上海市復(fù)旦大學(xué)附中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

1、2021-2021學(xué)年上海市復(fù)旦大學(xué)附中高一上期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題每題4分，共48分1設(shè)集合M=1，0，1，N=a，a2，那么使NM成立的a的值是2不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a=時，等號成立3函數(shù)gx=x，那么函數(shù)fx=gx+hx的解析式是fx=4求值：=5函數(shù)的定義域為6函數(shù)y=x2+1x1的反函數(shù)為7設(shè)函數(shù)fx=ax2+bx+1a、bR，假設(shè)f1=0，且對任意實數(shù)x均有fx0成立，那么a+b=8函數(shù)fx=ax2+bx+6滿足條件f1=f3，那么f2的值為9假設(shè)函數(shù)y=的反函數(shù)的圖象的對稱中心是點1，3，那么實數(shù)a的值為10在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=gx的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線y=x對稱

2、而函數(shù)y=fx的圖象與y=gx的圖象關(guān)于y軸對稱，假設(shè)fm=1，那么m的值是11設(shè)fx是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x0時，fx是單調(diào)的函數(shù)，那么滿足的所有的x的和為12定義兩種運算：ab=，那么函數(shù)fx=的奇偶性為二、選擇題每題4分，共16分13“a=0是“函數(shù)fx=x2+ax在區(qū)間0，+上是增函數(shù)的A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件14假設(shè)函數(shù)fx在4，+上為減函數(shù)，且對任意的xR，有f4+x=f4x，那么A f2f3B f2f5C f3f5D f3f615函數(shù)fx=xlog2x，假設(shè)實數(shù)x0是方程fx=0的解，且0x1x0，那么fx1A 恒為負(fù)值B 等

3、于0C 恒為正值D 不大于016假設(shè)一系列的函數(shù)解析式相同，值域相同但定義域不同，那么稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)那么函數(shù)解析式為y=2x2+1，值域為3，19的“孿生函數(shù)共有A 15個B 12個C 9個D 8個三、解答題17loga484=m，loga88=n，試用m、n表示log21118fx=1作出函數(shù)的大致圖象；2求不等式fxf1的解集19如果函數(shù)y=x+的最小值為6，求b的值20通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間，講座開始時，學(xué)生的興趣激增，中間有一段不太長的時間，學(xué)生的興趣保持理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散分析結(jié)果和實驗說明，用

4、fx表示學(xué)生掌握和接受概念的能力fx的值越大，表示接受能力越強，x表示提出和講授概念的時間單位：分，可以有以下公式：fx=1開講多少分鐘后，學(xué)生的接受能力最強？能維持多少分鐘？2開講5分鐘與開講20分鐘比擬，學(xué)生的接受能力何時強一些？3一個數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及13分鐘的時間，老師能否及時在學(xué)生一直到達(dá)所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題？21函數(shù)fx=為奇函數(shù)，1求a的值；2求fx的反函數(shù)f1x；3解關(guān)于x的不等式：f1xlog222函數(shù)，其中x01當(dāng)0ab且fa=fb，求ab的取值范圍；2是否存在實數(shù)a、bab，使得函數(shù)y=fx的定義域和值域都是a，b，假設(shè)存在，求出a、b的值，假

5、設(shè)不存在，說明理由；3假設(shè)存在a、bab，使得y=fx的定義域為a，b，值域為ma，mbm0，求m的取值范圍2021-2021學(xué)年上海市復(fù)旦大學(xué)附中高一上期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題每題4分，共48分1設(shè)集合M=1，0，1，N=a，a2，那么使NM成立的a的值是1考點：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用專題：集合分析：由真子集的定義即知N的元素都是集合M的元素，從而分別讓a取1，0，1，看得到的集合N能否滿足NM，以及能否符合集合元素的性質(zhì)，從而便得到a的值解答：解：NM，N的元素都是M的元素；假設(shè)a=0，1時，顯然不滿足集合的互異性；假設(shè)a=1，那么N=1，1，滿足NM；a的值是1故答案為

6、：1點評：考查列舉法表示集合，真子集的定義，以及集合元素的性質(zhì)2不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a=±1時，等號成立考點：根本不等式專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：利用根本不等式的性質(zhì)即可得出解答：解：不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a2=1，即a=±1時，等號成立故答案為：±1點評：此題考查了根本不等式的性質(zhì)，屬于根底題3函數(shù)gx=x，那么函數(shù)fx=gx+hx的解析式是fx=x+，x，且x0考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：根據(jù)，求出函數(shù)gx，hx的定義域，進而可得函數(shù)fx=gx+hx的解析式解答：解：函數(shù)gx=x，x，hx=，x，且x0函數(shù)fx=gx+hx=x+，x，

7、且x0故答案為：x+，x，且x0點評：此題考查的知識點是函數(shù)的解析式及求法，函數(shù)的定義域，解答時一定要注意兩個根本函數(shù)定義域?qū)?fù)合函數(shù)定義域的影響4求值：=4考點：對數(shù)的運算性質(zhì)專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：直接利用有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)及對數(shù)的運算性質(zhì)計算解答：解：=故答案為：4點評：此題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，關(guān)鍵是對對數(shù)運算法那么的記憶與運用，是根底題5函數(shù)的定義域為0，7考點：對數(shù)函數(shù)的定義域；函數(shù)的定義域及其求法專題：計算題分析：根據(jù)使函數(shù)的解析式有意義的原那么，我們可以構(gòu)造出自變量x的不等式組，解不等式組，求出x的取值范圍，即可得到函數(shù)的定義域解答：解：要使函數(shù)的解析式有意義，自變量必須滿

8、足：解得：0x7故函數(shù)的定義域為0，7故答案為：0，7點評：此題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域及其求法，其中正確理解，求函數(shù)的定義域即求使函數(shù)的解析式有意義的自變量的取值范圍，是解答此題的關(guān)鍵6函數(shù)y=x2+1x1的反函數(shù)為x2考點：反函數(shù)專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由原函數(shù)求得x，把x，y互換求得原函數(shù)的反函數(shù)解答：解：由y=x2+1x1，得x2=y1，x=y2，x，y互換得：x2，函數(shù)y=x2+1x1的反函數(shù)為x2，故答案為：x2點評：此題考查函數(shù)的反函數(shù)的求法，注意反函數(shù)的定義域為原函數(shù)的值域，是根底題7設(shè)函數(shù)fx=ax2+bx+1a、bR，假設(shè)f1=0，且對任意實數(shù)x均有

9、fx0成立，那么a+b=3考點：二次函數(shù)的性質(zhì)專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由f1=0，可得b=a+1，又對任意實數(shù)x均有fx0成立，可得恒成立，可求出a，b的值；解答：解：函數(shù)fx=ax2+bx+1a、bR，f1=0，ab+1=0即b=a+1，又對任意實數(shù)x均有fx0成立恒成立，即a+124a0，可得a120恒成立a=1，b=2；a+b=3故答案為：3點評：此題考查了函數(shù)的恒成立問題及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，難度一般，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)8函數(shù)fx=ax2+bx+6滿足條件f1=f3，那么f2的值為6考點：函數(shù)的值；函數(shù)解析式的求解及常用方法專題：計算題分析：由題意應(yīng)對a進行分類：a=0時和

10、a0時，再由條件分別判斷出函數(shù)為常函數(shù)和二次函數(shù)的對稱軸，再由函數(shù)的性質(zhì)求值解答：解：當(dāng)a=0時，f1=f3，函數(shù)fx是常函數(shù)，即a=b=0，fx=6，那么f2=6，當(dāng)a0時，那么函數(shù)fx是二次函數(shù)，f1=f3，fx的對稱軸是：x=1，f2=f0=6，綜上得，f0=6故答案為：6點評：此題考查了利用常函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求值，特別再求出對稱軸后，不用a和b的值直接由f2=f0求解，易錯點易忘對a進行討論9假設(shè)函數(shù)y=的反函數(shù)的圖象的對稱中心是點1，3，那么實數(shù)a的值為3考點：反函數(shù)專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由題意可得函數(shù)fx=的對稱中心是3，1，再由函數(shù)的解析式可得對稱中心是a，1 ，比擬可

11、得a的值解答：解：由題意可得函數(shù)fx=的對稱中心是3，1，又函數(shù)fx=1+的對稱中心是a，1 ，a=3，故答案為：3點評：此題考查函數(shù)與反函數(shù)的圖象間的關(guān)系，函數(shù)的對稱中心，由函數(shù)y=得到對稱中心為a，1是解題的關(guān)鍵，是根底題10在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=gx的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線y=x對稱而函數(shù)y=fx的圖象與y=gx的圖象關(guān)于y軸對稱，假設(shè)fm=1，那么m的值是考點：反函數(shù)專題：計算題分析：由函數(shù)y=gx的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線y=x對稱，那么y=gx的圖象與y=ex互為反函數(shù)，易得y=gx的解析式，再由函數(shù)y=fx的圖象與y=gx的圖象關(guān)于y軸對稱，進而可以得到函數(shù)y

12、=fx的解析式，由函數(shù)y=fx的解析式構(gòu)造方程fm=1，解方程即可求也m的值解答：解：函數(shù)y=gx的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線y=x對稱函數(shù)y=gx與y=ex互為反函數(shù)那么gx=lnx，又由y=fx的圖象與y=gx的圖象關(guān)于y軸對稱fx=lnx，又fm=1lnm=1，故答案為點評：互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關(guān)于線y=x對稱，有fx的圖象上有a，b點，那么b，a點一定在其反函數(shù)的圖象上；如果兩個函數(shù)圖象關(guān)于 X軸對稱，有fx的圖象上有a，b點，那么a，b點一定在函數(shù)gx的圖象上；如果兩個函數(shù)圖象關(guān)于 Y軸對稱，有fx的圖象上有a，b點，那么a，b點一定在函數(shù)gx的圖象上；如果兩個函數(shù)圖象關(guān)于原點

13、對稱，有fx的圖象上有a，b點，那么a，b點一定在函數(shù)gx的圖象上11設(shè)fx是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x0時，fx是單調(diào)的函數(shù)，那么滿足的所有的x的和為8考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合專題：計算題分析：fx為偶函數(shù)fx=fx，x0時fx是單調(diào)函數(shù)fx不是周期函數(shù)所以假設(shè)fa=fba=b或a=b，再結(jié)合條件可得正確答案解答：解：fx為偶函數(shù)，且當(dāng)x0時fx是單調(diào)函數(shù)假設(shè) 時，即 或 ，得x2+3x3=0或x2+5x+3=0，此時x1+x2=3或x3+x4=5滿足 的所有x之和為3+5=8，故答案為8點評：此題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題解決此類題型要注意變換自變量與函數(shù)值的關(guān)系，還要注意分類討論和數(shù)

14、形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用12定義兩種運算：ab=，那么函數(shù)fx=的奇偶性為奇函數(shù)考點：函數(shù)奇偶性的判斷專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：利用新定義把fx的表達(dá)式找出來，在利用函數(shù)的定義域把函數(shù)化簡，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可解答：解：由定義知fx=，由4x20且|x2|20，得2x0或0x2，即函數(shù)fx的定義域為x|2x0或0x2，關(guān)于原點對稱；此時fx=，那么fx=fx，故fx是奇函數(shù)故答案為：奇函數(shù)點評：此題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)新定義將函數(shù)進行化簡是解決此題的關(guān)鍵二、選擇題每題4分，共16分13“a=0是“函數(shù)fx=x2+ax在區(qū)間0，+上是增函數(shù)的A 充分而不必要條件B 必要而不

15、充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間分析：函數(shù)fx=x2+ax在區(qū)間0，+上是增函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象求出a的范圍，再利用集合的包含關(guān)系判充要條件解答：解：函數(shù)fx=x2+ax在區(qū)間0，+上是增函數(shù)，0，a0，“a=0“a0，反之不成立應(yīng)選A點評：此題考查充要條件的判斷，屬基此題14假設(shè)函數(shù)fx在4，+上為減函數(shù)，且對任意的xR，有f4+x=f4x，那么A f2f3B f2f5C f3f5D f3f6考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用分析：因為所給選項為比擬函數(shù)值的大小，所以要根據(jù)條件將所給函數(shù)值都轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上去，因此

16、分析f4+x=f4x的含義也就成了解答此題的關(guān)鍵解答：解：f4+x=f4x，fx的圖象關(guān)于直線x=4對稱，f2=f6，f3=f5，又fx在4，+上為減函數(shù)，f5f6，f5=f3f2=f6應(yīng)選D點評：1fa+x=fax函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=a對稱；2fa+x=fax函數(shù)fx的圖象關(guān)于點a，0對稱；3fa+x=fbx函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=對稱；4fa+x=fbx函數(shù)fx的圖象關(guān)于點對稱特別地，當(dāng)a=b=0時，有fx=fx及fx=fx，fx分別表示偶函數(shù)與奇函數(shù)15函數(shù)fx=xlog2x，假設(shè)實數(shù)x0是方程fx=0的解，且0x1x0，那么fx1A 恒為負(fù)值B 等于0C 恒為正值D 不大于0考

17、點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由于y=x在x0上遞減，log2x在x0上遞增，那么fx在x0上遞減，再由條件即可得到答案解答：解：由于實數(shù)x0是方程fx=0的解，那么fx0=0，由于y=x在x0上遞減，log2x在x0上遞增，那么fx在x0上遞減，由于0x1x0，那么fx1fx0，即有fx10，應(yīng)選C點評：此題考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查運算能力，屬于根底題16假設(shè)一系列的函數(shù)解析式相同，值域相同但定義域不同，那么稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)那么函數(shù)解析式為y=2x2+1，值域為3，19的“孿生函數(shù)共有A 15個B 12個C 9個D 8個考點：函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值

18、域；函數(shù)解析式的求解及常用方法專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：根據(jù)“孿生函數(shù)的定義確定函數(shù)定義域的不同即可解答：解：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=3，即定義域內(nèi)1和1至少有一個，有3種結(jié)果，3和3至少有一個，有3種結(jié)果，共有3×3=9種，應(yīng)選：C點評：此題主要考查函數(shù)定義域和值域的求法，利用“孿生函數(shù)的定義是解決此題的關(guān)鍵三、解答題17loga484=m，loga88=n，試用m、n表示log211考點：對數(shù)的運算性質(zhì)專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：把利用對數(shù)的運算性質(zhì)變形求解loga2，loga11的值，然后利用對數(shù)的

19、換底公式得到log211解答：解：loga484=m，即，又loga88=n，loga8+loga11=n，即3loga2+loga11=n，聯(lián)立得：，log211=點評：此題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了對數(shù)的換底公式，是根底的計算題18fx=1作出函數(shù)的大致圖象；2求不等式fxf1的解集考點：其他不等式的解法；函數(shù)的圖象專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：1分類討論化簡函數(shù)的解析式，從而畫出函數(shù)的圖象2結(jié)合函數(shù)fx的圖象可得f3=f1=f3=0，數(shù)形結(jié)合可得不等式fxf1的解集解答：解：1對于函數(shù)fx=，當(dāng)x0時，fx=x3x1；當(dāng) x0時，fx=+=，故函數(shù)fx的圖象如下圖2結(jié)合函數(shù)fx的圖象可得

20、f3=f1=f3=0，數(shù)形結(jié)合可得不等式fxf1的解集為x|3x1，或x3點評：此題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，分式不等式的解法，表達(dá)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題19如果函數(shù)y=x+的最小值為6，求b的值考點：根本不等式專題：不等式分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合x的范圍，從而求出函數(shù)取最小值時的b的值解答：解：y=1=，令y0，解得：x，令y0，解得：x，函數(shù)在0，遞減，在，+遞增，函數(shù)在x=時取得最小值，+=6，解得：2b=9，代入函數(shù)的不表達(dá)式得：x=3，x4，不合題意，x=4時，函數(shù)值最小，此時：4+=6，解得：b=3點評：此題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查不

21、等式取最小值時的條件，是一道中檔題20通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間，講座開始時，學(xué)生的興趣激增，中間有一段不太長的時間，學(xué)生的興趣保持理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散分析結(jié)果和實驗說明，用fx表示學(xué)生掌握和接受概念的能力fx的值越大，表示接受能力越強，x表示提出和講授概念的時間單位：分，可以有以下公式：fx=1開講多少分鐘后，學(xué)生的接受能力最強？能維持多少分鐘？2開講5分鐘與開講20分鐘比擬，學(xué)生的接受能力何時強一些？3一個數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及13分鐘的時間，老師能否及時在學(xué)生一直到達(dá)所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題

22、？考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；分段函數(shù)的應(yīng)用專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：1通過分別求出當(dāng)0x10、10x16、x16時各自fx的最大值即得結(jié)論；2通過計算f5與f20的大小即得結(jié)論；3通過令fx=55，計算出0x10、x16時各自的解并比擬兩個解的差的絕對值與13的大小關(guān)系即可解答：2+2.6x+43=0.1x132+59.9，故fx在0x10時遞增，最大值為f10=0.110132+59.9=59，當(dāng)10x16時，fx59，當(dāng)x16時，fx為減函數(shù)，且fx59，因此，開講10分鐘后，學(xué)生到達(dá)最強接受能力為59，能維持6分鐘時間2f5=0.15132+59.9=53.5，f20=3×

23、20+107=4753.5，開講5分鐘時學(xué)生的接受能力比開講20分鐘時要強一些3當(dāng)0x10時，令fx=55，解得x=6或20舍，當(dāng)x16時，令fx=55，解得x=17，因此學(xué)生到達(dá)含超過55的接受能力的時間為176=1113，老師來不及在學(xué)生一直到達(dá)所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題點評：此題考查函數(shù)模型的性質(zhì)與應(yīng)用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題21函數(shù)fx=為奇函數(shù)，1求a的值；2求fx的反函數(shù)f1x；3解關(guān)于x的不等式：f1xlog2考點：反函數(shù)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：1利用函數(shù)的奇偶性，得到fx=fx，解方程即可求a的值；2根據(jù)反函數(shù)

24、的定義即可fx的反函數(shù)f1x；3根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分式不等式的解法進行求解即可解答：解：1函數(shù)的定義域為x|x0且fx是奇函數(shù)，fx=fx，即fx+fx=0，即+=0，那么+=0，即a2x+a2x+1=0，那么1a12x=0，x0，1a=0即a=1此時fx=2由y=得2x1y=2x+1即y2xy=1+2x，即y12x=1+y，當(dāng)y=1時，方程等價為0=1，不成立，y1，那么2x=，由2x=0得y1或y1，即函數(shù)fx的值域為，11，+，由2x=，得x=log2，即fx的反函數(shù)f1x=log2，x，11，+；3f1xlog2log2log2假設(shè)k0，那么x+10，即x1，x，11，+；此時

25、x1，此時不等式等價為，即，那么0x1k，即1xk+1，假設(shè)k0，那么x+10，即x1，x，11，+；此時x1，此時不等式等價為，即，那么x1k，即1xk+1，綜上假設(shè)k0，不等式的解集為1，1+k，假設(shè)k0，不等式的解集為1+k，1點評：此題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)反函數(shù)的求解，對數(shù)不等式的求解，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度22函數(shù)，其中x01當(dāng)0ab且fa=fb，求ab的取值范圍；2是否存在實數(shù)a、bab，使得函數(shù)y=fx的定義域和值域都是a，b，假設(shè)存在，求出a、b的值，假設(shè)不存在，說明理由；3假設(shè)存在a、bab，使得y=fx的定義域為a，b，值域為ma，mbm0，求m的取值范圍考點：函數(shù)的值域；函數(shù)的定義域及其求法專題：分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：1討論a，b的范圍，確定a0，1，b1，+，去絕對值，得到等式，再由根本不等式，