數(shù)學(xué)建模人口增長模型

1、人口增長預(yù)測模型摘要本文建立了我國人口增長的預(yù)測模型，對各年份全國人口總量增長的中短期和長期趨勢作出了預(yù)測，并對人口老齡化、人口撫養(yǎng)比等一系列評價(jià)指標(biāo)進(jìn)行了預(yù)測。最后提出了有關(guān)人口控制與管理的措施。模型：建立了Logistic人口阻滯增長模型，利用附件2中數(shù)據(jù)，結(jié)合網(wǎng)上查找補(bǔ)充的數(shù)據(jù)，分別根據(jù)從1954年、1963年、1980年到2005年三組總?cè)丝跀?shù)據(jù)建立模型，進(jìn)行預(yù)測，把預(yù)測結(jié)果與附件1國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告中提供的預(yù)測值進(jìn)行分析比較。得出運(yùn)用1980年到2005年的總?cè)丝跀?shù)建立模型預(yù)測效果好，擬合的曲線的可決系數(shù)為0.9987。運(yùn)用1980年到2005年總?cè)丝跀?shù)據(jù)預(yù)測得到2010年、2

2、020年、2033年我國的總?cè)丝跀?shù)分別為13.55357億、14.18440億、14.70172億。模型：考慮到人口年齡結(jié)構(gòu)對人口增長的影響，建立了按年齡分布的女性模型（Leslie模型）： 以附件2中提供的2001年的有關(guān)數(shù)據(jù)，構(gòu)造Leslie矩陣，建立相應(yīng) Leslie模型；然后，根據(jù)中外專家給出的人口更替率1.8，構(gòu)造Leslie矩陣，建立相應(yīng)的 Leslie模型。首先，分別預(yù)測2002年到2050年我國總?cè)丝跀?shù)、勞動年齡人口數(shù)、老年人口數(shù)（見附錄8），然后再用預(yù)測求得的數(shù)據(jù)分別對全國總?cè)丝跀?shù)、勞動年齡人口數(shù)的發(fā)展情況進(jìn)行分析，得出：我國總?cè)丝谠?010年達(dá)到14.2609億人，在202

3、0年達(dá)到14.9513億人，在2023年達(dá)到峰值14.985億人；預(yù)測我國在短期內(nèi)勞動力不缺，但須加強(qiáng)勞動力結(jié)構(gòu)方面的調(diào)整。其次，對人口老齡化問題、人口撫養(yǎng)比進(jìn)行分析。得到我國老齡化在加速，預(yù)計(jì)本世紀(jì)40年代中后期形成老齡人口高峰平臺，60歲以上老年人口達(dá)4.45億人，比重達(dá)33.277%；65歲以上老年人口達(dá)3.51億人，比重達(dá)25.53%；人口撫養(yǎng)呈現(xiàn)增加的趨勢。再次，討論我國人口的控制，預(yù)測出將來我國育齡婦女人數(shù)與生育旺盛期育齡婦女人數(shù)，得到育齡婦女人數(shù)在短期內(nèi)將達(dá)到高峰，隨后又下降的趨勢的結(jié)論。最后，分別對模型與模型進(jìn)行殘差分析、優(yōu)缺點(diǎn)評價(jià)與推廣。關(guān)鍵詞 Logistic人口模型 Le

4、slie人口模型 人口增長預(yù)測 MATLAB軟件§1、問題重述一、背景知識：中國是一個(gè)人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。我國人口發(fā)展經(jīng)歷了多個(gè)階段，近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，例如，老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。全面建設(shè)小康社會時(shí)期是我國社會快速轉(zhuǎn)型期，人口發(fā)展面臨著前所未有的復(fù)雜局面，人口安全面臨的風(fēng)險(xiǎn)依然存在二、相關(guān)數(shù)據(jù)：附件1 國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告附件2 人口數(shù)據(jù)（中國人口統(tǒng)計(jì)年鑒中的部分?jǐn)?shù)據(jù)）及其說明根據(jù)已有數(shù)據(jù)三、要解決的問題：1、試從中國的實(shí)際情況和人口增長的上述特點(diǎn)出發(fā)，參

5、考附件2中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻(xiàn)和補(bǔ)充新的數(shù)據(jù)），建立中國人口增長的數(shù)學(xué)模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點(diǎn)與不足之處。2、利用所建立模型的預(yù)測結(jié)果，參照附件1的相關(guān)敘述對反映中國人口增長特點(diǎn)的一系列指標(biāo)如人口老齡化、人口撫養(yǎng)比等進(jìn)行分析預(yù)測。3、根據(jù)模型的計(jì)算結(jié)果，對未來人口發(fā)展高峰進(jìn)行預(yù)測并針對中國人口的調(diào)控和管理進(jìn)行分析。§2、問題分析人口的變化受到眾多方面因素的影響，因此對人口的預(yù)測與控制也就十分復(fù)雜，很難在一個(gè)模型中綜合考慮到各個(gè)因素的影響。為了更好的解決此問題，我們分析了題目以及附錄1中所給的相關(guān)信息，考慮到可以根據(jù)對人

6、口增長不同的評價(jià)指標(biāo)及不同的時(shí)期建立多個(gè)模型分別加以討論。一、從附件1中，我們看到過去一些專家對中國的總?cè)丝跀?shù)做出了2010年、2020年分別達(dá)到13.6億人和14.5億人，2033年前后達(dá)到峰值15億人左右的預(yù)測。因而，我們也可以先對總?cè)丝诘脑鲩L趨勢做出自己的預(yù)測與專家預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，對于預(yù)測所要用到的一些相關(guān)數(shù)據(jù)，我們作了相應(yīng)的補(bǔ)充，由此我們建立了模型：阻滯增長模型。二、模型只考慮了人口總數(shù)，對人口總數(shù)進(jìn)行了預(yù)測分析。但實(shí)際中在對人口進(jìn)行分析時(shí)，按年齡段分布的人口結(jié)構(gòu)是非常重要的。在人口總數(shù)一定時(shí)，不同年齡段的人的生育率和死亡率是不同的，它們對人口未來發(fā)展的影響也是很不一樣的。為了討論不

7、同年齡段的人口分布對人口增長的影響，我們依據(jù)附件2建立了模型：按年齡分布的Leslie模型。三、由模型和模型的結(jié)果我們預(yù)測了人口總數(shù)的發(fā)展趨勢，由模型的計(jì)算結(jié)果我們還能夠得到各年份處在各年齡段的人口數(shù)量、男女比率的預(yù)測值。根據(jù)這些預(yù)測值我們可以計(jì)算出反映人口增長特點(diǎn)的其他指標(biāo)，由此我們可以對模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的分析。§3、合理的假設(shè)1、社會穩(wěn)定，不會發(fā)生重大自然災(zāi)害和戰(zhàn)爭不隨時(shí)間而變化2、超過90歲的婦女（老壽星）都按90歲年齡計(jì)算3、在較短的時(shí)間內(nèi)，平均年齡變化較小，可以認(rèn)為不變4、不考慮移民對人口總數(shù)的影響§4、名詞解釋與符號說明一、名詞解釋1、總和生育率指一定時(shí)

8、期（如某一年）各年齡組婦女生育率的合計(jì)數(shù)，說明每名婦女按照某一年的各年齡組生育率度過育齡期，平均可能生育的子女?dāng)?shù)，是衡量生育水平最常用的指標(biāo)之一。2、更替水平指這樣一個(gè)生育水平，同一批婦女生育女兒的數(shù)量恰好能替代她們本身。一旦達(dá)到生育更替水平，出生和死亡將逐漸趨于均衡，在沒有國際遷入與遷出的情況下，人口將最終停止增長，保持穩(wěn)定狀態(tài)。3、人口撫養(yǎng)比指人口總體中非勞動年齡人口數(shù)與勞動年齡人口數(shù)之比。通常用百分比表示。說明每 100 名勞動年齡人口大致要負(fù)擔(dān)多少名非勞動年齡人口。用于從人口角度反映人口與經(jīng)濟(jì)發(fā)展的基本關(guān)系。根據(jù)勞動年齡人口的兩種不同定義（ 15-59 歲人口或 15-64 歲人口），

9、計(jì)算總撫養(yǎng)有兩種方式4、人口老齡化指人口中老年人比重日益上升的現(xiàn)象。 促使人口老齡化的直接原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。一般認(rèn)為，如果人口中65歲及以上老年人口比重超過7%，或60歲及以上老年人口比重超過10%，那么該人口就屬于老年型。5、出生人口性別比是活產(chǎn)男嬰數(shù)與活產(chǎn)女嬰數(shù)的比值，通常用女嬰數(shù)量為100時(shí)所對應(yīng)的男嬰數(shù)來表示。正常情況下，出生性別比是由生物學(xué)規(guī)律決定的，保持在103107之間。二、符號說明序號符號意義1：表示年份（選定初始年份的）2人口增長率3：人口數(shù)量4：自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量5：可決系數(shù)6：在時(shí)間段第年齡組的人口總數(shù)7：第年齡組的生育率8

10、：第年齡組的死亡率9：第年齡組的存活率10：Leslie矩陣11：2001年全國人口總數(shù)12：2001年城市總?cè)丝?3：2001年鎮(zhèn)總?cè)丝?4：2001年鄉(xiāng)總?cè)丝?5：2001年第年齡段的人口總數(shù)16：時(shí)分別表示市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的女孩出生率17：時(shí)段具有勞動能力的人口18：社會的撫養(yǎng)比指數(shù)19:總和生育率20：時(shí)段年齡組中女性所占的百分比§5、模型的建立與求解模型：阻滯增長模型（Logistic模型）1一、模型的準(zhǔn)備阻滯增長模型的原理：阻滯增長模型是考慮到自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的阻滯作用，對指數(shù)增長模型的基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的。阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率的影響上，使得隨著人口

11、數(shù)量的增加而下降。若將表示為的函數(shù)。則它應(yīng)是減函數(shù)。于是有： （1）對的一個(gè)最簡單的假定是，設(shè)為的線性函數(shù)，即 （2）設(shè)自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量，當(dāng)時(shí)人口不再增長，即增長率，代入（2）式得，于是（2）式為               （3）將（3）代入方程（1）得：             （4）解方程（4）可得： （5）二、模型的建立為了對以后一定時(shí)

12、期內(nèi)的人口數(shù)做出預(yù)測，我們首先從中國經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫（55/index.aspx）上查到我國從1954年到2005年全國總?cè)丝诘臄?shù)據(jù)如表1。表1 各年份全國總?cè)丝跀?shù)（單位：千萬）年份195419551956195719581959196019611962總?cè)丝?0.261.562.864.666.067.266.265.967.3年份196319641965196619671968196919701971總?cè)丝?9.170.472.574.576.378.580.783.085.2年份197219731974197519761977197819791980總?cè)?/p>

13、口87.189.290.992.493.795.096.25997.598.705年份198119821983198419851986198719881989總?cè)丝?00.1101.654103.008104.357105.851107.5109.3111.026112.704年份199019911992199319941995199619971998總?cè)丝?14.333115.823117.171118.517119.850121.121122.389123.626124.761年份1999200020012002200320042005總?cè)丝?25.786126.743127.627128

14、.453129.227129.988130.7561、將1954年看成初始時(shí)刻即，則1955為，以次類推，以2005年為作為終時(shí)刻。用函數(shù)（5）對表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合，運(yùn)用Matlab編程（程序見附錄1）得到相關(guān)的參數(shù)，可以算出可決系數(shù)（可決系數(shù)是判別曲線擬合效果的一個(gè)指標(biāo)）：由可決系數(shù)來看擬合的效果比較理想。所以得到中國各年份人口變化趨勢的擬合曲線： （6）根據(jù)曲線（6）我們可以對2010年（）、2020年（）、及2033年（）進(jìn)行預(yù)測得（單位：千萬）：結(jié)果分析：從附錄1所給信息可知從1951年至1958年為我國第一次出生人口高峰，形成了中國人口規(guī)模“由緩到快”的增長基礎(chǔ)；因此這段時(shí)期

15、人口波動較大，可能影響模型結(jié)果的準(zhǔn)確性。1959、1960、1961年為三年自然災(zāi)害時(shí)期，這段時(shí)期人口的增長受到很大影響，1962年處于這種影響的滯后期，人口的增長也受到很大影響?？偟膩碚f1951-1962年的人口增長的隨機(jī)誤差不是服從正態(tài)分布，由于上面的曲線擬合是用最小二乘法，所以很難保證擬合的準(zhǔn)確性。因此我們再選擇1963年作為初始年份對表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。2、 將1963年看成初始時(shí)刻即，以2005年為作為終時(shí)刻。運(yùn)用Matlab編程（程序見附錄2）得到相關(guān)的參數(shù)，可以算出可決系數(shù)得到中國各年份人口變化趨勢的另一擬合曲線： （7）根據(jù)曲線（7）我們可以對2010年（）、2020年（）、

16、及2033年（）進(jìn)行預(yù)測得（單位：千萬）：結(jié)果分析：1963年-1979年其間，人口的增長基本上是按照自然的規(guī)律增長，特別是在農(nóng)村是這樣，城市受到收入的影響，生育率較低，但都有規(guī)律可尋?？偟膩碚f，人口增長的外界大的干擾因素基本上沒有，可以認(rèn)為這一階段隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布；1980-2005年這一時(shí)間段，雖然人口的增長受到國家計(jì)劃生育政策的控制，但計(jì)劃生育的政策是基本穩(wěn)定的，這一階段隨機(jī)誤差也應(yīng)服從正態(tài)分布（當(dāng)然均值與方差可能不同）因此用最小二乘法擬合所得到的結(jié)果應(yīng)有較大的可信度。3、從1980-2005年，國家計(jì)劃生育政策逐漸得到完善及貫徹落實(shí)，這個(gè)時(shí)期的人口增長受到國家計(jì)劃生育政策的控制，人

17、口的增長方式與上述的兩個(gè)階段都不同。因此我們進(jìn)一步選擇1980年作為初始年份2005年作為終時(shí)刻進(jìn)行擬合。運(yùn)用Matlab編程（程序見附錄3）得到相關(guān)的參數(shù)，可以算出可決系數(shù)得到中國各年份人口變化趨勢的第三條擬合曲線：                                

18、;        （8）根據(jù)曲線（7）我們可以對2010年（）、2020年（）、及2033年（）進(jìn)行預(yù)測得（單位：千萬）：結(jié)果分析：這一時(shí)期，國家雖然對人口大增長進(jìn)行了干預(yù)，但國家的計(jì)劃生育的政策是基本穩(wěn)定的，在此其間沒有其他大的干擾，所以人口增長的隨機(jī)誤差應(yīng)服從正態(tài)分布。所以我們的結(jié)果應(yīng)是比較可信的。我們分別根據(jù)擬合曲線（6）、（7）、（8）對各年份中國總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測得到結(jié)果如表2：表2 各年份全國總?cè)丝谟貌煌瑪M合曲線預(yù)測數(shù)（單位：千萬）年份全國總?cè)丝陬A(yù)測（單位：千萬）預(yù)測曲線（6）預(yù)測曲線（7）預(yù)測曲線（8）2

19、000126.7649126.3338126.4732003130.5141129.2303129.51682006134.1131.8447132.27582009137.516134.1926134.76382012140.7577136.2917136.99712015143.8231138.1607138.99332018146.7117139.819140.7712021149.4251141.2856142.34892024151.9662142.579143.74522027154.3392143.7168144.97782030156.5494144.7157146.06322

20、033158.6028145.5908147.01722036160.5063146.3562147.85412039162.267147.0247148.58712042163.8924147.6077149.22842045165.3903148.1158149.78862048166.7683148.558150.2775由上表可以看出：用擬合曲線（6）預(yù)測得到的數(shù)據(jù)比較大，在2024年總?cè)丝诰鸵呀?jīng)超過了151.9662千萬，而且一直以比較快的速度增長到2048年達(dá)到了166.7683千萬。用擬合曲線（7）預(yù)測得到的數(shù)據(jù)偏小，到2048年人口只有148.558千萬。相比較而言用擬合曲線（

21、8）預(yù)測的數(shù)據(jù)比較接近附件1中的預(yù)測。畫出圖形如圖1：圖1：對各年份全國總?cè)丝跀?shù)的預(yù)測 模型：按年齡分布的Leslie模型2一、模型的準(zhǔn)備將人口按年齡大小等間隔地劃分成個(gè)年齡組（譬如每10歲一組），模型要討論在不同時(shí)間人口的年齡分布，對時(shí)間也加以離散化，其單位與年齡組的間隔相同。時(shí)間離散化為.設(shè)在時(shí)間段第年齡組的人口總數(shù)為，定義向量，模型要研究的是女性的人口分布隨的變化規(guī)律，從而進(jìn)一步研究總?cè)丝跀?shù)等指標(biāo)的變化規(guī)律。設(shè)第年齡組的生育率為，即是單位時(shí)間第年齡組的每個(gè)女性平均生育女兒的人數(shù)；第年齡組的死亡率為，即是單位時(shí)間第年齡組女性死亡人數(shù)與總?cè)藬?shù)之比，稱為存活率。設(shè)、不隨時(shí)間變化，根據(jù)、和的定義

22、寫出與應(yīng)滿足關(guān)系：            （9）在（9）式中我們假設(shè)中已經(jīng)扣除嬰兒死亡率，即扣除了在時(shí)段以后出生而活不到的那些嬰兒。若記矩陣 （10）則（9）式可寫作     （11）當(dāng)、已知時(shí)，對任意的有 （12）若（10）中的元素滿足（）；（），且至少一個(gè)。則矩陣稱為Leslie矩陣。 只要我們求出Leslie矩陣并根據(jù)人口分布的初始向量，我們就可以求出時(shí)段的人口分布向量。二、模型的建立我們以2001年為初始年份對以后各年的女性總數(shù)及總?cè)丝跀?shù)進(jìn)行預(yù)測，根據(jù)附件2中所給數(shù)據(jù)，以一歲為

23、間距對女性分組。(1) 計(jì)算2001年處在各個(gè)年齡上的婦女人數(shù)的分布向量：附件2給了2001年中國人口抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，提取為表3表 3城市男147907城市女147465鎮(zhèn)男80279鎮(zhèn)女77976鄉(xiāng)男394690鄉(xiāng)女372242根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，可以算出2001年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口占2001年全國總?cè)丝诘谋嚷史謩e為：我們由表1數(shù)據(jù)知2001年全國總?cè)丝冢▎挝唬呵f），因此可以算出2001年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的總?cè)丝诜謩e為（單位：千萬）：、根據(jù)附件2給的2001年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)各個(gè)年齡段的女性比率，可以分別算出2001年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)處在第年齡段的女性的總數(shù)分別為。以城市為例，設(shè)2001年城市中處在年齡段

24、婦女占城市總?cè)丝诒嚷史謩e為，則（鎮(zhèn)、鄉(xiāng)類似）。于是可以算出2001年處在第年齡段上的婦女總?cè)藬?shù)（見附錄7）。（2）計(jì)算處在第年齡段的每個(gè)女性平均生育女兒的人數(shù)。附件2中分別給出了2001年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)育齡婦女（15歲49歲）的生育率（此處應(yīng)該是包含男孩和女孩）（或時(shí)都為0），則可以分別算出2001年處在第年齡段的城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)育齡婦女總共生育的小孩數(shù)（包含男孩和女孩），記為：。以城市為例計(jì)算：（鎮(zhèn)、鄉(xiāng)類似）。附件2中還分別給出了2001年市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的男女出生人口性別比（女100計(jì)），據(jù)此可以分別計(jì)算出城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)女孩的出生率。由此就可以求出2001年處在第年齡段的每個(gè)女性平均生育女兒的人數(shù)：，由

25、于總和生育率： 經(jīng)計(jì)算得到總和生育率小于1.8，誤差很大，我們對生育率進(jìn)行修正：具體計(jì)算結(jié)果見附錄7。(3) 計(jì)算第年齡段的女性總存活率率：記第年齡段的女性的死亡率為。附件2中分別給出了城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)處在第年齡段的女性死亡率，則處在第年齡段的女性總死亡率為：，于是總存活率為：見附錄4。用EXCEL對計(jì)算出來的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，然后運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行編程，計(jì)算出Leslie矩陣，于是可以用上面(12)式進(jìn)行預(yù)測。三、對模型結(jié)果作進(jìn)一步討論我國人口發(fā)展形勢復(fù)雜，目前人口的低生育水平面臨著嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，下面我們分別從如下方面分析預(yù)測我國人口發(fā)展將要面臨的復(fù)雜局面。（1）人口總量與勞動力人口的發(fā)展變化根

26、據(jù)考慮種群結(jié)構(gòu)的Leslie離散模型，利用2001年的數(shù)據(jù)建立人口預(yù)測模型。通過分析，計(jì)算出我國人口的預(yù)測值，對應(yīng)作出的我國勞動年齡人口與總?cè)丝诘恼劬€圖如下：圖2 我國全國總?cè)丝谂c勞動年齡人口折線圖根據(jù)圖2 可以知道從2001年到2023年預(yù)測我國全國總?cè)丝谑浅尸F(xiàn)上升趨勢的，隨后幾年呈現(xiàn)緩慢下降的趨勢。總?cè)丝谠?010年、2020年分別達(dá)到14.2609億人和14.9513億人，在2023年達(dá)到峰值14.985億人，在2033年達(dá)到14.7455億人。把預(yù)測數(shù)值與附件2中所提供的預(yù)測數(shù)值進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)我們預(yù)測的未來人口的高峰期提前10年。這一方面可能由我國男女的出生性別比例中女性所占的比例較小

27、的原因；另一方面，我們計(jì)算出人口更替率僅為1.42（此為5年的均值），而中外專家對我國90年代中期以來的人口更替率的計(jì)算結(jié)果為1.8（見附錄10），兩者相差甚遠(yuǎn)，這說明附錄-提供的數(shù)據(jù)可能不夠真實(shí)，從而導(dǎo)致了我國人口峰值的預(yù)測年份提前。根據(jù)圖2，我國勞動年齡人口龐大，15-64歲的勞動年齡人口2010年為10.4421億人，2013年將達(dá)到高峰10.4852億人，隨后勞動年齡人口呈現(xiàn)下降的趨勢。由此，可知在相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)，我國不缺勞動力，但需要加強(qiáng)勞動力結(jié)構(gòu)性的調(diào)整，同時(shí)由于我國計(jì)劃生育等宏觀政策的影響，近幾年總和生育率已降低到1.8，并將穩(wěn)定在1.8的水平上，所以經(jīng)過較長的時(shí)期，我國的勞動年

28、齡人口將有所降低。（2）人口老齡化與人口撫養(yǎng)比通過計(jì)算分析人口結(jié)構(gòu)持續(xù)老齡化，運(yùn)用Leslie離散模型，通過MATLAB軟件計(jì)算出我國60歲以上與65歲以上的老齡人口數(shù)，做出散點(diǎn)圖如下：圖3 我國老年人口預(yù)測值的折線圖從圖3可以直觀的看出我國老齡人口在持續(xù)增加，說明我國老齡化進(jìn)程在加速。同時(shí)做出未來我國老齡人口占總?cè)丝诘谋壤恼劬€圖如下：圖4 我國老齡人口占總?cè)丝陬A(yù)測比例的折線圖從圖3，圖4得到：2001年我國60歲以上老年人口已達(dá)到1.5538億人，占總?cè)丝诘?1.5693%。到2020年，60歲以上老年人口將達(dá)到2.907億人比重為19.443%；65歲以上老年人口將達(dá)到2.0628億人比

29、重從2000年的8.009%增長到13.797%。預(yù)計(jì)本世紀(jì)40年代中后期形成老齡人口高峰平臺，60歲以上老年人口達(dá)4.45億人，比重達(dá)33.277%；65歲以上老年人口達(dá)3.51億人，比重達(dá)25.53%。綜上可知我國老齡人口數(shù)量大，老齡化速度快，高齡趨勢明顯，加上我國人口基數(shù)大，所以我國是個(gè)老齡人口多的國家。老齡化也在一定程度上導(dǎo)致了我國人口撫養(yǎng)比的不斷增高。下面計(jì)算人口撫養(yǎng)比指數(shù)：設(shè)與分別為男性與女性中具有勞動能力的年齡組，則時(shí)段具有勞動能力的人口為,而為時(shí)段由社會撫養(yǎng)的失去勞動能力與老人或尚未具有勞動能力的為成年人的數(shù)量。定義社會的撫養(yǎng)比指數(shù)，即平均每一勞動者撫養(yǎng)的無勞動能力的人數(shù)。我們

30、以014歲為沒有勞動能力的兒童，以15-64歲為具有勞動能力的年齡勞動人口，以65歲及以上的為老齡人口。首先，通過MATLAB編程計(jì)算出2002到2051年0-14歲、15-64歲、65歲及5以上三段的人數(shù)；其次，根據(jù)人口撫養(yǎng)比的含義，計(jì)算出每一年份的人口撫養(yǎng)比得出人口撫養(yǎng)比。得出的每年人口撫養(yǎng)比的折線圖如下：圖5 預(yù)測人口撫養(yǎng)比從圖5 可以看出預(yù)測的以后各年的人口撫養(yǎng)比呈增長的趨勢。人口撫養(yǎng)比比較高主要原因有：每年新生嬰兒數(shù)目在增加；老齡化的加劇，老齡人口數(shù)量大；15-64歲年齡段中的人的殘疾、生病而無勞動能力等。（3）人口調(diào)控與管理現(xiàn)階段我國生育水平的不穩(wěn)定性，根據(jù)建立的Leslie模型，

31、運(yùn)用MATLAB軟件計(jì)算出2000年到2050年我國育齡婦女（15-49歲）人口，并做出的散點(diǎn)圖如下：圖6 未來我國育齡婦女（15-49歲）人口預(yù)測從圖6中可以看出我國育齡婦女（15-49歲）人口在2010年左右到達(dá)到高峰，圖7 未來我國生育旺盛期育齡婦女（20-29）人數(shù)預(yù)測從圖7我們發(fā)現(xiàn)，我國生育旺盛期育齡婦女（20-29）人數(shù)在2012年將達(dá)到高峰，到2025年左右有進(jìn)入一個(gè)小低谷，然后再2037年左右有達(dá)到一個(gè)小高峰。第二個(gè)我國生育旺盛期育齡婦女（20-29）人數(shù)小高峰的原因在于在2012年人口出生高峰期的女嬰到2037年時(shí)達(dá)到生育旺盛期，因此，在2025年生育旺盛期育齡婦女（20-2

32、9）人數(shù)達(dá)到低谷時(shí)有回升的形勢。§6、誤差分析與靈敏度分析一、模型的殘差分析：1、運(yùn)用Matlab軟件計(jì)算出用1954年到2005年的總?cè)丝跀?shù)進(jìn)行擬合產(chǎn)生的殘差,再利用EXCEL作出殘差的散點(diǎn)圖如下：圖8 殘差分析從圖8可以看出殘差在坐標(biāo)軸上下波動，但是，不是呈現(xiàn)正態(tài)分布，并且殘差絕對值之和為57.9992，是比較大，因此擬合的效果不太好。2、利用1963年到2005年的總?cè)丝跀?shù)，根據(jù)Logistic模型的形式，用Matlab軟件進(jìn)行擬合，并求出殘差序列，再利用EXCEL進(jìn)行處理，并作出殘差散點(diǎn)圖如下：圖9 殘差分析圖通過圖9，可以看出殘差值大致分布在坐標(biāo)軸的上下，呈現(xiàn)對稱分布，又有

33、Matlab軟件計(jì)算出擬合的殘差絕對值之和為27.8046，因此效果較好。3、利用1980年到2005年的人口總數(shù)居，同樣運(yùn)用Matlab、EXCEL軟件進(jìn)行分析、處理，作出散點(diǎn)圖如下：圖10 殘差分析圖通過Matlab軟件計(jì)算，得出擬合的殘差絕對值之和為10.1699，從圖10可以看出，圖形基本關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，所以你和效果比較好。二、靈敏度分析：1、在不同的總合生育率下按照前面的方法分別計(jì)算從2001年到2050年全國人口總數(shù)的預(yù)測值（程序見附錄6），并畫出圖形如圖11圖11：在不同的k值下對各年份全國總?cè)丝跀?shù)的預(yù)測 由圖11可以看出當(dāng)值很小時(shí)人口增長比較緩慢，達(dá)到峰值后人口數(shù)量很快下降出現(xiàn)

34、嚴(yán)重負(fù)增長；當(dāng)值很大時(shí)人口增長速度很快，達(dá)到峰值后下降的速度緩慢，在此情況下人口數(shù)量急劇膨脹。只有當(dāng)值適中時(shí)，總?cè)丝谠鲩L才比較穩(wěn)定。2、再在不同的總和生育率下按照前面的方法分別計(jì)算從2001年到2050年全國老齡化變化趨勢（程序見附錄6），并畫出圖形如圖12 圖12：在不同的k值下對各年份老齡化變化趨勢 由圖12可以看出值越小，老齡化增大的速度越快；值越大老齡化指數(shù)增長平緩年齡結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，有利于社會發(fā)展。由以上分析可知國家在制定人口政策時(shí)要多方面考慮，如果只看重對人口總數(shù)的控制可能導(dǎo)致社會老齡化嚴(yán)重、勞動力不足這顯然是不利于社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展的；相反如果為了防止社會老齡化加快而放任人口的增長，也會導(dǎo)致

35、社會人口過多對資源和環(huán)境帶來巨大壓力。因此只有掌握好一個(gè)“平衡點(diǎn)”正確制定政策才能使國民經(jīng)濟(jì)持續(xù)增長，人民生活水平不斷提高。§7、模型的評價(jià)與推廣一、模型的優(yōu)點(diǎn)：1、在用模型對各年全國人口總數(shù)預(yù)測時(shí)結(jié)合實(shí)際情況，分別用不同時(shí)間段的數(shù)據(jù)擬合確定了三個(gè)預(yù)測函數(shù)。并對三個(gè)函數(shù)預(yù)測的數(shù)據(jù)進(jìn)行了對比分析，使模型的計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。2、利用EXCEL軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理并作出各種平面圖，簡便，直觀、快捷； 3、運(yùn)用多種數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行計(jì)算，取長補(bǔ)短，使計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確;4、在模型中我們充分考慮到不同年齡的個(gè)體具有不同的生育能力和死亡率，采用leslie模型，建立年齡結(jié)構(gòu)的離散模型，并通過合理假設(shè)，在時(shí)

36、間跨度不大的前提下，對人口數(shù)量僅此進(jìn)行了預(yù)測，得到人口數(shù)量變化趨勢圖2與<<國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究：人口發(fā)展預(yù)測>>課題中未來我國總?cè)丝?，勞動人口及人口扶養(yǎng)比預(yù)測 及未來我國人口老齡化預(yù)測趨勢圖基本一致。因?yàn)樵紨?shù)據(jù)得到的人口總和生育率跟實(shí)際情況不符，我們對此進(jìn)行了合理修正，使預(yù)測更為準(zhǔn)確。在模型中我們還進(jìn)行了參差分析，在模型中我們對不同的平均婦女生育胎數(shù)下人口總數(shù)及老齡化趨勢進(jìn)行了分析，得到適合平均生育胎數(shù)的最佳值。二、模型的缺點(diǎn)：在模型假設(shè)中我們及不隨時(shí)段的變遷而改變這一理想狀態(tài)下，但出生率及死亡率會隨時(shí)間的變化而有所該變，本模型沒有建立與死亡率隨時(shí)間變化的動態(tài)模型，

37、因而存在一定的誤差；三、模型的改進(jìn)：隨著人民的生活水平的提高和醫(yī)療衛(wèi)生的改善，各年齡的死亡率不斷下降，存活率不斷提高。因此我們可以對Leslie模型進(jìn)行進(jìn)一步改變：記時(shí)段年齡組中女性所占的百分比為，并設(shè)為育齡女性的年齡組，則時(shí)段新生兒為我們引入控制變量，使得=1，這里，稱為女性生育模式，我們將lestie矩陣變成：其中 在一定時(shí)期內(nèi)（這里j從0到90），為平均生育胎數(shù)，和可視為與無關(guān)的常數(shù)，我們可以通過控制結(jié)婚年齡和生育兩胎間的年齡差來求的最佳值，從而達(dá)到控制人口數(shù)量和年齡結(jié)構(gòu)的目的。四、模型的推廣：本文首先不考慮年齡結(jié)構(gòu)對人口增長的影響，建立Logistic人口預(yù)測模型；然后，逐步改進(jìn)，考慮

38、年齡結(jié)構(gòu)對人口增長的影響，建立Leslie模型，對人口增長進(jìn)行預(yù)測，這種由簡到繁，逐步加深的思路，可以應(yīng)用到較復(fù)雜問題的處理上。參考文獻(xiàn)1 姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型M.北京:.2003年8月第三版；2 姜啟源.數(shù)學(xué)模型M.北京: 高等教育出版社.1987年4月第一版；3 于洪彥.Excel統(tǒng)計(jì)分析與決策M(jìn).北京:高等教育出版社.2006年4月；4 胡守信,李柏年.基于MATLAB的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)M.北京:科學(xué)出版社.2004年6月；5 揚(yáng)啟帆,康旭升,等.數(shù)學(xué)建模M.北京: 高等教育出版社.2006年5月；6 于學(xué)軍.中國人口科學(xué)2000年第2期,時(shí)間:2000-4-6,中國人口信息網(wǎng).附錄附

39、錄1：t=0:51; %令1954年為初始年x=60.2 61.5 62.8 64.6 66 67.2 66.2 65.9 67.3 69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83 85.2 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95 96.259 97.5 98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.78

40、6 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756; c,d=solve('c/(1+(c/60.2-1)*exp(-5*d)=67.2','c/(1+(c/60.2-1)*exp(-20*d)=90.9','c','d') ;%求初始參數(shù)b0= 241.9598, 0.02985; %初始參數(shù)值fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/60.2-1).*exp(-b(2).*t)','b','t');b1,r1,j1=nl

41、infit(t,x,fun,b0)y= 180.9871./(1+( 180.9871/60.2-1).*exp( -0.0336.*t); %非線性擬合的方程plot(t,x,'*',t,y,'-or') %對原始數(shù)據(jù)與曲線擬合后的值作圖R1=r1.2;R2=(x-mean(x).2; R=1-R1/R2 %可決系數(shù)W=sum(abs(r1) %殘差絕對值之和附錄2：t=46:3:94y= 180.9871./(1+( 180.9871/60.2-1).*exp( -0.0336.*t)%對總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測t=0:42; %令1963年為初始年x=69.1 70

42、.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83 85.2 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95 96.259 97.5 98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756; c,d=solve('c/(1+(c/

43、69.1-1)*exp(-5*d)=78.5','c/(1+(c/69.1-1)*exp(-20*d)=103.008','c','d'); %求初始參數(shù)b0= 134.368,0.056610; %初始參數(shù)值fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/69.1-1).*exp(-b(2).*t)','b','t');b1,r1,j1=nlinfit(t,x,fun,b0)y=151.4513./(1+(151.4513/69.1-1).*exp( -0.0484.*t); %非線

44、性擬合的方程plot(t,x,'*',t,y,'-or') %對原始數(shù)據(jù)與曲線擬合后的值作圖R1=r1.2;R2=(x-mean(x).2; R=1-R1/R2 %可決系數(shù)W=sum(abs(r1) %殘差絕對值之和附錄3：t=37:3:85y=151.4513./(1+(151.4513/69.1-1).*exp( -0.0484.*t)%對總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測t=0:25; %令1980年為初始年x=98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 11

45、5.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756; c,d=solve('c/(1+(c/98.705-1)*exp(-5*d)=105.851','c/(1+(c/98.705-1)*exp(-8*d)=111.026','c','d'); %求初始參數(shù)b0= 109.8216, - 0.19157; %初始參數(shù)值fun=inline('b

46、(1)./(1+(b(1)/98.705-1).*exp(-b(2).*t)','b','t');b1,r1,j1=nlinfit(t,x,fun,b0)y= 153.5351./(1+(153.5351/98.705-1).*exp( -0.0477.*t); %非線性擬合的方程plot(t,x,'*',t,y,'-or') %對原始數(shù)據(jù)與曲線擬合后的值作圖R1=r1.2;R2=(x-mean(x).2; R=1-R1/R2 %可決系數(shù) W=sum(abs(r1) %殘差絕對值之和t=20:3:53y= 153.5351

47、./(1+(153.5351/98.705-1).*exp( -0.0477.*t)%對總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測附錄4：計(jì)算0-14歲，15-64歲，65歲及以上的程序、繪畫出未來我國育齡人數(shù)的程序N=0.680891272 0.58459172 0.584558207 0.692220217 0.72411021 0.775536041 0.847368918 0.834418703 0.917922042 0.951466819 1.070015717 1.249256063 1.199263988 1.202198525 1.274218917 1.111050839 0.992314425 0.

48、893797544 0.874657347 0.984356877 0.859576778 0.85215346 0.90864418 0.897944807 0.880539323 1.019086724 1.04218667 1.114823731 1.192867199 1.203566572 1.272973995 1.328513576 1.254992403 1.333819445 1.103186123 1.22470307 1.220643442 1.236736319 1.390726415 0.980765111 0.646684069 0.785660623 0.7016

49、27592 0.910420112 0.960157646 0.914258713 0.953980568 0.927429956 0.851007759 0.825482359 0.807942823 0.736552002 0.69043204 0.60580295 0.615510624 0.554785663 0.50370135 0.480051762 0.468722817 0.455364059 0.484386541 0.447344681 0.420164498 0.44238033 0.426529091 0.428183875 0.39132953 0.380409129

50、 0.385339967 0.327924574 0.334697711 0.307330012 0.262864834 0.270663183 0.235872165 0.208725495 0.212001549 0.178456772 0.164260316 0.149842833 0.138734916 0.109899949 0.097358277 0.0765762 0.0638135 0.055794123 0.049396016 0.0382881 0.033544777 0.023870616 0.070211606;N0=N' %第0年（2001年）的女性個(gè)年齡段的

51、人口數(shù)A=eye(90);b=0.974906966 0.999321231 0.99772433 0.999247616 0.999567418 0.999180663 0.999887948 0.999387596 0.999618586 0.999985672 0.999389434 0.999724354 0.999801796 0.999627626 0.999704795 0.999639686 0.999728462 0.999974533 0.999173327 0.998954118 0.999441067 0.999357392 0.999290675 0.99899917

52、6 0.999881604 0.998896347 0.998355939 0.999135339 0.999074527 0.998872652 0.999180794 0.998918159 0.999046112 0.999042354 0.999396027 0.998624972 0.998252716 0.999597855 0.998710945 0.999003274 0.999443444 0.999141415 0.998772101 0.998940505 0.997905005 0.998374562 0.997783774 0.997596666 0.99734490

53、6 0.996954499 0.996669784 0.996030759 0.995006639 0.996157488 0.994647744 0.995779435 0.995652313 0.99577713 0.992477806 0.994969564 0.988130537 0.989284868 0.988703961 0.988302563 0.98420824 0.984495416 0.985298735 0.980062089 0.978928307 0.977358446 0.971126989 0.969303899 0.969979818 0.96405059 0

54、.961740312 0.96729706 0.948302346 0.946571559 0.949641387 0.935949391 0.912489482 0.9261805 0.923757863 0.928757906 0.918230333 0.887761389 0.885306858 0.875178086 0.882495752 0.824428701;for i=1:90 A(i,:)=A(i,:)*b(1,i);endA; c=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.478E-05 0.000322169 0.000358246 0.001004

55、604 0.004683367 0.011011165 0.033616492 0.057875394 0.074871727 0.069182006 0.076039141 0.06724895 0.052429406 0.043732464 0.034350502 0.024632733 0.023252532 0.018343847 0.014701275 0.011039961 0.007117557 0.005094843 0.00359291 0.002514858 0.002484781 0.001764709 0.001471644 0.000676953 0.000265476 0.000401474 0.000408779 0.000110447 0.000192401 0.0003894