式相當于求解微分方程求解微分方程 : :2222uuuaatxx （3 3. . 6 6）當當 0 時，時， （3.63.6）就是對流擴散方程（）就是對流擴散方程（3.13.1）。）。 3.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 2021/8/14152222uuuaatxx （3 3. . 6 6）當當 0 時，時，（3.63.6）就

9、是對流擴散方程（）就是對流擴散方程（3.13.1）。）。 3.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 11111222(3.7)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuaahh 0 用用(3.3)(3.3)計算時擴散效應(yīng)減少計算時擴散效應(yīng)減少因此引入修正中心顯式格式因此引入修正中心顯式格式202a 效果顯著效果顯著2021/8/14162222uuuaatxx （3 3. . 6 6）3.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 22,uuuatxx （3.

10、1）3. 1）1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 11111222(3.7)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuaahh 因此引入修正中心顯式格式因此引入修正中心顯式格式逼近對流擴散方程（逼近對流擴散方程（3.13.1）的截斷誤差為）的截斷誤差為 2Oh （3.73.7）與（）與（3.33.3）的區(qū)別在于用）的區(qū)別在于用 22a 來來代代替替2021/8/1417（3.43.4）和（）和（3.53.5）知（）知（3.73.7）的穩(wěn)定性條件為：）的穩(wěn)定性條件為： 2221,2ah 用用 代入第一式有代入第一式有 22222,2aaa即即（3 3.

11、7.7）的穩(wěn)定性條件為）的穩(wěn)定性條件為 22211(3.8)22ahh 3.2 3.2 修正中心顯示格式修正中心顯示格式 11111222(3.7)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuaahh （3.33.3）的穩(wěn)定性限制為）的穩(wěn)定性限制為 22,a (3. 4)(3. 4)212h ( (3 3. . 5 5) )1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 恒成立恒成立2021/8/14183.3 3.3 迎風差分格式迎風差分格式 （3.43.4）可以看出，當）可以看出，當 2a 小時，時間步長必相當小。小時，時間步長必相當小。其辦法相當于其辦法相當

12、于 0, 在一階空在一階空間偏導數(shù)的離散中采用單邊差商，間偏導數(shù)的離散中采用單邊差商， 0a 令令那么逼近（那么逼近（3.13.1）式的迎風差分格式為）式的迎風差分格式為 111122(3.9)nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 可以把（可以把（3.93.9）式寫成（）式寫成（3.33.3）式的形式，即）式的形式，即 1111122(3.9)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahahh 1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2021/8/1419那么逼近（那么逼近（3.13.1）式的迎風

13、差分格式為）式的迎風差分格式為 111122(3.9)nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 可以把（可以把（3.93.9）式寫成（）式寫成（3.33.3）式的形式，即）式的形式，即 1111122(3.9)22nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahahh 令令 2ah 可以得到（可以得到（3.93.9）式的穩(wěn)定性條件為）式的穩(wěn)定性條件為 2221,2ah 穩(wěn)定性的第一個條件等價于穩(wěn)定性的第一個條件等價于 212haa 3.3 3.3 迎風差分格式迎風差分格式 22,a (3. 4)(3. 4)212h ( (3 3. . 5 5) )2021/8/142022haa 利用穩(wěn)

14、定性的第二個條件可得到利用穩(wěn)定性的第二個條件可得到 212haa 221212ahahah 222122ahhhaa 穩(wěn)定性的第一個條件等價于穩(wěn)定性的第一個條件等價于 212haa 3.3 3.3 迎風差分格式迎風差分格式 而而 222212ahhah 利用不等式利用不等式2221,2ah 令令 2ah 穩(wěn)定性條件為：穩(wěn)定性條件為： 212h 2021/8/14213.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 設(shè)設(shè)a0a0，先對方程（先對方程（3.13.1）作擾動）作擾動 2211uuuatxRx （3 3. . 1 11 1）1,2Rha 對（對（3.113.11）構(gòu)造迎風格

15、式構(gòu)造迎風格式 1111221(3.12)1nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahRh 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）（3.113.11）式化為（）式化為（3.13.1）式。）式。 時時0hSamarskiiSamarskii格式格式 2021/8/14223.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 1111221(3.12)1nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahRh 推導（推導（3.123.12）式的截斷誤差，）式的截斷誤差， njT 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）SamarskiiSamarskii格式格式 112,2,11j

16、njnjnu xtu xtu xtRh 設(shè)設(shè) ,u x t為對流擴散方程（為對流擴散方程（3.13.1）的充分光滑的解，）的充分光滑的解， 11,jnjnjnjnu xtu xtu xtu xtah 2021/8/14233.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 1111221(3.12)1nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahRh 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）nja 用用TaylorTaylor級數(shù)展開級數(shù)展開 1112,2,jnjnjnjnjnu x tu x tu xtu x tu xth 222nnnjjjuuaOhtx njT 112,2,

17、11jnjnjnu xtu x tu xtRh 11,jnjnjnjnu x tu x tu x tu xtah (11) 2021/8/1424令令 nj 用用TaylorTaylor級數(shù)展開有級數(shù)展開有 nj 3.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 njT 11,jnjnjnjnu x tu x tu x tu xtah 1112,2,111jnjnjnjnjnu xtu xtu xtu xtu xtahRh 2222221nnnjjjuahuRuaO hxxRx 222221nnnjjjuuRuaRO hxxRx = =1,2Rha 112,2,11jnjnjnu

18、xtu x tu xtRh (11) 2021/8/1425用用TaylorTaylor級數(shù)展開有級數(shù)展開有 nj 3.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 njT 112,2,11jnjnjnu xtu xtu xtRh 11,jnjnjnjnu x tu x tu x tu xtah 2222221nnnjjjuahuRuaO hxxRx 222221nnnjjjuuRuaRO hxxRx = = 22221nnjjuRuaO hxRx 2021/8/1426由于由于 221RO hR 所以所以 2nnjjuaO hx 3.4 3.4 SamarskiiSamarski

19、i格式格式 22221nnjjuRuaO hxRx nj njT 112,2,11jnjnjnu xtu xtu xtRh 11,jnjnjnjnu x tu x tu x tu xtah 1112,2,111jnjnjnjnjnu xtu xtu xtu xtu xtahRh 1,2Rha 2021/8/1427 2nnjjuaO hx 利用利用 njT 21(3.13)2212ahahh 3.4 3.4 SamarskiiSamarskii格式格式 2Oh 222nnnjjjuuaOhtx njT 112,2,11jnjnjnu xtu xtu xtRh 11,jnjnjnjnu x tu

20、 x tu x tu xtah nnjja 222nnnjjjuuuaOhttx SamarskiiSamarskii格式格式 穩(wěn)定的條件為：穩(wěn)定的條件為：2021/8/14283.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 22(3.14)dud udadxdx 對（對（3.143.14）式積分可以得到）式積分可以得到 12(3.15)xduexa 其中其中 a 通解（通解（3.143.14）中有兩個待定常數(shù)。）中有兩個待定常數(shù)。 定態(tài)的對流擴散方程定態(tài)的對流擴散方程22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2021/8/1429相應(yīng)于相應(yīng)于 ()jjxuu x上上 的的值值為為那么有那么有

21、 1ju x 1 3.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 12(3.15)xduexa 1ju x 1121jhdejha 1121jhdejha 2 111221jjjhhdu xu xhaee 1112211jjjhdu xu xhdau xjhea 2021/8/14301 3.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 12(3.15)xduexa 2 111221jjjhhdu xu xhaee 1112211jjjhdu xu xhdau xjhea 把把 12,代入通解有代入通解有 11111hhjjjhhu xe u xh eu xdeae 2021/8/14313.5 3

22、.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 12(3.15)xduexa 11111hhjjjhhu xe u xh eu xdeae 上式改變寫法有上式改變寫法有 1111hhjjjhaeu xu xeu xdhe 改變其形式改變其形式 1111221(3.16)22 1hjjjjjhu xu xu xu xu xahedaheh 2021/8/1432對流擴散方程對流擴散方程(3.1)(3.14)(3.16)(3.1)(3.14)(3.16)式相比較，給出式相比較，給出（3.13.1）的差分格式的差分格式 1111122122 1nnnnnnnhjjjjjjjhuuuuuuuaheaheh 3.5

23、 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 1111221(3.16)22 1hjjjjjhu xu xu xu xu xahedaheh 22(3.14)dud udadxdx 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2021/83.17)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh coth22ahah ， 為為擬擬合合因因子子(3.17)(3.17)為逼近對流擴散方程為逼近對流擴散方程(3.1)(3.1)的指數(shù)型差分格式的指數(shù)型差分格式 11hhee 1111122122 1nnnnnnnhjjjjjjjhuuuuuuuaheaheh 3.5 3.5 指數(shù)

24、型差分格式指數(shù)型差分格式 22,uuuatxx （3. 1）3. 1）2222hhhheeee coth2h coth2ah a 2021/83.17)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh coth22ahah ， 1111122(3.18)2nnnnnnnjjjjjjjnjuuuuuuuauhh + + 11221nnnjjjnjuuuuh 如果在（如果在（3.183.18）中不考慮）中不考慮 nju 3.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 此格式為中心顯式格式此格式為中心顯式格式 截斷誤差為截斷誤差為: 2Oh 2021/8/1435 1111

25、122(3.18)2nnnnnnnjjjjjjjnjuuuuuuuauhh + + 11221nnnjjjnjuuuuh 考慮考慮 nju : :設(shè)設(shè)u u為對流擴散方程（為對流擴散方程（3.13.1）的光滑解，）的光滑解， 112,2,jnjnjnu xtu x tu xth 3.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 利用利用TaylorTaylor展開有展開有 cothx 22,uuuatxx （3. 1）3. 1） 222njuO hx 31.345xxx coth22ahah ，2021/8/1436利用利用TaylorTaylor展開有展開有 31coth.345xxxx 應(yīng)用到

26、應(yīng)用到 1 有有 1 由此得由此得 ,jnu x t （3.173.17）的截斷誤差為的截斷誤差為 2Oh 3.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 coth22ahah ，12ah 32132ahO hah 2O h 2O h 1111122(3.18)2nnnnnnnjjjjjjjnjuuuuuuuauhh + +2021/8/1437（3.173.17）的截斷誤差為的截斷誤差為 2Oh 22112 (3.19)2vah 利用（利用（3.193.19）可得）可得 3.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 coth22ahah ，中心顯示格式的穩(wěn)定條件中心顯示格式的穩(wěn)定條件:1111

27、122(3.17)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 22,a (3. 4)(3. 4)212h ( (3 3. . 5 5) )1111122(3.3)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 中心顯式中心顯式2021/8/143822av （3.173.17）的穩(wěn)定性條件為（的穩(wěn)定性條件為（3.193.19） 3.5 3.5 指數(shù)型差分格式指數(shù)型差分格式 22112 (3.19)2vvah 利用（利用（3.193.19）可得）可得 222222a hvhv 21coth2ahv 1 1111122(3.17)2nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuahh 22

28、ahv coth22ahah ，P1032021/8/1439考察指數(shù)格式考察指數(shù)格式SamarskiiSamarskii格式迎風格式之間的關(guān)系格式迎風格式之間的關(guān)系 111122 (3.20)1nnnnnnnjjjjjjjhuuuuuuuahahhe 取取h h充分小充分小， 1heh 由此可以看出由此可以看出， （3.203.20）式化為迎風差分格式（式化為迎風差分格式（3.93.9）P100P100 1hahe 設(shè)設(shè)a0a0，想把指數(shù)格式改寫為：想把指數(shù)格式改寫為： he 如果如果 212hh 22ahhh 12vhav 那么那么（3.203.20）式式化為化為SamarskiiP101av 1111122122 1nnnnnnnhjjjjjjjhuuuuuuuaheaheh 2021/8/1440考察指數(shù)格式考察指數(shù)格式SamarskiiSamarskii格式迎風格式之間的關(guān)系格式迎風格式之間的關(guān)系