專題復(fù)習(xí)(六)-求最短路徑問題

1、專題復(fù)習(xí)（六）求最短路徑問題最短路徑問題在四川省的中考中出現(xiàn)的頻率很高，這類問題一般與垂 線段最短、兩點之間線段最短關(guān)系密切.類型1 利用“垂線段最短”求最短路徑問題如圖所示，是一條河流，要鋪設(shè)管道將河水引到 C , D兩個用水點，現(xiàn)有兩種鋪設(shè)管道的方案.方案一：分別過C, D作的垂線，垂足分別為E , F，沿，鋪設(shè)管道；方案二：連接交于點 P，沿、鋪設(shè)管道.問：這兩種鋪設(shè)管道的方案中哪一種更節(jié)省材料，為什么?【思路點撥】方案一管道長為+,方案二管道長為+,利用垂線段最短即可比較出大小.【解答】按方案一鋪設(shè)管道更節(jié)省材料.理由如下:丄，丄，而與不垂直，二根據(jù)“垂線段最短”，可知.+v + ,沿

2、、鋪設(shè)管道更節(jié)省材料.本題易錯誤的利用兩點之間線段最短解決，解答時需要準(zhǔn)確識圖，找到圖形對應(yīng)的知識點.針對訓(xùn)練1 . （2015 保定一模）如圖，點A的坐標(biāo)為（一1 , 0），點B（a , a），當(dāng)線段最短時，點B的坐標(biāo)為（）A . （0，0）B .（，-）C.（,一 ）D .（,）2 . （2015 杭州模擬）在直角坐標(biāo)系中，點 P落在直線x 2y + 6 = 0上， O為坐標(biāo)原點，則的最小值為（）直線y = 3k + 4與00則弦的長的最小值為.（2013 內(nèi)江）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為圓心的圓過點A（13 ,0),4 . （2015 碑林區(qū)期中）如圖，平原上有A, B , C ,

3、D四個村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣栴}，政府準(zhǔn)備投資修建一個蓄水池.（1）不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池 H點的位置，使它到四個村莊距離之和最小；(2) 計劃把河水引入蓄水池 H 中，怎樣開渠最短并說明根據(jù)類型2利用“兩點之間線段最短”求最短路徑問題(512（2015 樂陵模擬）（1）如圖1，直線同側(cè)有兩點 A, B，在直線上求一點C，使它到A、B之和最??；（保留作圖痕跡不寫作法）（2）知識拓展：如圖2，點P在/內(nèi)部，試在、上分別找出兩點 E、F, 使周長最短；（保留作圖痕跡不寫作法）（3）解決問題：如圖3，在五邊形中，在，上分別找一點M, N，使得周長最?。唬ūＡ糇鲌D痕跡不寫作法）若/= 125

4、 ° ,Z B = Z E=90 ° ,=,=,/ + / 的度數(shù)為.【思路點撥】（1）根據(jù)兩點之間線段最短，作A關(guān)于直線的對稱點E , 連接交直線于C,即可解決；（2）作P關(guān)于、的對稱點C、D，連接交、于E、F，此時周長有最 小值；（3）取點A關(guān)于的對稱點P,關(guān)于的對稱點Q,連接與相交于點 M, 與相交于點N，的長度即為的周長最小值；根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于 180。求出/ P+Z Q，根據(jù)三角形的外 角以與三角形內(nèi)角和知識運用整體思想解決.【解答】（1）作A關(guān)于直線的對稱點E,連接交直線于C,連接，則此時C點符合要求.（2）作圖如圖.（3）作圖如圖./= 125 

5、6;/ P + Z Q = 180 ° - 125 ° = 55P+Z= 2 / P,Z = ZQ+Z= 2 / Q,./ + /=2( / P+Z Q) = 2 X 55 116“兩點（直線同側(cè)）一線型”在直線上求一點到兩點的和最短時，利用軸對稱的知識作一點關(guān)于直線的對稱點，連接對稱點與另一點與直線的交點 就是所求的點；“一點兩線型”求三角形周長最短問題，作點關(guān)于兩直線 的對稱點，連接兩個對稱點與兩直線分別有兩個交點，順次連接所給的點 與兩交點即可得三角形；“兩點兩線型”求四邊形的周長最短類比 “一點兩 線型”即可.針對訓(xùn)練1 . （2015 內(nèi)江）如圖，正方形的面積為1

6、2，是等邊三角形，點E在正方形內(nèi)，在對角線上有一點P,使+最小，則這個最小值為（）2 . （2015 遵義）如圖，在四邊形中，/ C = 50 °，/ B = Z D=90 ° , E、B . 60C. 70 °D . 803 . （2015 攀枝花）如圖，在邊長為2的等邊中，D為的中點，E是邊上一點，則+的最小值為.4 . (2015鄂州）如圖,Z= 30 °，點M、N分別是射線、上的動點，平分/，且=6，當(dāng)?shù)闹荛L取最小值時，四邊形的面積為.F分別是、上的點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，/的度數(shù)為5 . (2015-涼山）菱形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點

7、B（2 ,0）, Z = 60。，點P是對角線上一個動點，E（0， 1），當(dāng)+最短時，點P的坐標(biāo)為.6 . (2015 廣元改編)如圖，已知拋物線y = (x + 2)(x - m)(m > 0)與x軸相交于點A, B，與y軸相交于點C,且點A在點B的左側(cè).(1) 若拋物線過點G(2 , 2)，求實數(shù)m的值;在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使+最小，并求出點H的坐標(biāo).7 . (2015 成都改編)如圖，一次函數(shù)y = x + 4的圖象與反比例y = (k 為常數(shù)，且k工0)的圖象交于A, B兩點.在x軸上找一點P,使+的值 最小，求滿足條件的點 P的坐標(biāo).8 .如圖所示，已

8、知點 A是半圓上的三等分點，B是的中點，P是直徑上 的一動點，O O的半徑為1，請問：P在上什么位置時，+的值最?。坎?給出+的最小值.9 . (2015 達(dá)州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在y軸的正半軸上，在x軸的正半軸上，/的平分線交于點 D , E為的中點，已知A(0 ,4)、C(5 , 0)，二次函數(shù)y = x2 + c的圖象拋物線經(jīng)過 A, C兩點.(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；F、G分別為x軸，y軸上的動點，順次連接 D、E、F、G構(gòu)成四邊形， 求四邊形周長的最小值；P 的坐標(biāo)；(3)拋物線上是否在點 P,使的面積為12 ?若存在，求出點 若不存在，請說明理由參考答案類型1 利

9、用“垂線段最短”求最短路徑問題1 . D 23.24 提示：直線 y = 3k + 4 必過點 D(3 , 4),二當(dāng)過點D且丄時最小.點 D 的坐標(biāo)是(3 , 4)，二=5. v = l3 ,二根據(jù)勾股定理可得=12.二的長的最小值為它到四4.(1) T兩點之間線段最短，二連接，交于H，則H為蓄水池位置， 個村莊距離之和最小.(2)過H作丄，垂足為G.則沿開渠最短，根據(jù)垂線段最短.類型2利用“兩點之間線段最短”求最短路徑問題1 . B 2 3提示：作B關(guān)于的對稱點B',連接、于E，此時+=B E+= B D,根據(jù)兩點之間線段最短可知B'+的最小值，T B、B '關(guān)于對

10、稱，、互相垂直平分.四邊形行四邊形.T三角形是邊長為2 , T D為的中點，二丄=2 = 2，作B ' G丄的延長線于 G,二B ' G =，在 B '中，=B D,交D就是是平=1，=3.二=3 1 = 2.在厶4.36 545.(2 3 , 2 )6.(1)拋物線過點 G(2 , 2)時，一(2 + 2)(2 -m) = 2，即 m = 4.(2) / m-4，二 y =- (x + 2)(x -4).令 y = 0，則(x + 2)(x -4) = 0 ,解得x 1 = 2 , x2 = 4.- A( -2 , 0), B(4 , 0).二拋物線對稱軸為直線x =

11、 = 1.令x = 0，則y = 2 ,-C(0 , 2).IB點與A點關(guān)于對稱軸對稱，二連接，與對稱軸的交點便為所求點H.- B(4 , 0), C(0 , 2),二求得線段所在直線為y = -x + 2.當(dāng)x = 1時，y =,-H(1 ,).7.聯(lián)立解得或 A(1 , 3), B(3 , 1) . B點關(guān)于x軸的對稱點B'坐標(biāo)為(3, - 1), 連接交x軸于點P',連接.71 r0Br設(shè)直線為y = + b，聯(lián)立得解得二 y = - 2x + 5.令 y = 0，得 x =. P' (, 0).即滿足條件的P的坐標(biāo)為(,0).8作A關(guān)于的對稱點A ,根據(jù)圓的對稱

12、性，則 A'必在圓上，連接交 于P,連接，則+最小， "包""此時 + = '+= A' B.連接、；、 = ,./ = / A'=60 ° . = ,./ = /= 30 ° . ./ A' = 90 ° .二A' B = = = ,即+的最小值是.9.(1)將A(0 , 4)、C(5, 0)代入二次函數(shù)y = x2 + + c,得解得二二次函數(shù)的表達(dá)式 y = x2 x + 4.(2)延長至E',使E' C=，延長至D',使D' A=，連接D'

13、 E',交 x軸于F點，交y軸于G點，連接，=',=E' F( + + + )最小=D E'+,由 E 點坐標(biāo)為(5 , 2), D(4 , 4)，得 D' ( 4 , 4), E ' (5 , 2).由勾股 定理，得=,D ' E '= 3 ,.(+ + + )最小=D E '+= 3 + ,即四邊形周長的最小值為3 + .(3) 如下圖：=4.T S = 12.點P到的距離=3.過點0作丄，取=3，過點F作直線/,交y軸于G點，交拋物線于點在中，=6.二直線的解析式為 y = x 6.將y = x 6代入y = x2 x + 4得：x 6 = x2-x + 4.解得 Xi = , X2 =.將 Xi, X2 的值代入 y = x 6 得：yi = , y2 =.二點 Pi(,),卩2(, )過點O作丄，取=3 ,過點F作直線，交y軸于G點，交拋物線于 P3, P4，在中，=6.二直線的解析式為 y = x + 6.將y =