七橋問題與一筆畫(空中課堂)

1、2021/8/141執(zhí)教老師：葉浙俊2021/8/142 1818世紀(jì)風(fēng)景秀麗的哥尼斯堡（位于立陶宛與波蘭之間，現(xiàn)屬俄世紀(jì)風(fēng)景秀麗的哥尼斯堡（位于立陶宛與波蘭之間，現(xiàn)屬俄羅斯）中有一條河，河的中間有兩個(gè)小島，河的兩岸與兩島之間共建羅斯）中有一條河，河的中間有兩個(gè)小島，河的兩岸與兩島之間共建有七座橋（如圖），城中的居民經(jīng)常沿河過橋散步，不知從什么時(shí)候有七座橋（如圖），城中的居民經(jīng)常沿河過橋散步，不知從什么時(shí)候起，腳下的橋梁觸發(fā)了人們的靈感，一個(gè)有趣的問題在居民中傳開了：起，腳下的橋梁觸發(fā)了人們的靈感，一個(gè)有趣的問題在居民中傳開了：誰能夠一次走遍所有的座橋，而且每座橋都只通過一次？最后是否誰能夠一

2、次走遍所有的座橋，而且每座橋都只通過一次？最后是否仍能回到出發(fā)點(diǎn)？仍能回到出發(fā)點(diǎn)？ 這就是數(shù)學(xué)史上著名的七橋問題。這就是數(shù)學(xué)史上著名的七橋問題。ABCD2021/8/143 這個(gè)問題看起來是這樣的簡(jiǎn)單，人人都樂意這個(gè)問題看起來是這樣的簡(jiǎn)單，人人都樂意是嘗試，但沒有找到合適的路線。是嘗試，但沒有找到合適的路線。 問題傳開后，許多歐洲有學(xué)問的人也參與思問題傳開后，許多歐洲有學(xué)問的人也參與思考，同樣是一籌莫展，有人想到了當(dāng)時(shí)正在俄國(guó)考，同樣是一籌莫展，有人想到了當(dāng)時(shí)正在俄國(guó)圣彼得堡科學(xué)院任職的天才數(shù)學(xué)家圣彼得堡科學(xué)院任職的天才數(shù)學(xué)家歐拉歐拉，請(qǐng)他幫，請(qǐng)他幫助解決。助解決。 歐拉依靠他深厚的數(shù)學(xué)功底，

3、運(yùn)用嫻熟的變歐拉依靠他深厚的數(shù)學(xué)功底，運(yùn)用嫻熟的變換技巧，經(jīng)過一年的研究，于換技巧，經(jīng)過一年的研究，于17361736年遞交了一份年遞交了一份題為哥尼斯堡七座橋的論文，圓滿地解決了題為哥尼斯堡七座橋的論文，圓滿地解決了這一問題。這一問題。2021/8/144歐拉歐拉 （Leonhard Euler 公元1707-1783年） 2021/8/145 歐拉出生在牧師家庭，自幼受到父親的教育。歐拉出生在牧師家庭，自幼受到父親的教育。1313歲時(shí)入讀歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué)，巴塞爾大學(xué)，1515歲大學(xué)畢業(yè)，歲大學(xué)畢業(yè)，1616歲獲得碩士學(xué)位。歐拉是歲獲得碩士學(xué)位。歐拉是1818世世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，

4、他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理的領(lǐng)域。此外，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理的領(lǐng)域。此外，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家，圣彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了四十圣彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。七年。 歐拉著作的驚人多產(chǎn)并不是偶然的，他可以在任何不良的環(huán)歐拉著作的驚人多產(chǎn)并不是偶然的，他可以在任何不良的環(huán)境中工作，他常常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁境中工作，他常常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩他那頑強(qiáng)的毅力和孜孜不倦的治學(xué)精神，使他在雙目邊喧嘩他那頑強(qiáng)的毅力和孜

5、孜不倦的治學(xué)精神，使他在雙目失明以后，失明以后， 也沒有停止對(duì)數(shù)學(xué)的研究，在失明后的也沒有停止對(duì)數(shù)學(xué)的研究，在失明后的1717年間，年間，他還口述了幾本書和他還口述了幾本書和400400篇左右的論文篇左右的論文1919世紀(jì)偉大數(shù)學(xué)家高世紀(jì)偉大數(shù)學(xué)家高斯（斯（GaussGauss，1777-18551777-1855年）曾說：年）曾說： 研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法解數(shù)學(xué)的最好方法 2021/8/146 歐拉解決這個(gè)問題的方法非常巧妙。他認(rèn)為：人們關(guān)歐拉解決這個(gè)問題的方法非常巧妙。他認(rèn)為：人們關(guān)心的只是一次不重復(fù)地走遍這七座橋，而并不關(guān)心橋的長(zhǎng)心的只是一次不重復(fù)地

6、走遍這七座橋，而并不關(guān)心橋的長(zhǎng)短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個(gè)點(diǎn)，短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個(gè)點(diǎn)，AB 而橋則可而橋則可以看成是連接這些點(diǎn)的一條線。這樣，一個(gè)實(shí)際問題就轉(zhuǎn)以看成是連接這些點(diǎn)的一條線。這樣，一個(gè)實(shí)際問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何圖形（如下圖）能否一筆畫出的問題了。化為一個(gè)幾何圖形（如下圖）能否一筆畫出的問題了。2021/8/147v所謂圖的所謂圖的一筆畫一筆畫，指的是：從圖的一點(diǎn)出發(fā)，筆不離紙，指的是：從圖的一點(diǎn)出發(fā)，筆不離紙，每條邊都只畫一次，不準(zhǔn)重復(fù)。每條邊都只畫一次，不準(zhǔn)重復(fù)。2021/8/148偶點(diǎn)偶點(diǎn):與偶數(shù)條邊相連的點(diǎn)叫偶點(diǎn)。與偶數(shù)條邊相連的點(diǎn)叫偶點(diǎn)。奇點(diǎn)奇

7、點(diǎn):與奇數(shù)條邊相連的點(diǎn)叫奇點(diǎn)。與奇數(shù)條邊相連的點(diǎn)叫奇點(diǎn)。能夠一筆畫的圖形必須是連通圖形。能夠一筆畫的圖形必須是連通圖形。2021/8/149圖形奇點(diǎn)個(gè)數(shù)偶點(diǎn)個(gè)數(shù) 能否一筆畫04能能能能07能能不能不能40512021/8/14101 1、奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為、奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為0 0的連通圖是一筆畫圖形。的連通圖是一筆畫圖形?？扇芜x一點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)和終點(diǎn)為可任選一點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一點(diǎn)。同一點(diǎn)。2021/8/1411ABCDEABCD(5)（8）(6)下面哪些圖形可以一筆畫下面哪些圖形可以一筆畫出出?（7）2021/8/1412圖形奇點(diǎn)個(gè)數(shù)偶點(diǎn)個(gè)數(shù)能否一筆畫能能不能不能 能能能能2224325 12021

8、/8/14132 2、奇點(diǎn)數(shù)為，偶點(diǎn)數(shù)為任意的連通、奇點(diǎn)數(shù)為，偶點(diǎn)數(shù)為任意的連通 圖是一筆畫圖形。圖是一筆畫圖形?？蛇x其中一個(gè)奇點(diǎn)做起點(diǎn)，而終點(diǎn)一定可選其中一個(gè)奇點(diǎn)做起點(diǎn)，而終點(diǎn)一定是另一個(gè)奇點(diǎn)，即一筆畫后不可以回到是另一個(gè)奇點(diǎn)，即一筆畫后不可以回到出發(fā)點(diǎn)。出發(fā)點(diǎn)。2021/8/1414現(xiàn)在七橋問題可以解決了嗎？現(xiàn)在七橋問題可以解決了嗎？AB四個(gè)點(diǎn)都是奇點(diǎn)四個(gè)點(diǎn)都是奇點(diǎn)2021/8/1415課堂練習(xí) 1、 一輛灑水車要給某城市的街道灑水，街道地圖如下：你能否設(shè)計(jì)一條灑水車灑水的路線，使灑水車不重復(fù)地走過所有的街道，再回到出發(fā)點(diǎn)？菜市場(chǎng)菜市場(chǎng)小廣場(chǎng)小廣場(chǎng)文具店文具店超市超市電器城電器城服裝城服裝

9、城2021/8/14162、 下圖是一個(gè)公園的平面圖，能不能使游人走遍每一條路不重復(fù)？入口和出口又應(yīng)設(shè)在哪兒？課堂練習(xí) B BA AC CD DE EF FG G2021/8/14172021/8/14182021/8/14192021/8/14202021/8/14212021/8/14222021/8/14232021/8/1424 下面這些圖形，哪些是一 筆畫，那些不是一筆畫？（1）（2）（3）（5）（4）2021/8/1425 答案： 在上圖中，能一筆畫出的是（1）、（2），畫法見下圖。 （1）（2）2021/8/1426練一練一.填空1.圖（1）中，有-個(gè)奇點(diǎn)；有-個(gè)偶點(diǎn)？2.圖（2）中，有-個(gè)奇點(diǎn)；有-個(gè)偶點(diǎn)？3.圖（3）中，有-個(gè)奇點(diǎn)；有-個(gè)偶點(diǎn)？4.圖（4）中，有-個(gè)奇點(diǎn)；有-個(gè)偶點(diǎn)？（1）（2）（3）（4）2021/8/1427練一練二.在下圖中,哪個(gè)圖形能一筆畫出？哪個(gè)不能一筆畫出？能一筆畫出的，請(qǐng)把他們畫出來。（1）（2）（3）（4）（5）2021/8/1428 試一試一、下面這個(gè)圖形能一筆畫出嗎？2021/8/1429一筆畫的規(guī)律小結(jié)一筆畫必須是連通的（圖形的各部分之間連接在一起）；沒有奇點(diǎn)的連通圖形是一筆畫，畫時(shí)可以以任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后仍回到這點(diǎn)；只有兩奇點(diǎn)的連通圖形是一筆畫，畫時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)為