專題復(fù)習(xí)證明線段相等角相等的基本方法(一)剖析

1、專題復(fù)習(xí)證明線段相等角相等的基本方法（一）一、教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：使學(xué)生掌握根據(jù)角和線段位置關(guān)系如在一個三角形中或在兩個 三角形中，利用等邊對等角、或三角形全等證明角相等線段相等的基本方法過程與方法：使學(xué)生在根據(jù)角或邊的位置關(guān)系確定證明角相等或線段等的方 法過程中，體驗證明角相等線段相等的基本方法， 在交流的過程中感受和豐富學(xué) 生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗；培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力.情感態(tài)度與價值觀：激活學(xué)生原有的知識與經(jīng)驗，使每個學(xué)生按照自己的習(xí) 慣進行提取、存儲信息，形成不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，獲得不同 的發(fā)展二、教學(xué)重點：掌握根據(jù)角和線段位置關(guān)系確定證明角相等線段相等的基本方法教學(xué)難點：分析圖

2、形的形狀特征，識別角或線段的位置關(guān)系，確定證明方法三、教學(xué)用具：三角板、學(xué)案等四、教學(xué)過程：（一）引入：相等的線段和角是構(gòu)成特殊幾何圖形的主要元素，也是識別特殊圖形的主要 依據(jù)；運用三角形全等證明線段相等角相等，常出現(xiàn)在中考15題左右的位置，是北京市中考必考內(nèi)容；運用全等三角形的知識尋求經(jīng)過圖形變換后得到的圖形 與原圖形對應(yīng)元素間的關(guān)系，常與特殊圖形結(jié)合，出現(xiàn)在綜合題中（二）例題：例1已知：如圖1， ABC中，AB=AC, BC為最大邊，點 D、 E分別在BC、AC 上, BD=CE，F(xiàn) 為 BA延長線上一點，BF=CD .求證：/ DEF=Z DFE .分析：要證在一個三角形中的兩角相等，考

3、慮用等腰三角形的性質(zhì)（等邊對 等角）來證；因要證的兩條相等的邊在兩個三角形中，故利用三角形全等來證線 段相等.S D圖1證明： AB=AC / B= / C.在厶BDF和厶CED中,BD =CE,B = . C,BF 二CD,二 BDF 三 CED.DF -ED. DEF =/DFE.點撥：抓住圖形的特征（兩角在一個圖形中） 常用等邊對等角證明，這是證兩角相等的常用方法.例2已知：如圖1,在厶ABC中，/ ACB= 90 , CD _ AB于點D,點E在 AC 上, CE=BC,過E點作AC的垂線，交CD的延長線于點F .求證AB=FC.分析：觀察AB與FC在圖形中的位置，發(fā)現(xiàn)這兩條線段分別位

4、于兩個三角形中，考慮用三角形全等來證明.準(zhǔn)備三角形全等的條件時，已知一對角一對邊對應(yīng)相等，還需證另一對對應(yīng)角相等;已知條件有直角，故利用同角的余角相等來證.證明： FE 丄 AC于點 E, ACB=90° FEC = ACB =90° ,易證一A = F . ABC 也 FCE . AB 二 FC .點撥：根據(jù)圖形特征，要證明相等的兩邊分別在兩 個三角形中，常利用證明兩邊所在的兩個三角形全等來 證.在證明兩角相等時，利用了同角的余角相等證明，也可用等角的余角相等來 證，但較復(fù)雜.例3兩個大小不同的等腰直角三角板如圖1-1所示放置，圖1-2是由它抽圖1-1圖1-2象出的幾何圖

5、形，B, C, E在同一條直線 上，連結(jié)DC .求證：/ ABE=/ ACD分析：圖1-2是由兩個大小不同的等腰 直角三角板構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)圖形，分別從一個等 腰三角形取一條腰，夾角為等角加同角，就可構(gòu)成邊角邊對應(yīng)相等的 ABE與厶ACD全等，從而可證全等三角形的對應(yīng)角 相等.證明： ABC與厶AED均為等腰直角三角形,.AB=AC，AE=AD，BAC =/EAD =90易證.BAECAD. ABEACD ./ ABE= / ACD .點撥：由有公共頂點的兩個等腰直角三角形構(gòu)成的幾何圖形， 當(dāng)分別從一個 等腰三角形中取一腰時，可構(gòu)成邊角邊全等三角形；證夾角相等時常用等角加同 角的和相等.此題可以拓展

6、，將等腰直角三角形換成等邊三角形、頂角相等的等腰三角形、 正方形等.例4點A、B、C在同一直線上，在直線 AC的同側(cè)作：ABE和BCF，連 接 AF，CE .取 AF、CE 的中點 M、N，連接 BM，BN， MN .(1) 如圖1,若 ABE和- FBC是等腰直角三角形，且.ABE =/FBC =90°， 則MBN是三角形.(2 )女口圖 1-2，在 ABE 和 BCF 中，若 BA=BE,BC=BF,且 ABE 二/FBC =，貝U MBN 是 三角形，且MBN =(3)如圖1-3，若將(2)中的=ABE繞點B旋轉(zhuǎn)一定角度，其他條件不變，那 么(2)中的結(jié)論是否成立？ 若成立，給

7、出你的證明；若不成立，寫出正確的 結(jié)論并給出證明.CC(如圖1)分析：(1)判斷三角形形狀時，三角形一般是特殊三角形，由已知易知1 1BM AF EC = BN，又可證得/ MBN=9°，所以 MBN為等腰直角三角形.（2）圖形中是兩個等腰三角形以公共頂點為中心旋轉(zhuǎn)而成，則一個等腰三 角形取一腰，構(gòu)成兩個邊角邊全等三角形.解：（1）等腰直角（2）等腰 :（3）結(jié)論仍然成立證明：如圖1-3，易證 ABFA EBC. AF=CE，/ AFB= / ECB. M,N分別是AF、CE的中點， FM=CN. MFB NCB. BM=BN. / MBF= / NBC./ MBN= / MBF+

8、/ FBN= / FBN+ / NBC= / FBC=：.點撥：在圖形形狀發(fā)生變化時，抓住影響結(jié)論的主要條件是否變化， 如果沒 有變，則結(jié)論不變；如主要條件變，則結(jié)論變.在證明此類問題時，圖形變化后的證明思想或證明方法， 常可由特殊（變化 前）的證法類比得到.（三）練習(xí)：1. 如圖1,四邊形ABCD是矩形， PBC和厶QCD都是等邊三角形，點 P在矩形上方，點 Q在矩形內(nèi).求證：（1）Z PBA=Z PCQ=30° （2） FA=PQ.圖1B CG圖12. 如圖1,正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF邊CE上，連接BE、DG . (1)求證：BE= DG ; (2)圖中是否存在通過

9、旋轉(zhuǎn)能夠 互相重合的兩個三角形？若存在，說出旋轉(zhuǎn)過程；若不存在，請說明理由.3. 如圖 1,在厶 ABE中，A吐 AE,AD- AC,/BAD-/ EAC, BC DE交于點 O.求證：(1) ABCAAED (2) OB -OE .4. 如圖，將一三角板放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點 P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點 B,另一邊與射線DC相交于Q.5如圖1-1,在厶ABC中，/ ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連結(jié)AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形 ADEF .(1)如果AB二AC，/ BAC =90：，當(dāng)點D在線段BC上時(與點B不重合)，如圖1-2,

10、線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為 ，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為 ;當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖1-3,中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由;(2)如果AB = AC，/ BAC是銳角，段BC上，當(dāng).ACB滿足什么條件時，CFC、F不重合)，并說明理由.圖1-1FC（四）總結(jié)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在對例題、習(xí)題分析、證明、總結(jié)反思的過程中, 體驗根據(jù)線段和角的位置關(guān)系證明角等和線段相等的方法，即當(dāng)兩角或兩邊在一個三角形中時，利用等邊對等角或等角對等邊，當(dāng)兩角或兩邊在兩個三角形中時 證明他們所在的兩個三角形全等；體驗由有公共頂點的兩個等腰直角三角形構(gòu)成 的幾何圖形，當(dāng)分別從一個等腰三角形中

11、取一腰時，可構(gòu)成邊角邊全等三角形.通過練習(xí)拓展，將等腰直角三角形換成等邊三角形、頂角相等的等腰三角形、 正方形等，結(jié)論仍然成立.老師在用時可將例習(xí)題變?yōu)閷W(xué)案使用，也可根據(jù)自己的習(xí)慣和學(xué)生情況增減 習(xí)題使用教案設(shè)計程序簡單，易于使用者直接使用或改變.歡迎提寶貴意見！謝謝！（五）反思：本節(jié)課例習(xí)題編排按照由易到難、有簡單到復(fù)雜的順序，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī) 律，學(xué)生通過課上的體驗、總結(jié)、交流再通過練習(xí)進行鞏固，希望達到教學(xué)目標(biāo). 附練習(xí)參考答案：1. 證明：四邊形ABCD是矩形，DC圖1/ ABC=Z BCD=90° . PBC和厶QCD是等邊三角形,/ PBC= / PCB= / QCD=6

12、0°，/ PBA=Z ABC / PBC=30°，/ PCD= / BCD / PCB=30°/ PCQ= / QCD / PCD=30° ./ PBA=/ PCQ=30° .AB=DC=QC,/ PBA=Z PCQ, PB=PC, PABA PQC,PA=PQ.2. (1)證明：如圖1,v正方形ABCD和正方形ECGFBC 二 CD, CE 二 CG, BCE"DCG=90° 在厶BCE和厶DCG中，BC =CDI«NBCE =NDCGQE = CG圖1.A BCE 亠 DCG (SAS).(2)存在.A BCE

13、繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到A DCG (或?qū) DCG逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到A BCE )3. 證明：如圖1,vZ BAD-/EAC/ BAC/ EAD在 A ABC和 A AED中AB 二 AEBAC 二 EADAC = AD ABCA AED(SAS).(2)由(1)知/ ABC/ AED AB=AE,/ ABE/ AEB/ OBE/ OEBOB=OECDO過P點作MN / BC分別交AB、DC于點M、NA證明：在正方形ABCD中，AC為對角線,4 . 解: PQ=PB AM=PM .又 AB=MN, MB=PNvZ BPQ=90° ,/ BPM+Z NPQ=900 .又 vZ MBP+Z BPM =900 ,Z MBP= Z NPQ. RtA MBP RtANPQ,. PB=PQ.5. (1)垂直，相等；如圖1-2，當(dāng)點D在BC的延長線上時的結(jié)論仍成立.由正方形 ADEF 得 AD = AF , Z DAF = 90o Z DAB = Z FAC,圖1-2vZ BAC= 90o / DAF = Z BAC ,又 AB = AC , DABA FAC , CF = BD , Z ACF=Z ABD.vZ BAC= 90o AB = AC , Z ABC= 45c, Z ACF=